Триъгълник на Паскал. Свойства на триъгълника на Паскал

Напредъкът на човечеството до голяма степен е свързан с откритията, направени от гении. Един от тях е Блейз Паскал. Неговата креативна биография отново потвърждава истинския израз на "Талантливия човек, талантлив във всички" на Лион Феутунгангер. Всички научни постижения на този велик учен са трудни за повторно прочитане. Сред тях е една от най-елегантните изобретения в света на математиката - триъгълникът на Паскал.

Няколко думи за гения

Блейз Паскал почина в началото на съвременните стандарти на 39-годишна възраст. Въпреки това, в краткия си живот той показва себе си като изключителен физик, математик, философ и писател. Благодарни потомци, посочени в негова чест, единица на натиск и популярен програмен език Pascal. Той е бил използван почти 60 години, за да преподава писането на различни кодове. Например с помощта на всеки студент може да напише програма за изчисляване на площта на триъгълник върху "Pascal", както и да проучи свойствата на схемата, които ще бъдат разгледани по-долу.

Дейността на този учен с извънредно мислене обхваща широк спектър от области на науката. По-специално, Blaise Pascal е един от основателите на хидростатиката на математическия анализ, някои направления на геометрията и теорията на вероятностите. Освен това той:

• създаде механичен калкулатор, известен като Pascal Wheel;
• представи експериментално доказателство, че въздухът има еластичност и тегло;
• че барометърът може да се използва за прогнозиране на времето;
• измислила количка;
• дойде с омнибус-коне вагони с фиксирани маршрути, които по-късно станаха първият вид редовен обществен транспорт и т.н.

Аритметичният триъгълник на Паскал

Както вече споменахме, този велик френски учен направи голям принос в математическите науки. Един от неговите безусловни научни шедьоври е Траатизът на аритметичния триъгълник, който се състои от биномни коефициенти, подредени в определен ред. Свойствата на тази схема учудват с нейното разнообразие, а самата тя потвърждава поговорката "Всички гениални са прости!".

Малко история

Вярно е, че всъщност триъгълникът на Паскал е бил известен в Европа още в началото на 16 век. По-специално неговият образ може да се види на корицата на учебника по аритметика от известния астроном Петър Апиан от Инголщатския университет. Подобен триъгълник е представен и като илюстрация в книгата на китайския математик Ян Хуй, публикувана през 1303 г. Неговите свойства са известни и на забележителния персийски поет и философ Омар Хаям още в началото на 12 век. И се вярва, че той се запознава с него от трактатите на арабски и индийски учени, написани по-рано.

описание

Преди да проучите най-интересните свойства на триъгълника на Паскал, красива в съвършенството и простотата му, си струва да разберете какво е то.

Научно казано, тази цифрова схема е безкрайна таблица с триъгълна форма, образувана от биномни коефициенти, подредени в определен ред. Отгоре и отстрани са числата 1. Останалите позиции са заети с числа, равняващи се на сумата от две числа над тях. В този случай всички линии на Паскалския триъгълник са симетрични по отношение на вертикалната му ос.

Основни свойства

Триъгълникът на Паскал впечатлява със своето съвършенство. За всяка линия с номера n (n = 0, 1, 2hellip-) е вярно:

• първото и последното число са 1;
• второ и предпоследно - n;
• третото число е равно на триъгълното число (броя кръгове, които могат да бъдат подредени във формуляра равностранен триъгълник, т.е. 1, 3, 6, 10): T_п-1 = п (п-1) / 2.
• четвъртото число е четиристранно, т.е. е пирамида с триъгълник в основата си.

Освен това, сравнително наскоро, през 1972 г. е създадена още една собственост на триъгълника на Паскал. За да го откриете, трябва да напишете елементите на тази схема под формата на таблица с линейна промяна от 2 позиции. След това цифрите се разделят на номера на реда. Оказва се, че номерът на колоната, в която са избрани всички номера, е първо число.

Същият трик може да се направи по различен начин. За това в Паскалския триъгълник цифрите се заменят с остатъка от разделянето им с номера на реда в таблицата. След това редовете в резултантния триъгълник се подреждат така, че следващият ред да започне отдясно на 2 колони от първия елемент на предишния. Тогава колоните с номера, които са prime numbers, ще се състоят само от нули, а тези с комбинирани числа ще имат най-малко една нула.

Връзка с биномията на Нютон

Както е добре известно, така наречената формула за разширяване на термините на неотрицателна цялостна мощност на сумата от две променливи се нарича форма:

Коефициентите, присъстващи в тях, са равни на C_п^m = n! / (m! (n - m)!), където m, е редният номер на числото в низа n на Паскалския триъгълник. С други думи, с тази таблица на ръка, човек може лесно да вдигне на власт всякакви числа, които преди това са се разложили на два етапа.

По този начин триъгълникът на Паскал и биномият на Нютон са взаимосвързани по най-интимния начин.

Математически чудеса

Ако внимателно изучавате Паскалския триъгълник, можете да откриете, че:

• сумата от всички номера в ред със сериен номер n (броене е от 0) е равна на 2^п;
• ако линиите са подравнени наляво, то сумите на числата, които са подредени по диагоналите на Паскалския триъгълник, минавайки отдолу нагоре и отляво надясно, са равни на числата на Фибоначи;
• Първият "диагонал" се състои от естествени числа в ред;
• Всеки елемент от триъгълника на Паскал, намален с един, е равен на сумата от всички числа, разположени в паралелограма, която е ограничена от леви и десни диагонали, пресичащи се на този номер;
• във всеки ред на схемата сумата от числата на равни места е равна на сумата от елементите в нечетните места.

Триъгълникът на Сиерпински

Такава интересна математическа схема, доста обещаваща от гледна точка на решаването на сложни проблеми, се получава, ако четните номера на изображението на Паскал са оцветени в един цвят, а странните в другия.

Триъгълникът на Сиерпински може да бъде построен и по друг начин:

• в боядисаната схема на Паскал, средният триъгълник е пребоядисан в различен цвят, който се формира чрез свързване на средните точки на страните на оригинала;
• По същия начин те идват с три небоядисани, разположени в ъглите;
• ако процедурата продължава неограничено, тогава в края трябва да завърши двуцветна фигура.

Най-интересната собственост на триъгълника Сиерпински е неговата самоподобност, тъй като се състои от 3 копия от него, които са намалени с коефициент 2. Тя ви позволява да отнесете тази схема към фрактални криви и те, както показват последните изследвания, са най-подходящи за математическо моделиране на облаци, растения, делти и дори самата вселена.

Няколко интересни задачи

Къде се използва триъгълникът на Паскал? Примери за проблеми, които могат да бъдат решени с негова помощ, са доста различни и се отнасят до различни области на науката. Помислете за някои от най-интересните от тях.

Проблем 1. Определен голям град, заобиколен от крепостна стена, има само една входна врата. На първия кръговото движение основният път е разделен на две. Същото се случва и при всеки друг. 210 души влизат в града. На всяко от кръстовищата те са разделени на половина. Колко хора ще бъдат на всяко кръстовище, когато ще бъде невъзможно да се сподели. Неговият отговор е десетата линия на триъгълника на Паскал (формулата на коефициентите е представена по-горе), където числата 210 са разположени от двете страни на вертикалната ос.

Задача 2. Има 7 цвята. Трябва да направим букет от 3 цветя. Необходимо е да разберете колко различни начини това може да се направи. Този проблем е от областта на комбинаторите. За да го решим, отново използваме триъгълника на Паскал и получихме номер 35 на седмата линия на трето място (номерирайки и в двата случая с 0).

Сега знаете какво е изобретил великият френски философ и учен Блайз Паскал. Неговият известен триъгълник, когато се използва правилно, може да се превърне в истински инструмент за решаване на много проблеми, особено от областта на комбинаторите. В допълнение, тя може да се използва за решаване на множество пъзели, свързани с фракталите.