Логаритми: примери и решения

Както е добре известно, при умножаването на изразите с правомощия, техните експоненти винаги се добавят (а^б

Определение по математика

Логаритъмът е израз на формата: log_аб = С, т.е. логаритъма на всеки неотрицателно цяло число (например положително) "б" на основата "а" се счита за степента на "С", което е необходимо за изграждане на база "А" до "Ь" за да се получи стойност резултат. Нека анализираме логаритъма на примерите, да речем, че има отчет за изразяване₂8. Как да намерите отговора? Това е много просто, трябва да намерите степен, за да получите 2 от необходимата степен 8. След като направи някои изчисления в ума си, вие получавате номер 3! И това е вярно, защото 2 в силата на 3 дава номер 8 в отговора.

Сортове логаритми

За много студенти и студенти тази тема изглежда сложна и неразбираема, но в действителност логаритмите не са толкова ужасни, основното е да се разбере тяхното общо значение и да се помнят техните качества и някои правила. Има три отделни вида логаритмични изрази:

1. Естественият логаритъм е ln a, където основата е номера на Euler (e = 2.7).
2. Десетичният логаритъм е lg a, където основата е номер 10.
3. Логаритъмът на всяко число b на основата a> 1.

Всеки от тях се решава по стандартен начин, включително опростяване, намаляване и последващо намаляване на един логаритъм с помощта на логаритмични теореми. За да получите правилните стойности на логаритмите, помнете техните свойства и реда на действията им, когато ги решавате.

Правила и някои ограничения

В математиката съществуват няколко правила - ограничения, които се приемат като аксиоми, т.е. не подлежат на дискусия и са верни. Например, не можете да разделите номерата на нула и все още е невъзможно да извлечете корен от степен дори от отрицателни числа. Логаритмите имат и свои собствени правила, след които човек лесно може да се научи да работи дори с дълги и големи логаритмични изрази:

• база "а" трябва винаги да е по-голяма от нула, а не да бъде равна на 1, в противен случай изразът ще загуби своето значение, тъй като "1" и "0" на всяко ниво е винаги равна на техните ценности;
• ако a> 0, тогава a^б0, се оказва, че "c" трябва да е по-голямо от нула.

Как да решим логаритмите?

Например, предвид задачата да намерим отговора на уравнение 10^х= 100. Много е лесно, трябва да избереш такава степен, повишавайки до десет, получаваме 100. Това, разбира се, е квадратична сила! 10²= 100.

И сега нека представим този израз под формата на логаритмичен израз. Получаваме дневник₁₀100 = 2. При решаването на логаритмите всички действия практически се сливат, за да се намери степента, до която трябва да се въведе основата на логаритъма, за да се получи определен брой.

За да определите точно стойността на неизвестна степен, трябва да научите как да работите с магистърската степен. Това изглежда така:

Както можете да видите, някои експоненти могат да бъдат познати интуитивно, ако има техническо мислене и познаване на таблицата за умножение. При големи стойности обаче е необходима таблица със степени. Тя може да се използва и от онези, които изобщо не разбират нищо по сложни математически теми. Лявата колона съдържа числа (база а), горният ред с номера е стойността на степен c, към която се увеличава числото a. На пресечната точка в клетките стойностите на числата, които са отговор (a^в= b). Вземете например първата клетка с числото 10 и я поставете квадрат, получаваме стойността 100, която е показана в пресечната точка на двете ни клетки. Всичко е толкова просто и лесно, че дори истински хуманист ще разбере!

Уравнения и неравенства

Оказва се, че при определени условия експонентът е логаритъмът. Следователно, всякакви математически числови изрази могат да бъдат написани под формата на логаритмично равенство. Например, 3⁴= 81 може да бъде написана под формата на логаритъм с число 81 с база 3, равна на четири (log₃81 = 4). За отрицателни правомощия правилата са еднакви: 2^-5= 1/32 пишем под формата на логаритъм, получаваме дневник₂ (1/32) = -5. Една от най-очарователните сектори на математиката е темата "логаритми". Примери и решения на уравненията ще бъдат разгледани по-долу, веднага след изучаване на техните свойства. А сега нека да анализираме как изглеждат неравенствата и как да ги различаваме от уравненията.

Посочва се следният израз: log₂(x-1)> 3 - това е логаритмично неравенство, тъй като неизвестната стойност на "x" е под знака на логаритъма. Също така в израза се сравняват две количества: логаритъмът на изискваното число на база две е по-голям от три.

Най-важната разлика между логаритмичните уравнения и неравенствата се състои във факта, че уравнения с логаритми (например логаритъм₂x = Radic-9) означава в отговора една или няколко дефинирани числени стойности, докато при решаването на неравенството се определят както обхватът на допустимите стойности, така и точките на прекъсване на тази функция. В резултат отговорът не е прост набор от отделни номера, както в отговора на уравнението, а непрекъсната серия или набор от числа.

Основни теореми за логаритмите

При решаването на примитивни задачи за намиране на стойностите на логаритъма неговите свойства може да не са известни. Когато става въпрос обаче за логаритмични уравнения или неравенства, на първо място е необходимо да се разбере и приложи на практика всички основни свойства на логаритмите. Ще се запознаем с примери за уравнения по-късно, нека първо анализираме всеки имот по-подробно.

1. Основната идентичност е следната: a^logaB= В. То се прилага само ако a е по-голямо от 0, не е равно на едно и B е по-голямо от нула.
2. Логаритъмът на продукта може да бъде представен в следната формула: log_г(и₁* s_{2) =} дънер_гите₁ + дънер_гите_2. В този случай задължителното условие е: d, s₁ и s₂ > 0-ane-1. Можем да дадем доказателство за тази формула на логаритмите, с примери и решения. Да предположим, че влезте_аите₁ = f₁ и лог_аите₂ = f₂, след това a^f1= s₁, а^f2= s_2. Ние получаваме това₁* s₂ = a^f1* a^f2= a^{f1 + f2} (свойства на правомощията), а след това по дефиниция: log_а(и₁* s₂) = f₁+ е₂ = log_аs1 + log_аите₂ което трябваше да бъде доказано.
3. Логаритъмът на коефициента е: log_а(и_{1 /}ите₂) = log_аите₁- дънер_аите_2.
4. Теоремата под формата на формула има следната форма: log_а^р б^п = n / q дневник_аб.

Тази формула се нарича "логаритмична собственост". Той прилича на свойствата на обикновените степени и не е изненадващо, защото цялата математика се основава на логически постулати. Нека да разгледаме доказателството.

Да предположим, че влезте_аb = t, получаваме a^т= б. Ако повдигнем двете страни на мощността m: a^TN = б^п;

но тъй като^TN= (а^р)^{nt / q} = б^п, следователно влезте_а^р б^п = (n * t) / t, след което влезте_а^р б^п = n / q дневник_аб. Теоремата е доказана.

Примери за проблеми и неравенства

Най-често срещаните видове проблеми на темата на логаритмите са примери за уравнения и неравенства. Те се намират в почти всички проблемни книги и също така са включени в задължителната част от изпитите по математика. За да влезете в университета или да вземете входните тестове по математика, трябва да знаете как правилно да решите такива задачи.

За съжаление, няма нито един план или схема за решаване и определяне на неизвестната стойност на логаритъма, но някои правила могат да бъдат приложени към всяко математическо неравенство или логаритмично уравнение. На първо място, е необходимо да се разбере дали е възможно да се опрости израза или да се постигне общ поглед. Можете да опростите дълги логаритмични изрази, ако използвате техните свойства правилно. Да ги опознаем.

При решаването на логаритмичните уравнения е необходимо да се определи какъв логаритъм е пред нас: пример за израз може да съдържа естествен логаритъм или десетичен.

Ето някои примери десетични логаритми: ln100, ln1026. Техното решение се свежда до факта, че е необходимо да се определи степента, до която основата 10 ще бъде равна на 100 и 1026, съответно. За решения на естествени логаритми трябва да се прилагат логаритмични идентичности или техните свойства. Нека да разгледаме примери за решения на логаритмични проблеми от различен тип.

Как да използваме формулите на логаритъма: с примери и решения

По този начин ние разглеждаме примери за използването на основните теореми за логаритмите.

1. Свойството на логаритъма на продукт може да се използва при задачи, при които е необходимо да се разгради голяма стойност на числото b в по-прости фактори. Например, влезте₂4 + log₂128 = log₂(4 * 128) = log₂512. Отговорът е 9.
2. дънер₄8 = log_2² 2³ = 3/2 log₂2 = 1,5 - както виждате, при прилагане на четвъртото свойство на степента на логаритъм, е било възможно на пръв поглед да се реши сложен и неразрешим израз. Необходимо е само да се разложи базата в множители и след това да се вземат стойностите на степента от знака на логаритъма.

Задания от USE

Логаритми често се срещат в приемните изпити, особено много логаритмични проблеми в USE (държавен изпит за всички, които напускат училище). Обикновено тези задачи присъстват не само в Част А (най-лесната част от изпитването), но и в Част В (най-сложните и обемни задачи). Изпитът означава точно и съвършено познаване на темата "Природни логаритми".

Примери и решения на проблемите са взети от официалните варианти на USE. Нека видим как такива задачи се решават.

Даден дневник₂(2x-1) = 4. Решение:
пренаписвайте израза, като леко го опростете с регистрационния файл₂(2х-1) = 2², с дефиницията на логаритъма, установяваме, че 2x-1 = 2⁴, следователно 2x = 17-х = 8.5.

По-долу са дадени няколко препоръки, след които можете лесно да разрешите всички уравнения, съдържащи изрази, които са под знака на логаритъма.

• Всички логаритми са най-добре да доведат до една причина, така че решението да не е тромаво и объркващо.
• Всичко на изразяване под знака на логаритъм е показан като положителна, така че, когато правите множител експонат израз, който се намира под знака на логаритъм, и като база, остава под логаритъм на изразяване трябва да бъде положителна.