Примери за системи от линейни уравнения: метод за решаване

Системите от уравнения са широко използвани в икономическата област при математическото моделиране на различни процеси. Например при решаване на управленски задачи и планиране на производството, логистични маршрути (транспортна задача) или поставяне на оборудване.

Уравняващите системи се използват не само в областта на математиката, но и във физиката, химията и биологията, при решаването на проблемите при намирането на размера на населението.

Системата от линейни уравнения е две или повече уравнения с няколко променливи, за които е необходимо да се намери общо решение. Такава последователност от числа, за която всички уравнения се превръщат в истински равенства или доказват, че последователността не съществува.

Линейното уравнение

Уравненията на формата ax + by = c се наричат ​​линейни. Нотата x, y е неизвестна, стойността на която трябва да се намери, b, a са коефициентите на променливите, c е свободният термин на уравнението.
Решаването на уравнението чрез изграждането на неговата графика ще има формата на права линия, чиито точки са решение на полинома.

Видове системи от линейни уравнения

Най-простите примери са системите на линейни уравнения с две променливи X и Y.

F1 (x, y) = 0 и F2 (x, y) = 0, където F1,2 са функции и (x, y) са функционални променливи.

Решете системата от уравнения - това означава намиране на стойностите (x, y), при които системата се превръща в правилно равенство или установява, че няма подходящи стойности х и у.

Двойствени стойности (x, y), написани под формата на координатите на точка, се наричат ​​решение на система от линейни уравнения.

Ако системите имат едно общо решение или решения не съществуват, те се наричат ​​еквивалентни.

Хомогенните системи на линейни уравнения са системи, чиято дясна страна е равна на нула. Ако правото след знака на частта "равенство" има стойност или се изразява чрез функция, такава система не е хомогенна.

Броят на променливите може да бъде много по-голям от два, тогава трябва да говорим за пример за система от линейни уравнения с три променливи или повече.

Изправени пред системи, студентите приемат, че броят на уравненията задължително трябва да съвпада с броя неизвестни, но това не е така. Броят уравнения в системата не зависи от променливите, може да има толкова, колкото им харесва.

Обикновени и сложни методи за решаване на системи от уравнения

Не съществува общ аналитичен метод за решаване на такива системи, всички методи се основават на цифрови решения. В учебния курс по математика са описани подробно методи като пермутация, алгебрично добавяне, заместване, както и графичен и матричен метод - решението Gauss.

Основната задача при преподаването на методи за решаване е да ви науча как правилно да анализирате системата и да намерите оптималния алгоритъм за всеки пример. Основното нещо е да не се запомнят системата от правила и действия за всеки метод, а да се разберат принципите за прилагане на този или този метод

Решението на примерите за системи от линейни уравнения от 7-ми клас на общообразователната програма е съвсем проста и обяснено много подробно. Във всяка математика на учебника се отделя достатъчно внимание на този раздел. Решението на примерите за системи от линейни уравнения по метода на Гаус и Крамер е разгледано по-подробно в първите курсове на висшите учебни заведения.

Решаване на системи чрез замяна

Действията на метода на заместване са насочени към изразяване на стойността на една променлива през втората. Изразът се замества в оставащото уравнение, след това се довежда до формата с една променлива. Действието се повтаря в зависимост от броя неизвестни в системата

Даваме решение на пример за система от линейни уравнения от 7-ми клас чрез метода на заместване:

Както се вижда от примера, променливата х е изразена по отношение на F (X) = 7 + Y. Получената експресията в заместен второто уравнение на мястото на X, помага да се получи една променлива Y в второто уравнение. Решението на този пример не причинява трудности и ви позволява да получите стойността на Y. Последната стъпка е да проверите получените стойности.

Решението на примера на система от линейни уравнения чрез заместване не винаги е възможно. Уравненията могат да бъдат сложни и изразяването на променливата чрез второто неизвестно ще се окаже прекалено тромаво за по-нататъшни изчисления. Когато има повече от 3 непознати в системата, заместването също не е препоръчително.

Решение на пример за система от линейни нехомогенни уравнения:

Решение чрез алгебрично добавяне

Когато се търси решение на системите чрез метода на добавяне, се изпълняват условно добавяне и умножаване на уравнения с различни числа. Крайната цел на математическите действия е уравнение с една променлива.

Практиката и наблюдението са необходими за прилагането на този метод. Решаването на системата от линейни уравнения чрез метода за добавяне на няколко променливи от 3 или повече не е лесно. Алгебричното добавяне е удобно, когато фракциите и десетичните знаци присъстват в уравненията.

Алгоритъм на решението:

1. Умножете двете страни на уравнението с определено число. В резултат на аритметичната операция един от коефициентите за променливата трябва да стане равен на 1.
2. Накрая добавете резултантния израз и намерете един от неизвестните.
3. Заменете тази стойност във второто уравнение на системата, за да намерите останалата променлива.

Методът за решаване чрез въвеждане на нова променлива

Нова променлива може да бъде въведена, ако в системата е необходимо да се намери решение за не повече от две уравнения, броят на неизвестните трябва също да бъде не повече от две.

Методът се използва за опростяване на едно от уравненията чрез въвеждане на нова променлива. Новото уравнение се решава по отношение на неизвестното и получената стойност се използва за определяне на началната променлива.

От примера се вижда, че чрез въвеждане на нова променлива t, е възможно да се намали първото уравнение на системата до стандартната квадратична триномия. Решете полинома, като откриете дискриминацията.

Необходимо е да се намери стойността на дискриминатора чрез добре известната формула: D = b2 - 4 * a * c, където D е желаният дискриминатор, b, a, c са полиномни множители. В дадения пример, a = 1, b = 16, c = 39, следователно D = 100. Ако дискриминаторът е по-голям от нула, тогава има два решения: t = -b ± radic-D / 2 * a, ако дискриминаторът е по-малък от нула, тогава разтворът е един: x = -b / 2 * a.

Решението за получените системи се установява чрез метода на добавяне.

Визуален метод за решаване на системи

Подходящ за системи с 3 уравнения. Методът се състои в изчертаване на координатната ос на графиките на всяко уравнение, влизащо в системата. Координатите на точките на пресичане на кривите u ще бъдат общо решение на системата.

Графичният метод има редица нюанси. Нека разгледаме няколко вида решения за решаване на линейни уравнения по визуален начин.

Както се вижда от примера, за всеки ред се конструира две точки, стойностите на променливите х са избрани произволно: 0 и 3. На базата на стойностите на х, намерени стойностите за Y: 3 и 0 точки с координати (0, 3) и (3, 0) бяха отбелязани на графиката и свързани с линия.

Действието трябва да бъде повторено за второто уравнение. Точката на пресичане на линиите е решение на системата.

В следващия пример трябва да намерим графично решение на системата от линейни уравнения: 0.5x-y + 2 = 0 и 0.5x-y-1 = 0.

Както можете да видите от примера, системата няма решение, защото графиките са успоредни и не се пресичат по дължината им.

Системите от примери 2 и 3 са сходни, но в конструкцията става очевидно, че техните решения са различни. Трябва да се помни, че не винаги е възможно да се каже дали системата има решение или не, винаги е необходимо да се изгради график.

Матрицата и нейните варианти

Матриците се използват за кратко записване на система от линейни уравнения. Матрицата се нарича таблица от специален вид, изпълнена с числа. Матрицата на формата n * m има n - редове и m - колони.

Матрицата е квадратна, когато броят на колоните и редовете е равен на всеки друг. Матричният вектор е матрица на една колона с безкраен брой редове. Матрицата с тези на един от диагоналите и други нулеви елементи се нарича единица матрица.

Обратната матрица е такава матрица, умножена, с която оригиналната матрица се превръща в единична матрица, такава матрица съществува само за оригиналната квадратна матрица.

Правилата за трансформиране на система от уравнения в матрица

По отношение на системите на уравнения, коефициентите и свободните термини на уравненията са написани като номерата на матрицата, едно уравнение е един ред на матрицата.

Ред на матрицата се казва, че е ненулев, ако поне един елемент от низа не е нула. Следователно, ако в някое от уравненията броят на променливите е различен, тогава е необходимо да напишете нула на мястото на липсващото неизвестно.

Колонните колони трябва стриктно да съответстват на променливите. Това означава, че коефициентите на променливата x могат да бъдат написани само в една колона, например първата, коефициентът на непознатото y е само във втората колона.

Когато матрицата се умножи, всички елементи на матрицата се умножават последователно с число.

Вариантите за намиране на обратната матрица

Формулата за намиране на обратната матрица е съвсем проста: K^-1= 1 / | K |, където K^-1 - обратната матрица и | K | матричен детерминант. К | не трябва да бъде нула, тогава системата има решение.

Детерминанта се изчислява лесно за матрица две по две, е необходимо само да се умножат диагонално елементите. За варианта "три по три", формулата | K | = a₁б₂в₃ + а₁б₃в₂ + а₃б₁в_{2 +} а₂б₃в₁ + а₂б₁в₃ + а₃б₂в₁. Можете да използвате формулата, но можете да запомните, че трябва да вземете един елемент от всеки ред и всяка колона, така че броят на колоните и редовете елементи да не се повтаря в работата.

Решение на примери за системи от линейни уравнения по матричен метод

Матричният метод за търсене на решение прави възможно намаляването на тромавите записи при решаване на системи с голям брой променливи и уравнения.

В примера a_нм - коефициенти на уравнения, матрица - вектор x_п - променливи и б_п - свободни членове.

След това трябва да намерим обратната матрица и да я умножим по оригиналната матрица. Намирането на стойностите на променливите в резултатната матрица на единиците е лесно изпълнима задача.

Решения на системите по Gauss метод

В по-високата математика Gauss методът се изследва във връзка с метода Cramer, а процесът на намиране на решения за системи се нарича Gauss-Cramer метод на разтвор. Тези методи се използват при намирането на променливи системи с голям брой линейни уравнения.

Гаусовият метод е много подобен на решенията, използващи пермутации и алгебрични добавки, но е по-систематичен. В учебния курс, Gauss методът се използва за системи от 3 и 4 уравнения. Целта на метода е да доведе системата до формата на обърнат трапец. С помощта на алгебрични трансформации и замествания, стойността на една променлива се намира в едно от уравненията на системата. Второто уравнение е израз с 2 неизвестни, добре, 3 и 4 - съответно, с 3 и 4 променливи.

След намаляване на системата до описаната форма, по-нататъшното решение се редуцира до последователно заместване на известни променливи в уравненията на системата.

В училищните учебници за степен 7, пример за решение по Gauss метод е описан, както следва:

Както може да се види от примера, в стъпка (3) две уравнения 3х₃-2x₄= 11 и 3х₃+2x₄= 7. Решението на всяко от уравненията ще даде възможност да се знае една от променливите x_п.

Теорема 5, който е споменат в текста, гласи, че ако едно от уравненията на системата е заменено с една еквивалентна, тогава получената система също ще бъде еквивалентна на оригиналната.

Методът на Гаус е труден за учениците от средното училище, но е един от най-интересните начини за развиване на уменията на децата, които учат по програмата за задълбочено изучаване на математическите и физическите паралелки.

За простота е обичайно да напишете изчисления, както следва:

Коефициентите на уравненията и свободните термини са написани във формата на матрица, където всеки ред на матрицата е свързан с едно от уравненията на системата. Вертикална линия разделя лявата страна на уравнението отдясно. Римските цифри обозначават броя на уравненията в системата.

Първо, напишете матрицата, от която да работите, а след това всички действия, извършени с една от линиите. Получената матрица е написана след знака "стрелка" и продължава да изпълнява необходимите алгебрични действия, докато резултатът не бъде постигнат.

В резултат на това трябва да получим матрица, в която един от диагоналите е 1, а всички останали коефициенти са нула, т.е. матрицата се намалява до една форма. Не трябва да забравяме да правим изчисления с цифрите и на двете страни на уравнението.

Този метод на записване е по-малко тромав и позволява да не се разсейва чрез изброяване на многобройни непознати.

Свободното прилагане на всеки метод за решаване ще изисква грижи и определен опит. Не всички методи имат приложен характер. Някои от начините за намиране на решения са по-предпочитани в друга област на човешката дейност, докато други съществуват за целите на обучението.