Математическо махало: период, ускорение и формули

Окачването е системата, която се състои от материална точка (тяло), който виси на безтегловност неудължаващ нишки (масата й е нищожен в сравнение с теглото на тялото) по еднакъв гравитационно поле, наречен математически махалото (друго име - генератор). Има и други типове на това устройство. Вместо нишка може да се използва безтеглов пръчка. Математическото махало може визуално да разкрие същността на много интересни феномени. С малка амплитуда на вибрации, движението му се нарича хармонично.

Обща информация за механичната система

Формулата за периода на колебание на това махало е извлечена от холандския учен Хюйгенс (1629-1695 г.). Този съвременник на И. Нютон беше много доволен от тази механична система. През 1656 г. той създава първия часовник с механизъм на махалото. Те измерват времето с изключителна точност за онези времена. Това изобретение стана важен етап в развитието на физически експерименти и практически дейности.

Ако махалото е в равновесно положение (окачено вертикално), тогава притегляне ще бъдат балансирани от напрежението на нишката. Плоско махало на неразтегляща се резба е система с две степени на свобода с връзка. Когато сменяте само един компонент, характеристиките на всичките му части се променят. Така че, ако нишката е заменена с пръчка, тогава тази механична система ще има само една степен на свобода. Какви са свойствата на математическото махало? Хаосът възниква в тази най-проста система под влияние на периодично смущение. В случай, когато точката на окачване не се движи, но се колебае, на махалото се появява ново равновесно положение. С бързи колебания нагоре и надолу тази механична система придобива стабилна позиция "с главата надолу". Също така има свое собствено име. Нарича се махалото на Капитана.

Свойства на махалото

Математическото махало има много интересни свойства. Всички те се потвърждават от известни физически закони. Периодът на колебание на всяко друго махало зависи от различни обстоятелства, като например размерът и формата на тялото, разстоянието между точката на окачване и центъра на тежестта и разпределението на масата по отношение на дадена точка. Ето защо определянето на периода на висящото тяло е доста предизвикателство. Много по-лесно е да се изчисли периодът на математическо махало, чиято формула ще бъде дадена по-долу. В резултат на наблюденията на такива механични системи е възможно да се установят такива закономерности:

• Ако при запазване на една и съща дължина на махалото, спиране на различни товари, тогава периодът на техните колебания ще бъде същият, въпреки че техните маси ще се различават значително. Следователно периодът на такова махало не зависи от масата на товара.

• Ако отхвърлите махалото при не много големи, но различни ъгли при стартиране, то ще се колебае със същия период, но при различни амплитуди. Докато отклоненията от центъра на равновесието не са прекалено големи, колебанията в тяхната форма ще са доста близки до хармоничните. Периодът на такова махало не зависи от вибрационната амплитуда. Това свойство на тази механична система се нарича изохронизъм (в превод от гръцки "хроно" - време, "isos" - равен).

Период на математическото махало

Този индикатор е период на естествени колебания. Въпреки сложната формулировка, самият процес е много прост. Ако дължината на нишката на математическо махало L и ускорението на гравитацията g, тогава тази стойност е равна на:

T = 2pi-radic-L / g

Периодът на малки естествени трептения не зависи от никоя мярка за масата на махалото и амплитудата на трептенията. В този случай махалото се движи като математическо махало с дадена дължина.

Колебание на математическо махало

Математическото махало осцилира, което може да се опише чрез просто диференциално уравнение:

x + омега-2 sin х = 0,

където x (t) е неизвестна функция (това е ъгълът на отклонение от най-ниското равновесно положение по време t, изразено в радиани) омега- е положителна константа, която се определя от параметрите на махалото (омега- = radic-g / L, където g е ускорението на гравитацията и L е дължината на математическото махало (суспензия).

Уравнението на малки колебания близо до равновесното положение (хармоничното уравнение) изглежда така:

x + омега-2 sin х = 0

Осцилаторно движение на махалото

Математическо махало, което прави малки колебания, се движи по синусоида. Диференциалното уравнение от втори ред отговаря на всички изисквания и параметри на такова движение. За да определите траекторията, трябва да определите скоростта и координата, от които след това се определят независими константи:

x = A sin (theta-₀ + омега-т),

където тета₀ - начална фаза, А - амплитуда на вибрациите, омега- е цикличната честота, определена от уравнението на движението.

Математическо махало (формули за големи амплитуди)

Тази механична система, която осцилира със значителна амплитуда, се подчинява на по-сложни закони на движение. За такова махало те се изчисляват по формулата:

sin x / 2 = u * sn (омега-т / у),

където sn е сачото на Якоби, което за u < 1 е периодична функция, а за малка u съвпада с проста тригонометрична синус. Стойността на u се определя от следния израз:

u = (epsilon- + омега-2) / 2омега-2,

където epsilon- = E / mL2 (mL2 е енергията на махалото).

Определянето на периода на колебание на нелинейно махало се извършва съгласно формулата:

T = 2pi- / Omega-,

където Омега- = пи- / 2 * омега- / 2K (u), К е елиптичен интеграл, PI- - 3.14.

Движение на махалото по сепаратора

Разделичката е траекторията на динамична система с двуизмерно фазово пространство. Математическото махало се движи по него не периодично. В безкрайно далечен период от време той пада от крайната горна позиция към страната при нулева скорост, след което постепенно я вдига. В крайна сметка той спира, връщайки се в първоначалната си позиция.

Ако амплитудата на колебанията на махалото достигне числото PI-, това показва, че движението на фазовата равнина се доближава до отделената зона. В този случай, под въздействието на малка периодична сила, механичната система проявява хаотично поведение.

Когато математическото махало се отклонява от равновесното положение с ъгъл phi- има тангенс на гравитацията Ftau- = -mg грях phi-. Знакът минус означава, че този тангенциален компонент е насочен към противоположната страна от отклонението на махалото. Ако с X изместим измененията на махалото по дъга на окръжност с радиус L, нейното ъглово отместване е равно на phi = x / L. Вторият закон Исак Нютон, предназначен за проекциите на вектора на ускорението и силата, ще даде желаната стойност:

мг tau- = Ftau- = -mg sin x / L

Изхождайки от тази връзка, става ясно, че това махало е нелинейна система, тъй като силата, която има тенденция да я върне в равновесно положение, винаги е пропорционална на изместването x, но греха x / L.

Само когато математическото махало извършва малки колебания, то е хармоничен осцилатор. С други думи, тя става механична система, способна да извършва хармонични трептения. Това приближение е практически валидно за ъгли от 15-20 °. Колебанията на махалото с големи амплитуди не са хармонични.

Законът на Нютон за малки колебания на махалото

Ако тази механична система извършва малки колебания, вторият закон на Нютон ще изглежда така:

мг tau- = Ftau- = -m * g / L * х.

Като се започне от това, можем да заключим, че тангенциалното ускорение на математическо махало е пропорционално на изместването му със знака минус. Това е условието, при което системата става хармоничен осцилатор. Модулът на пропорционалност между изместването и ускорението е равен на квадрата на кръговата честота:

омега-02 = g / L- омега-0 = radic-g / L.

Тази формула отразява естествената честота на малки колебания на този тип махало. Като се започне от това,

T = 2pi- / омега-0 = 2pi-radic-g / L.

Изчисления въз основа на закона за опазване на енергията

Свойствата на осцилаторните движения на махалото могат да бъдат описани и чрез закона за опазване на енергията. Трябва да се има предвид това потенциална енергия Махалото в гравитационното поле е равно на:

E = mgΔh = mgL (1-cos алфа-) = mgL2sin2 алфа- / 2

общо механична енергия се равнява на кинетичния или максималния потенциал: Epmax = Ekmsx = E

След записването на Закона за консервацията на енергия вземете производното на дясната и лявата част на уравнението:

Ep + Ek = const

Тъй като производното на константите е 0, тогава (Ep + Ek) `= 0. Производството на сумата е равно на сумата от дериватите:

Ep `= (мг / л * х2 / 2)` = мг / 2L * 2х * х `= мг / л * V + Ek` = (MV2 / 2) = m / 2 (V2) `= m / 2 * 2v * v `= mv * алфа-,

Ето защо:

Mg / L * xv + mva = v (мг / л * х + м алфа-) = 0.

Изхождайки от последната формула, ние откриваме: алфа- = - g / L * х.

Практическо приложение на математическо махало

ускорение свободно падане варира според географската ширина, тъй като гъстотата на земната кора по цялата планета не е една и съща. Където има скали с по-голяма плътност, това ще бъде малко по-високо. Ускоряването на математическо махало често се използва за геоложко проучване. Използва се за търсене на различни минерали. Просто изчисляване на броя на колебанията на махалото, можете да намерите в недрата на земята въглища или руда. Това се дължи на факта, че такива вкаменелости имат плътност и маса по-голяма от свободната скала под тях.

Математическото махало се използва от такива изтъкнати учени като Сократ, Аристотел, Платон, Плутарх, Архимед. Много от тях вярват, че тази механична система може да повлияе на съдбата и живота на човек. Архимед използва математическо махало в своите изчисления. В наше време много окултисти и психолози използват тази механична система, за да изпълняват своите пророчества или да търсят изчезнали хора.

Известният френски астроном и естественият учен К. Фламарион също използва математическо махало за своето изследване. Той твърди, че с негова помощ е успял да предскаже откриването на нова планета, появата на медуорите на Тунгуска и други важни събития. По време на Втората световна война в Германия (Берлин) функционира специализиран маневрен институт. Тези дни Мюнхенският институт по парапсихология се занимава със сходни изследвания. Служителите на тази институция наричат ​​работата си с махало "радестизия".