Серията Maclaurin и разграждането на определени функции

Студентът по висша математика трябва да знае, че сумата от серия от мощност, принадлежаща на интервала на конвергенция на дадена серия, е диференцирана функция, която е непрекъснато и безкрайно много пъти. Възниква въпросът: възможно ли е да се твърди, че дадена произволна функция f (x) е сумата от мощната серия? Тоест, при какви условия може f-та f (x) да бъде представена от мощност серия? Значението на такъв въпрос е, че е възможно приблизително да се замени f (x) със сумата от няколко първи понятия от сериите на мощността, т.е. полином. Такова заместване на функция с доста проста израз - полином - също е удобно за решаване на определени проблеми математически анализ, а именно: при решаване на интеграли, при изчисляване диференциални уравнения и така нататък.

Доказано е, че за някои f-функции f (x), при които е възможно да се изчислят дериватите до (n + 1) - ред, включително последния, в квартала (алфа-- R- х₀ + R) на някаква точка x = алфа-панаир е формулата:

Тази формула носи името на известния учен Брук Тейлър. Серията, получена от предишната, се нарича серия Maclaurin:

Правило, което прави възможно разлагането в серия Maclaurin:

1. Определете дериватите на първата, втората, третата ... поръчки.
2. Изчислете какви производни при х = 0 са равни на.
3. Запишете серията Maclaurin за дадена функция и след това определете интервала на нейната конвергенция.
4. Определете интервала (-R-R), където остава формулата на Maclaurin

R_п(x) -> 0 като n -> безкрайност. В случая, когато тя съществува, функцията f (x) в нея трябва да съвпада със сумата от серията Maclaurin.

Сега разглеждаме серията Maclaurin за индивидуални функции.

1. Така, първото е f (x) = e^х. Разбира се, от гледна точка на нейните особености, такава функция има производни с много различни поръчки и е^(К)(х) = д^х, където k е равно на всички естествени номера. Заместим x = 0. Ние получаваме f^(К)(0) = e⁰= 1, k = 1,2 ... Като се започне от гореизложеното, серията e^хще изглежда така:

2. Серията Maclaurin за функцията f (x) = sin x. Веднага ще изясним, че φ-та за всички неизвестни ще има деривати, в допълнение, f^"(x) = cos x = sin (x + n / 2), f^``(x) = -sin x = sin (х + 2 * n / 2) ..., f^(К)(x) = sin (x + k * n / 2), където k се равнява на всяко естествено число. Тоест, като правим прости изчисления, можем да стигнем до заключението, че серията за f (x) = sin x ще бъде във формата:

3. Сега се опитваме да разгледаме функцията f (x) = cos x. Той има производни от произволен ред за всички неизвестни и | f^(К)(x) | = cos (x + k * n / 2)<= 1, k = 1,2 ... Отново, като направим някои изчисления, получаваме, че серията за f (x) = cos x ще изглежда така:

Така че, ние изброихме най-важните функции, които могат да бъдат разложени в серията Maclaurin, но те са допълнени от серията Тейлър за някои функции. Сега ги изброяваме. Заслужава да се отбележи също, че сериите Тейлър и Макларин са важна част от семинара за решаване на сериите във висшата математика. Така че серията Тейлър.

1. Първата е серията за функцията f (x) = ln (1 + x). Както в предишните примери, за дадена f (x) = ln (1 + x) можем да добавим серия, използвайки общата форма на серията Maclaurin. Въпреки това, за тази функция серията Maclaurin може да се получи много по-лесно. Интегрирайки някои геометрични серии, получаваме серия за f (x) = ln (1 + x) на такава проба:

2. И второто, което ще бъде окончателно в нашата статия, ще бъде серия за f (x) = arctg x. За x, принадлежащ на интервала [-1-1], разширението е валидно:

Това е всичко. В тази статия бяха разгледани най-използваните серии на Тейлър и Маклаурин във висшата математика, по-специално в икономическите и техническите университети.