Серии от Фурие: историята и влиянието на математическия механизъм върху развитието на науката

Фурие серията е представяне на произволно призната функция със специфичен период под формата на поредица. По принцип това решение се нарича разширение на елемент по ортогонална основа. Разширяването на функциите в серия от Фурие е сравнително мощен инструмент за решаване на различни проблеми, дължащи се на свойствата на дадената трансформация в интеграцията, диференциацията и изместването на израза за аргумента и конволюцията.

Човек, който не е запознат с висшата математика, а също и с произведенията на френския учен Фурие, най-вероятно няма да разбере какъв вид "редици" и за какво са. И все пак тази трансформация е станала доста гъста в нашия живот. Той се използва не само от математиците, но и от физици, химици, лекари, астрономи, сеизмолози, океанографи и много други. Нека да се запознаем и с произведенията на великия френски учен, който направи откритието пред времето си.

Човекът и трансформацията на Фурие

Фурие серията са един от методите (заедно с анализа и други) Преобразувание на Фурие. Този процес се случва всеки път, когато човек чува звук. Ухото ни автоматично преобразува звукова вълна. Вибрационните движения на елементарните частици в еластична среда се разлагат на серии (според спектъра) на последователни стойности на нивото на силата на звука за тонове с различни височини. Освен това, мозъкът превръща тези данни в познати звуци за нас. Всичко това се случва в допълнение към нашето желание или съзнание, само по себе си, но за да разберем тези процеси, ще отнеме няколко години, за да изучаваме висша математика.

Повече за трансформацията на Фурие

Трансформацията на Фурие може да се извърши чрез аналитични, числени и други методи. Секциите на Фурие се отнасят до цифровия метод за разлагане на всякакви вибрационни процеси - от приливи и отливи и светлинни вълни до слънчеви (и други астрономически обекти) цикли на действие. С помощта на тези математически техники можете да анализирате функциите, представляващи осцилаторни процеси като серия от синусоидални компоненти, които се движат от минималния до максимума и обратно. Трансформацията на Фурие е функция, описваща фазата и амплитудата на синусоидите, съответстващи на определена честота. Този процес може да се използва за решаване на много сложни уравнения, които описват динамичните процеси, които се случват при въздействието на топлинна, светлинна или електрическа енергия. Сериите на Фурие също позволяват да се изолират постоянни компоненти в сложни сигнали на трептене, което прави възможно правилното интерпретиране на експерименталните наблюдения, получени в медицината, химията и астрономията.

Исторически контекст

Основоположникът на тази теория е френският математик Жан Батист Джоузеф Фурие. Неговото име по-късно се наричаше тази трансформация. Първоначално ученият използвал метода си за изучаване и обяснение на механизмите на топлопроводимостта - разпространението на топлина в твърдите вещества. Фурие предполага, че първоначалното неравномерно разпределение на топлинната вълна може да бъде разложено на прости синусоиди, всеки от които ще има свой собствен температурен минимум и максимум, както и неговата фаза. В този случай всеки такъв компонент ще бъде измерен от минималния до максималния и обратно. Математическата функция, която описва горните и долните върхове на кривата, както и фазата на всяка от хармониците, се нарича трансформация на Фурие на израза за разпределение на температурата. Авторът на теорията намалява общата дистрибутивна функция, която трудно може да се опише, до една много удобна серия периодични функции cosine и sine, в сумата, даваща първоначалното разпределение.

Принципът на трансформацията и възгледите на съвременниците

Съвременниците на водещите математици от началото на деветнадесети век не приемат тази теория. Основното възражение е одобрението на Фурие, че прекъснатата функция, описваща права линия или крива е разрушен, то може да се представи като сума от синусоидални изрази, които са непрекъснато. Като пример можем да разгледаме "стъпалото" Heaviside: неговата стойност е нула вляво от прекъсването и единицата надясно. Тази функция описва зависимостта на електрическия ток от променливото време, когато веригата е затворена. Съвременната теория по това време, не е срещал такава ситуация, когато прекъснат израз ще бъдат описани чрез комбинация от непрекъснати, общи функции, като например експоненциално, задължително, линейна или квадратно.

Какви неудобни френски математици в теорията на Фурие?

В крайна сметка, ако математик беше прав да споря, а след това, сумиране безкрайно тригонометрични Фурие серия, е възможно да се получи точно представяне на стъпалото на изразяване, дори и да има набор от подобни стъпки. В началото на деветнадесети век такова изявление изглеждаше абсурдно. Но въпреки всички съмнения, много математици разшириха обхвата на изучаването на този феномен, като го преодолеха от границите на изследванията на топлопроводимостта. Въпреки това, повечето учени продължават да страдат от въпроса: "Може ли сумата от синусоидалната серия да се сближи до точната стойност на прекъснатата функция?"

Сближаване на серия от Фурие: пример

Въпросът на конвергенцията се повдига всеки път, когато е необходимо да се добавят безкраен брой номера. За да разберем този феномен, нека разгледаме един класически пример. Може ли някога да стигнете до стената, ако всяка следваща стъпка е половината от предишната? Да предположим, че два метра от вратата, първата стъпка по-близо до около половината път, а в следващия - марката на три четвърти, а след петия, ще преодолеете почти 97 процента от пътя. Въпреки това, без значение колко стъпки предприемате, няма да постигнете целта си в строг математически смисъл. Чрез изчисления с цифри може да се покаже, че в крайна сметка е възможно да се приближи до произволно малко предварително определено разстояние. Това доказателство е еквивалентно на доказване, че общата стойност на една секунда, една четвърт и т.н., ще има склонност към единство.

Въпросът на конвергенцията: второто идване или Устройството на лорд Келвин

Многократно този въпрос беше повдигнат в края на деветнадесети век, когато серия от Фурие бе опитана да прогнозира интензивността на приливите и отливите. По това време лорд Келвин изобретил устройство, което е аналогово изчислително устройство, което позволява на моряците от военния и търговския флот да проследяват този природен феномен. Този механизъм определя наборът от фази и амплитуди от таблицата с височина на прилива и съответните времеви точки, внимателно измерени в пристанището през годината. Всеки параметър е синусоиден компонент на височината на прилива и е един от редовните компоненти. Резултатите от измерванията бяха въведени в изчислително устройство Келвин, което синтезира крива, която предсказва височината на водата като временна функция за следващата година. Много скоро такива криви са съставени за всички пристанища на света.

И ако процесът е нарушен от прекъсната функция?

По това време очевидно е, че устройство, предсказващо приливна вълна с голям брой преброяващи елементи, може да изчисли голям брой фази и амплитуди и по този начин да предостави по-точни прогнози. Въпреки това се оказа, че тази регулярност не се наблюдава в случаите, когато приливът, който трябва да бъде синтезиран, съдържа остър скок, т.е. прекъснат. В случай че данните се въвеждат в устройството от таблицата с времеви моменти, той изчислява няколко коефициенти на Фурие. Оригиналната функция се възстановява поради синусоидални компоненти (в съответствие с установените коефициенти). Несъответствието между оригинала и възстановения израз може да бъде измерено във всяка точка. При извършване на многократни изчисления и сравнения е очевидно, че стойността на най-голямата грешка не е намалена. Те обаче са локализирани в района, съответстващ на точката на прекъсване, а във всяка друга точка те са склонни към нула. През 1899 г. този резултат бе теоретично потвърден от Джошуа Уилард Гибс от Университета в Йейл.

Сближаването на серия от Фурие и развитието на математиката като цяло

Анализът на Фурие не е приложим за изрази, съдържащи безкраен брой изблици в определен интервал. По принцип серията на Фурие, ако оригиналната функция е представена от резултата от действителното физическо измерение, винаги се сближава. Сближаването на този процес за специфични класове функции доведе до появата на нови секции в математиката, например теорията на общите функции. Той е свързан с такива имена като Л. Шварц, Й. Микуински и Дж. Темпъл. Съгласно тази теория, ясно и точно теоретична основа за такава експресия е установена като функция на Дирак делта (описва региона на една област, концентрира се под безкрайно съседство на точката) и "стъпка" Heaviside. Поради тази работа серията на Фурие стана приложима за решаване на уравнения и проблеми, при които се появяват интуитивни концепции: точково зареждане, точкова маса, магнитни диполи и също концентриран товар върху гредата.

Методът на Фурие

Серията Фурие, в съответствие с принципите на намеса, започва с разлагането на сложни форми на по-прости. Например, промяната в топлинния поток се дължи на преминаването му през различни препятствия от топлоизолационен материал с неправилна форма или чрез промяна на земната повърхност - земетресение, промяна в орбитата на небесното тяло, от влиянието на планетите. Като правило, подобни уравнения, описващи прости класически системи, се решават елементарно за всяка отделна вълна. Фурие показа, че може да се обобщят и прости решения, за да се получат решения на по-сложни проблеми. Изразено на езика на математиката, серията на Фурие е техника за изразяване на израз чрез сумата от хармоници - космически и синусоидни вълни. Ето защо този анализ е известен също като "хармоничен анализ".

Серията "Фурие" е идеална техника преди "компютърната епоха"

Преди създаването на компютърна технология, методът на Фурие бе най-доброто оръжие в арсенала на учените при работа с вълната на нашия свят. Серията Фурие в сложна форма ни позволява да решаваме не само прости проблеми, които са подчинени на прякото прилагане на законите на Нютоновата механика, но и на фундаменталните уравнения. Повечето от откритията на Нютоновата наука от XIX век стават възможни само благодарение на метода на Фурие.

Фурие серия днес

С развитието на компютрите трансформациите на Фурие са се повишили до качествено ново ниво. Тази техника е здраво укрепена в почти всички области на науката и технологиите. Пример за това е цифровият аудио и видео сигнал. Неговата реализация станала възможна само благодарение на теорията, разработена от френския математик в началото на деветнадесети век. По този начин серията на Фурие в сложна форма направи възможно да се направи пробив в изследването на космическото пространство. В допълнение, това засяга проучването на физиката на полупроводникови материали и плазма, микровълнова акустика, океанография, радиолокация, сеизмология.

Серии тригонометрични Фурие

В математиката серията на Фурие е начин да се представят произволни сложни функции като сума от по-прости. Като цяло, броят на тези изрази може да бъде безкраен. В този случай, колкото повече техният брой се взема предвид при изчислението, толкова по-точно се получава крайният резултат. Най-често тригонометричните функции на косинуса или синусите се използват като най-прости. В този случай, серията от Фурие се нарича тригонометрична, а решаването на такива изрази е разширяването на хармониката. Този метод играе важна роля в математиката. На първо място, тригонометричната серия осигурява средствата за образа, както и изучаването на функциите, то е основният апарат на теорията. В допълнение, тя позволява решаване на редица проблеми на математическата физика. И накрая, тази теория допринесе за развитието на математически анализ, е довело до живот редица много важни сектори на математическата наука (теорията на интегралите, теорията на периодичните функции). В допълнение, тя служи като отправна точка за развитието на следното теории: комплекти, функции на реална променлива, функционален анализ, и също започнаха хармоничен анализ.