Квадратични уравнения - примери с решения, особености и формули

В съвременното общество способността да се изпълняват действия с уравнения, съдържащи квадратни променливи, може да бъде полезна в много области на дейност и широко се използва в практиката в научно-техническото развитие. Доказателство за това може да служи като дизайн на морски и речни кораби, самолети и ракети. С помощта на такива изчисления се определят траектории на движението на различни тела, включително космически обекти. Примерите с решение на квадратичните уравнения намират приложение не само в икономически прогнози, в проектирането и изграждането на сгради, но и в най-обикновените ежедневни обстоятелства. Те може да са необходими в туризма, спорта, магазините при пазаруване и в други много често срещани ситуации.

Разделяме израза на компонентни фактори

Степента на уравнението се определя от максималната стойност на степен y на променливата, която съответният израз съдържа. В случай, ако тя е равна на 2, тогава такова уравнение се нарича квадратично.

Ако човек говори езика на формулите, тогава тези изрази, каквото и да изглеждат, винаги могат да бъдат намалени до формата, когато лявата страна на израза се състои от три термина. Сред тях: брадва² (Т.е. променлива, издигнат в квадрат с неговото съотношение), BX (неизвестен без квадрат с коефициент) и С (свободен компонент, който е обичайната броя). Всичко това в дясната страна се равнява на 0. В случая, когато такъв полином не съдържа един от съставните му термини, с изключение на брадва², то се нарича непълна квадратична уравнение. Примери с решаването на такива проблеми, важността на променливите, в които е лесно да се намери, трябва първо да се разглеждат.

Ако изразът изглежда така, че термините от дясната страна на израза имат две, по-точно брадва² и bx, най-лесно е да се намери x, като се вземе променливата извън скобите. Сега нашето уравнение ще изглежда така: x (ax + b). Освен това става очевидно, че или х = 0, или проблемът намалява до намирането на променлива от следния израз: ax + b = 0. Това е продиктувано от едно от свойствата на умножението. Правилото казва, че продуктът на два фактора дава 0 в резултат само ако един от тях е нула.

пример

8x² - 3х = 0

х (8х - 3) = 0

Продължаваме съгласно правилото, което току-що описахме.

х = 0 или 8х - 3 = 0

В резултат на това получаваме два корена на уравнението: 0 и 0,375.

Уравненията от този вид могат да описват изместването на телата под действието на гравитацията, като започват движението от определена точка, възприета като произход. Тук математическото означение има следната форма: y = v₀t + gt²/ 2. Заместването на необходимите стойности, равновесие на дясната страна на 0 и намирането на възможни неизвестни, може да открие времето, което преминава от момента на вдигане на тялото до момента на падането му, както и много други количества. Но ще поговорим по-късно.

Разширяване на израза в множители

Правилото, описано по-горе, дава възможност да се решат тези проблеми в по-сложни случаи. Нека разгледаме примери с решение на квадратични уравнения от този тип.

X² - 33x + 200 = 0

Този квадрат триномиал е пълен. Първо, трансформираме израза и го разширяваме в мултипликатори. Има два от тях: (x-8) и (x-25) = 0. В резултат на това имаме два корена 8 и 25.

Примери с решение на квадратични уравнения в 9 клас позволяват този метод да намери променлива в изразите не само на втория, но и на третия и четвъртия ред.

Например: 2x³ + 2x² - 18x - 18 = 0. Когато разлагате дясната страна на фактори с променлива, получавате три, т.е. (x + 1), (x-3) и (x + 3).

В резултат на това става очевидно, че това уравнение има три корена: -3- -1-3.

Екстракция на квадратния корен

Друг случай на некомплектовано уравнение от втори ред е израз на езика на буквите, представен по такъв начин, че дясната страна е изградена от компонентите на брадва² и в. Тук, за да получите стойността на променливата, свободният термин се прехвърля от дясната страна, а след това се извлича квадратен корен от двете страни на равенството. Трябва да се отбележи, че в този случай корените на уравнението обикновено са две. Изключения са само равенства, които изобщо не съдържат термина "в", където променливата е нула, а също и варианти на изрази, когато дясната страна се окаже отрицателна. В последния случай няма никакви решения, тъй като горните действия не могат да бъдат изпълнени с корени. Необходими са примери за решения на квадратични уравнения от този тип.

3x²- 48 = 0

3x² = 48

В този случай корените на уравнението са числата -4 и 4.

Изчисляване на парцела

Необходимостта от такива изчисления се е появила в древни времена, тъй като развитието на математиката в много отношения в тези отдалечени времена се дължи на необходимостта да се определи с най-голяма точност областите и периметрите на земята.

Примери с решение на квадратични уравнения, съставени на базата на такива проблеми, също трябва да бъдат разгледани за нас.

Представете си, че има правоъгълно парче земя, чиято дължина е 16 метра по-дълга от широчината. Необходимо е да се намери дължината, ширината и периметъра на обекта, ако е известно, че площта му е 612 м².

Като се ориентираме към бизнеса, първо правим необходимото уравнение. Нека х е ширината на секцията, след това нейната дължина ще бъде (x + 16). От горното следва, че областта се определя от израз x (x + 16), който според състоянието на нашия проблем е 612. Това означава, че x (x + 16) = 612.

Решението на пълните квадратични уравнения, а този израз е точно такъв, не може да бъде направено от предишния метод. Защо? Макар че лявата му страна все още съдържа два фактора, техният продукт изобщо не е равен на 0, така че тук се използват и други методи.

дискриминантен

На първо място, правим необходимите трансформации, тогава появата на този израз ще изглежда така: x² + 16x - 612 = 0. Това означава, че сме получили израз във формата, съответстваща на горния стандарт, където a = 1, b = 16, c = -612.

Това може да бъде пример за решение на квадратични уравнения чрез дискриминацията. Тук се извършват необходимите изчисления съгласно схемата: D = b² - 4ac. Това допълнително количество не само позволява да се намерят неизвестните величини в уравнението от второ порядък, то определя броя на възможните варианти. В случая, когато D> 0, има две от тях, за D = 0 има един корен. В случай, когато D<0, няма никакви шансове за решаване на уравнението изобщо.

За корени и тяхната формула

В нашия случай дискриминаторът е: 256-4 (-612) = 2704. Това показва, че отговорът на нашия проблем съществува. Ако знаем, например, дискриминацията, решението на квадратичните уравнения трябва да продължи с прилагането на формулата по-долу. Той ви позволява да изчислявате корените.

Това означава, че в представения случай: x₁= 18, х₂= -34. Втори вариант на изпълнение в тази дилема не може да бъде разтвор, тъй като размерът на частта от земя не може да се измери в отрицателни стойности, тогава х (т.е., част широчина) е 18 m Следователно ние изчисли дължина :. 18 + 16 = 34, и периметъра на 2 (34+ 18) = 104 (m²).

Примери и задачи

Продължаваме да изучаваме квадратични уравнения. Примери и подробни решения на няколко от тях ще бъдат дадени по-долу.

1) 15х² + 20х + 5 = 12х² + 27х + 1

Прехвърляме всичко в лявата част на уравнението, правим трансформация, т.е. получаваме формата на уравнението, което се нарича стандартно, и го равняваме на нула.

15x² + 20х + 5 - 12х² - 27х - 1 = 0

Добавяйки тези, ние определяме дискриминацията: D = 49 - 48 = 1. Така че нашето уравнение ще има два корена. Ние ги изчисляваме според горната формула и това означава, че първата от тях ще бъде 4/3, а втората.

2) Сега решете гатанки от друг вид.

Нека да разберем дали има корени x² - 4х + 5 = 1? За да получим изчерпателен отговор, ние намаляваме полинома до съответната позната форма и изчисляваме дискриминацията. В горния пример не е необходимо да се създава квадратично уравнение, тъй като същността на проблема изобщо не е в това. В този случай D = 16 - 20 = -4, което означава, че наистина няма корен.

Теоремата на Vieta

Уместно е да се решат квадратични уравнения чрез горните формули и дискриминацията, когато корен квадратен се извлича от стойността на последното. Но това не винаги се случва. Има обаче много начини да получите стойностите на променливите в този случай. Пример: решения на квадратични уравнения от теоремата на Виет. Той е кръстен в чест на Франсоа Виета, който е живял през 16 век във Франция и е направил блестяща кариера благодарение на своя математически талант и връзки в съда. Можете да видите портрета му в статията.

Моделът, наблюдаван от известния французин, е както следва. Той доказа, че корените на уравнението в сумата са цифрово равно на -p = b / a, а техният продукт съответства на q = c / a.

Сега нека разгледаме конкретни задачи.

3x² + 21х - 54 = 0

За простота превеждаме израза:

х² + 7х - 18 = 0

Използваме теоремата на Vieta, това ще ни даде следното: сумата от корени е -7, а техният продукт е -18. Оттук получаваме, че корените на уравнението са числата -9 и 2. След като направим проверката, ще видим, че тези стойности на променливите наистина се вписват в израза.

Графично и параболно уравнение

Понятията квадратична функция и квадратични уравнения са тясно свързани. Примери за това вече са дадени по-рано. Сега помислете за малко математически пъзели. Всяко уравнение от описания тип може да бъде визуализирано. Подобна зависимост, съставена под формата на графика, се нарича парабола. Различните му видове са показани на фигурата по-долу.

Всяка парабола има връх, тоест точка, от която излизат нейните клони. Ако> 0, те отиват до безкрайност и когато a<0, те са изтеглени. Най-простият пример за такава зависимост е функцията y = x². В този случай в уравнението x²= 0, неизвестното може да отнеме само една стойност, т.е. х = 0, което означава, че има само един корен. Това не е изненадващо, защото тук D = 0, защото a = 1, b = 0, c = 0. Коренната формула (по-точно един корен) на квадратичното уравнение е написана като: x = -b / 2a.

Визуалните изображения на функциите спомагат за решаването на всички уравнения, включително квадратните. Този метод се нарича графичен. Стойността на променливата x е координата на абсцисите в точките, където линията на графиката се пресича с 0x. Координатите на върха могат да бъдат намерени от формулата x₀ = -Ь / 2а. И, замествайки получената стойност в началното уравнение на функцията, може да се намери y₀, т.е. втората координата на върха на парабола, принадлежаща на оста на координатите.

Пресечната точка на параболните клони с оста на абсцисата

Има много примери с решение на квадратични уравнения, но има общи закони. Помислете за тях. Ясно е, че пресичането на графиката с оста 0x за a> 0 е възможно само ако y₀ взема отрицателни стойности. И за един<0 координатната система y₀ трябва да бъде положителна. За посочените варианти D> 0. В противен случай<0. И когато D = 0, върхът на парабола се намира директно върху оста 0x.

Според сюжета на парабола, може да се определи коренът. Обратното също е вярно. Това означава, че ако получите интуитивен образ на квадратна функция не е лесен, можете да укажете дясната страна на израза на 0 и да решите резултантното уравнение. И като знаете точката на пресичане с оста 0x, е по-лесно да начертаете графиката.

От историята

С помощта на уравнения, съдържащи променлива, квадратна, в старите дни, не само математически изчисления и определя зоните на геометрични фигури. Такива изчисления бяха необходими на древните за грандиозни открития в областта на физиката и астрономията, както и за съставянето на астрологични прогнози.

Както предполагат съвременните учени, едно от първите решения на квадратичните уравнения е било заето от жителите на Вавилон. Това се случи четири века преди началото на нашата епоха. Разбира се, техните изчисления рязко се различаваха от тези, които сега бяха приети и се оказаха много по-примитивни. Например месопотамските математици нямаха представа за съществуването на отрицателни числа. Чужден за тях бяха и други тънкости от онези, които всеки ученик на настоящето знае.

Вероятно, още преди учените във Вавилон, мъдрият от Индия Баудхайама бил ангажиран в решаването на квадратични уравнения. Това се случи около осем века преди началото на епохата на Христос. Вярно е, че второстепенните уравнения, методите за решаване, които той цитира, са най-прости. Освен това китайските математици се интересуват от подобни въпроси в по-старите дни. В Европа квадратните уравнения започнаха да се решават едва в началото на XIII век, но по-късно те се използват в тяхната работа от такива велики учени като Нютон, Декарт и много други.