Простият итеративен метод за решаване на системи от линейни уравнения (SLAE)

Методът на простата итерация, наричан още метод за последователно сближаване, е математически алгоритъм за намиране на стойността на неизвестно количество чрез постепенно усъвършенстване. Същността на този метод е, както подсказва името, че постепенно се развива от първоначалното сближаване, следващите получават все повече и повече изтънчени резултати. Този метод се използва за намиране на стойността на променлива в дадена функция, както и за решаване на системи от уравнения, както линейни, така и нелинейни.

Нека разгледаме как се прилага този метод при решаването на SLAE. Простият метод на итерация има следния алгоритъм:

1. Проверка на изпълнението на условието за конвергенция в оригиналната матрица. А конвергенция теорема: ако първоначалният система матрица е диагонално доминиращ (т.е., всеки ред на елементите на основната диагонала трябва да бъде по-голяма по размер от сумата на елементи странични диагоналите в абсолютна стойност), методът на прости повторения - конвергентна.

2. Матрицата на оригиналната система не винаги има диагонално преобладаване. В такива случаи системата може да се преобразува. Уравненията, които отговарят на условието за сближаване, остават недокоснати, а с несъответстващи линейни комбинации, т.е. умножете, извадете, добавете уравненията един към друг, докато се получи желаният резултат.

Ако в получената система на основния диагонал има неудобни коефициенти, тогава и в двете части на това уравнение се добавят термини на формулата c_аз* х_аз, знаците на които трябва да съвпадат с признаците на диагоналните елементи.

3. Преобразуване на получената система в нормална форма:

х^-= бета-^-+алфа- * х^-

Това може да се направи по няколко начина, например, както следва: от първото уравнение express x₁ чрез други неизвестни, от втория₂, от третото₃ и така нататък. Използваме следните формули:

алфа-_у= - (а_у / a_II)

_аз= б_аз/ a_II
Трябва да проверим отново, че получената система на нормална форма съответства на условието за сближаване:

сума- (j = 1) | а-_у| 1e-1, с i = 1,2, ... n

4. Ние започваме да прилагаме всъщност метода на последователните приближения.

х⁽⁰⁾- първоначалното приближение, изразяваме чрез него x⁽¹⁾, след това с x⁽¹⁾ ние изразяваме x⁽²⁾. Общата формула в матричната форма изглежда така:

х^(N)= бета-^-+алфа- * х^(N-1)

Изчисляваме, докато постигнем необходимата точност:

max | x_аз(к) -х_аз(к + 1) le- ε

Така че, нека анализираме на практика метода на простата итерация. например:
За решаване на SLAU:

4,5x1-1,7x2 + 3,5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 с точност epsilon- = 10^-3

Нека видим дали диагоналните елементи преобладават в модула.

Виждаме, че само третото уравнение удовлетворява условието за сближаване. Първо и второ преобразуваме, към първото уравнение добавяме второто:

7.6х1 + 0.6х2 + 2.4х3 = 3

От третото изваждаме първото:

-2.7x1 + 4.2x2 + 1.2х3 = 2

Преобразувахме оригиналната система в еквивалентна:

7.6х1 + 0.6х2 + 2.4х3 = 3
-2.7x1 + 4.2x2 + 1.2х3 = 2
1,8х1 + 2,5х2 + 4,7х3 = 4

Сега намаляваме системата до нормалната форма:

х1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
х2 = 0.4762 + 0.6429x1-0.2857x3
x3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2

Ние проверяваме конвергенцията на итеративния процес:

0.0789 + 0.3158 = 0.3947 1 le-
0.6429 + 0.2857 = 0.9286 1 le-
0,383 + 0,5319 = 0,9149 1, т.е. условието е изпълнено.

0.3947
Първоначалното приближение x⁽⁰⁾ = 0.4762
0.8511

Ние заместваме тези стойности в уравнението на нормалната форма, получаваме следните стойности:

0,08835
х⁽¹⁾= 0.486793
0.446639

Замествайки нови ценности, получаваме:

0.215243
х⁽²⁾= 0.405396
0.558336

Продължаваме изчисленията до момента, в който достигнем стойностите, които отговарят на даденото условие.

0,18813

х⁽⁷⁾= 0.441091

0.544319

0.188002

х⁽⁸⁾ = 0.44164

0.544428

Нека проверим верността на резултатите:

4,5 * 0,1880 -1,7 * 0,441 + 3,5 * 0,544 = 2,0003
3.1 * 0.1880 + 2.3 * 0.441-1.1х * 0.544 = 0.9987
1.8 * 0.1880 + 2.5 * 0.441 + 4.7 * 0.544 = 3.9977

Резултатите, получени чрез заместване на стойностите, установени в началните уравнения, напълно удовлетворяват условията на уравнението.

Както виждаме, простият итеративен метод дава сравнително точни резултати, но за да решим това уравнение, ние трябваше да прекараме много време и да направим много тромави изчисления.