Преобразувание на Фурие. Бърза трансформация на Фурие. Дискретна трансформация на Фурие

Трансформацията на Фурие е трансформация, която свързва функции с определена реална променлива. Тази операция се изпълнява всеки път, когато чуем различни звуци. Ухото произвежда автоматично "изчисление", което нашето съзнание може да изпълнява само след като изучи съответната секция на висшата математика. слуха органи в човек трансформация конструкции, в които звука (конвенционален вибрационното движение на частиците в еластична среда, които се разпространяват под формата на вълна в твърда, течна или газообразна среда) е снабден в диапазона от последователни стойности на силата на звука на тоновете на различни височини. След това мозъкът превръща тази информация в познат звук.

Математическа трансформация на Фурие

Трансформацията на звукови вълни или други вибрационни процеси (от светлинното лъчение и прилива на океана и от цикли на звездна или слънчева активност) може да се извърши и с помощта на математически методи. По този начин, с помощта на тези техники, функциите могат да бъдат разширени чрез въвеждане на вибрационните процеси, определени от синусоидални компоненти, т.е. вълнообразни извивки, които излизат от минимум до максимум и след това отново до минимум, като вълна от морето. Трансформацията на Фурие е трансформация, чиято функция описва фазата или амплитудата на всеки синусоид, съответстващ на определена честота. Фазата е началната точка на кривата, а амплитудата е нейната височина.

Трансформацията на Фурие (примерите са показани на снимката) е много мощен инструмент, който се използва в различни области на науката. В някои случаи се използва като средство за решаване на доста сложни уравнения, които описват динамични процеси, които възникват под въздействието на светлина, топлина или електрическа енергия. В други случаи тя ни позволява да определяме редовните компоненти в сложни сигнали за трептене, благодарение на което е възможно правилно да се интерпретират различни експериментални наблюдения в химия, медицина и астрономия.

Исторически контекст

Първият човек, който прилага този метод, е френският математик Жан Батист Фурие. Трансформацията, по-късно наречена след нея, първоначално се използваше за описание на механизма на топлопроводимостта. Фурие прекарва целия си възрастен живот, като изучава свойствата на топлината. Той направи голям принос в математическата теория за определяне на корените на алгебричните уравнения. Фурие бил професор по анализ в École Polytechnique, секретар на Института по египтология, беше имперски услуга, която предизвика смут по време на строителството на пътя към Торино (под негово ръководство се отцежда от повече от 80 хиляди квадратни километра маларийните блата). Въпреки това, цялата тази активна дейност не е попречила на учения да прави математически анализ. През 1802 г. той извлича уравнение, което описва разпространението на топлината в твърдите вещества. През 1807 г. учените откриват метод за решаване на това уравнение, което се нарича "трансформация на Фурие".

Анализ на топлопроводимостта

Ученият използва математически метод, за да опише механизма на топлопроводимостта. Един удобен пример, при който няма трудности при изчислението, е разпространението на топлинна енергия по железен пръстен, потопен в едно парче от огън. За да проведе експериментите, Фурие нагрява червената част на този пръстен и го погребва в фин пясък. След това измерваше температурата от другата страна. Първоначално разпределението на топлината е неправилно: част от пръстена е студена, а другата е гореща, може да се наблюдава рязък температурен градиент между тези зони. Въпреки това, в процеса на размножаване на топлината по цялата повърхност на метала, той става по-унифициран. Така че скоро този процес е под формата на синусоида. Първоначално графиката постепенно се увеличава и намалява гладко, точно съобразно законите на косинусовата или функционалната промяна. Вълната постепенно се сплеска и в резултат температурата става еднаква по цялата повърхност на пръстена.

Същността на анализа

Прилагайки този анализ за преобразуване на разпространението на топлина върху твърд предмет, имащ пръстеновидна форма, математикът преценява, че увеличаването на периодите на синусоидалния компонент би довело до бързото му отлагане. Това е добре проследено за фундаменталните и вторите хармоници. Във втората температурата достига максималните и минималните стойности два пъти в един пропуск, а в първия - само веднъж. Оказва се, че дистанцията, преодоляна от топлината във втората хармоника, ще бъде половината от тази на основната. Освен това градиентът във втория ще бъде два пъти по-висок от първия. Следователно, тъй като по-интензивен топлинен поток преминава през най-голямото разстояние, дадената хармонична функция ще се разпадне четири пъти по-бързо от фундаменталното, като функция на времето. По-нататък този процес ще продължи още по-бързо. Математикът смята, че този метод ни позволява да изчислим процеса на първоначалното разпределение на температурата във времето.

Предизвикателство пред съвременниците

Алгоритъмът на трансформацията на Фурие стана предизвикателство към теоретичните основи на математиката от онова време. В началото на деветнадесети век, повечето известни учени, в това число на Лагранж, Лаплас, Поасон, Legendre и Био не приемат твърдението му, че температурата на първоначалното разпределение се разлага на компоненти под формата на основната вълна и по-висока честота. Въпреки това, Академията на науките не може да пренебрегне резултатите, получени от математиците, и почете своята награда за теорията за топлопроводимите закони, а също и да ги сравнява с физически експерименти. При подхода на Фурие главното възражение се дължи на факта, че прекъснатата функция е представена от сумата от няколко синусоидални функции, които са непрекъснати. В края на краищата те описват изкривяването на прави и извити линии. Съвременниците на учения никога не са срещали подобна ситуация, когато прекъснатите функции са били описани чрез комбинация от непрекъснати такива като квадратна, линейна, синусоидна или експоненциална. В случай, че математикът е прав в изявленията си, сумата от безкрайната серия от тригонометрична функция трябва да бъде намалена до точна стъпка. По това време подобно изявление изглеждаше абсурдно. Независимо от съмненията обаче някои изследователи (например Клод Навиер, Софи Жермен) разшириха обхвата на изследванията и ги пренесоха извън анализа на разпределението на топлинната енергия. Междувременно математиците продължават да страдат от въпроса дали сумата от няколко синусоидални функции може да бъде намалена до точното представяне на прекъсванията.

200-годишна история

Тази теория се е развила в течение на два века, днес тя се е формирала. С негова помощ пространствените или временните функции са разделени на синусоидални компоненти, които имат своя честота, фаза и амплитуда. Тази трансформация се получава чрез два различни математически метода. Първият от тях се прилага в случаите, когато първоначалната функция е непрекъсната, а втората - в случая, когато тя е представена от набор от отделни индивидуални промени. Ако изразът е получен от стойности, които се определят от дискретни интервали, то може да се раздели на няколко синусоидални израза с дискретни честоти - от най-ниската честота и след това два пъти, три пъти и т.н., по-висока от основната. Такава сума обикновено се нарича Серии на Фурие. Ако първоначалният израз е даден от стойност за всяко реално число, тогава той може да бъде разложен на няколко синусоидални всички възможни честоти. Това обикновено се нарича интеграл на Фурие, а решението предполага интегрални трансформации на функцията. Независимо от метода за получаване на трансформацията, за всяка честота трябва да се посочат две числа: амплитуда и честота. Тези стойности се изразяват като единични сложен номер. Теорията на изразите на сложни променливи във връзка с трансформацията на Фурие ни позволи да направим изчисления за изграждането на различни електрически вериги, анализ на механичните колебания, изследване на механизма на разпространение на вълните и други.

Преобразуване на Фурие днес

Днес изследването на този процес основно намалява до намирането на ефективни методи за преход от функция към нейната трансформирана форма и обратно. Това решение се нарича директна и обратна трансформация на Фурие. Какво означава това? За да определя интеграла и за да произведем директен преобразувател на Фурие, може да се използват математически методи или дори аналитични. Въпреки факта, че при използването им на практика има някои трудности, повечето интелекси вече са намерени и включени в математическите справочници. Използвайки числови методи, е възможно да се изчислят изрази, чиято форма се основава на експериментални данни или функции, чиито интеграли липсват в таблиците и които трудно се представят в аналитична форма.

Преди появата на компютърен инженеринг изчисления тези трансформации са много досадни, те изискват ръчно изпълнение на голям брой аритметични операции, които зависят от броя на точките, които описват вълновата функция. За улесняване на изчисленията днес съществуват специални програми, които позволяват въвеждането на нови аналитични методи. Така че, през 1965 г. Джеймс Коули и Джон Теуки създават софтуер, който стана известен като "бързия трансформация на Фурие". То спестява времето за изчисления, като намалява броя на умножаването при анализа на кривата. Методът "бързо преобразуване на Фурие" се основава на разделянето на кривата на голям брой единични стойности на пробата. Съответно броят на умножаванията се намалява наполовина със същото намаление на броя на точките.

Прилагане на трансформация на Фурие

Този процес се използва в различни области на науката: в теория на числата, физика, обработка на сигнали, комбинаторни, теория на вероятностите, криптография, статистика, океанология, оптика, акустика, геометрия и др. Богатите възможности на приложението му се основават на редица полезни функции, които са преименувани на "характеристиките на трансформацията на Фурие". Помислете за тях.

1. Трансформацията на функция е линеен оператор и със съответната нормализация е единна. Това свойство е известно като теоремата на парасел, или в общия случай на теоремата на Планшерел, или на двойствеността на Понриагин.

2. Трансформацията е обратима. И обратният резултат има почти същата форма, както при директно решение.

3. Синусоидалните основни изрази са собствени функции. Това означава, че подобно представяне се променя линейни уравнения с постоянен коефициент в обикновените алгебрични.

4. Според теоремата "конволюция" този процес превръща една сложна операция в елементарно умножение.

5. Дискретната трансформация на Фурие може бързо да се изчисли на компютър, като се използва бързият метод.

Сортове на трансформацията на Фурие

1. Най-често този термин се използва за означаване на непрекъсната трансформация, която осигурява всеки квадратично интегрируем израз като сума от сложни експоненциални изрази със специфични ъглови честоти и амплитуди. Този вид има няколко различни форми, които могат да се различават по постоянни коефициенти. Непрекъснатият метод включва таблица за преобразуване, която може да се намери в математическите справочници. Обобщеният случай е частична трансформация, чрез която даден процес може да бъде повишен до необходимата реална мощност.

2. Постоянният метод е обобщение на ранната техника на Фурие, дефинирана за различни периодични функции или изрази, които съществуват в ограничена област и ги представляват като редици от синусоиди.

3. Дискретна трансформация на Фурие. Този метод се използва в компютърната технология за научни изчисления и за цифрова обработка на сигнали. За да се извърши този вид изчисление, се изисква да има функции, които определят на отделни определени отделни точки, периодични или ограничени домейни вместо непрекъснати интеграли на Фурие. Преобразуването на сигнала в този случай е представено като сумата от синусоидите. В същото време използването на "бързия" метод ни позволява да прилагаме отделни решения за всякакви практически задачи.

4. Прозоречният преобразувател на Фурие е обобщена форма на класическия метод. За разлика от стандартното решение, когато се използва сигналният спектър, който се използва в пълния диапазон на съществуване на дадена променлива, локалното разпределение на честотата е от особен интерес само ако се запази първоначалната променлива (време).

5. Двуизмерна трансформация на Фурие. Този метод се използва за работа с двуизмерни набори от данни. В този случай, първо трансформацията се извършва в една посока, а след това в другата.

заключение

Днес методът на Фурие е здраво укрепен в различни области на науката. Например, през 1962 г., формата на двойна ДНК спирала е открита като се използва анализ на Фурие в комбинация с рентгенова дифракция. Последните бяха фокусирани върху кристали на ДНК влакна, в резултат на което изображението, получено по време на дифракцията на радиация, беше записано върху филма. Тази снимка дава информация за стойността на амплитудата при използване на трансформацията на Фурие към дадена кристална структура. Данните за фазата бяха получени чрез сравняване на дифракционната карта на ДНК с картите, получени при анализа на такива химични структури. В резултат биолозите са възстановили кристалната структура - първоначалната функция.

Фурие трансформира играе огромна роля в изучаването на космоса, физиката на полупроводникови материали и плазма, микровълнова акустика, океанография, радар, сеизмология и медицински изследвания.