Уравненията са ирационални и начините за решаването им

Изучавайки алгебра, учениците срещат уравнения от много видове. Сред тези, които са най-прости, могат да се наричат ​​линейни, съдържащи един неизвестен. Ако една променлива в математическия израз се повиши до определена степен, тогава уравнението се нарича квадрат, кубичен, бикварен и т.н. Тези изрази могат да съдържат рационални числа. Но има и ирационални уравнения. От другите те се отличават с наличието на функция, при която неизвестното е под знака на радикала (т.е. чисто външната променлива може да се види под квадратния корен). Решението на ирационалните уравнения има свои характерни черти. При изчисляването на стойността на дадена променлива, за да получите правилния отговор, те трябва да бъдат взети под внимание.

"Неустоими думи"

Не е тайна, че древните математици работят главно с рационални числа. За такива, както знаем, са цели, изразени чрез обикновени и десетични периодични фракции, представители на тази общност. Учените от Средния и Средния изток, както и от Индия, развиващи тригонометрия, астрономия и алгебра, ирационални уравнения също се научиха да решават. Например, гърците са знаели такива количества, но, като ги поставяли в словесна форма, използвали термина "alogos", което означавало "untold". Малко по-късно европейците, имитирайки ги, нарекоха такива "глухи". От всички други те се различават по това, че могат да бъдат представени само под формата на безкрайна неопериозна фракция, чието окончателно числено изразяване е просто невъзможно да се получи. Поради това по-често такива представители на царството на числата са написани под формата на числа и знаци като някакъв израз, който е под корена на втората или по-голямата степен.

Въз основа на гореизложеното, нека се опитаме да определим ирационалното уравнение. Такива изрази съдържат така наречените "неизразими числа", написани с помощта на знака за квадратен корен. Те могат да представят всякакви доста сложни варианти, но в най-простата форма имат формата, показана на снимката по-долу.

Когато се обърнем към решението на ирационалните уравнения, на първо място е необходимо да се изчисли обхватът на допустимите стойности на променливата.

Дали изразът има смисъл?

Необходимостта от проверка на получените стойности следва от свойствата на аритметичния квадратен корен. Както знаете, такъв израз е приемлив и има някакъв смисъл само при определени условия. В случаите на равномерна корен всички подчинени изрази трябва да бъдат положителни или равни на нула. Ако това условие не е изпълнено, тогава представеното математическо означение не може да се счита за смислено.

Нека да дадем конкретен пример за това как да решим ирационалните уравнения (на снимката по-долу).

В този случай е очевидно, че посочените условия не могат да бъдат изпълнени за всички стойности, взети от изискваното количество, тъй като се оказва, че 11 le- х 4. Това означава, че само Ø може да бъде решение.

Метод на анализ

От горното става ясно как да се решат ирационални уравнения от някои видове. Тук един прост анализ може да бъде ефективен начин.

Нека да дадем няколко примера, които отново показват това ясно (на снимката по-долу).

В първия случай, при по-внимателно изследване на израза, веднага става ясно, че това не може да бъде вярно. Всъщност, от лявата страна на уравнението трябва да се получи положително число, което по никакъв начин не може да бъде равно на -1.

Във втория случай сумата от два положителни израза може да се счита за равна на нула, само когато x = 3 = 0 и x + 3 = 0 в същото време. Но това отново е невъзможно. Така че, отговорът трябва отново да напише Ø.

Третият пример е много подобен на вече разгледания. Всъщност, защото тук условията в DSA изискват да бъдат изпълнени следните абсурдни неравенства: 5 х le- 2. Такова уравнение не може да има никакви звукови решения по същия начин.

Неограничено сближаване

Естеството на ирационалното може да бъде обяснено и обяснено най-ясно и напълно само чрез безкраен брой десетични номера. Един конкретен и ярък пример от членовете на това семейство е пи-и. Не без причина се предполага, че тази математическа константа е известна от древни времена, като се използва при изчисляване на обиколката и площта на кръга. Но сред европейците, тя се използва за пръв път от англичанина Уилям Джоунс и швейцарския Леонард Ойлер.

Тази константа се появява както следва. Ако сравнявате различни дължини около обиколката, тогава съотношението между техните дължини и диаметри е задължително равно на същото число. Това е пи-и. Ако я изразяваме като обикновена фракция, получаваме приблизително 22/7. За първи път това беше направено от великия Архимед, чийто портрет е представен на фигурата по-горе. Ето защо подобно число получи името си. Но това не е очевидно, а приблизителна стойност на почти най-изненадващия брой. Гениална учен в рамките на 0.02 намери желаното количество, но в действителност, тази константа не е реалната стойност, и се изразява като 3,1415926535hellip- е безкраен брой цифри, безкрайно по-близо до митичния стойност.

Квадратни квадратчета

Но нека се върнем към ирационалните уравнения. За да открият неизвестното, в този случай много често прибягват до един прост метод: издигат и двете части на съществуващото равенство в квадрат. Подобен метод обикновено дава добри резултати. Но ние трябва да вземем под внимание хитростта на ирационалните ценности. Всички корени, произтичащи от това, трябва да бъдат проверени, защото те може да не са подходящи.

Но ние ще продължим да разглеждаме примерите и да се опитаме да намерим променливите по нов начин.

Изключително просто е, използвайки теоремата на Виет, да се намерят търсените стойности на количествата, след като в резултат на определени операции се формира определено квадратично уравнение. Тук се оказва, че сред корените ще има 2 и -19. Въпреки това, когато проверявате, замествайки получената стойност в първоначалния израз, можете да се уверите, че никой от тези корени не е подходящ. Това е честно явление в ирационалните уравнения. Следователно, нашата дилема отново няма решения и отговорът трябва да показва празен набор.

Примерите са по-сложни

В някои случаи трябва да се поставят квадратните части на израза, не един, а няколко пъти. Помислете за примерите, когато това е необходимо. Те могат да се видят по-долу.

След като сте получили корените, не забравяйте да ги проверите, защото може да има допълнително. Трябва да се обясни защо това е възможно. При прилагането на този метод, уравнението е рационализирано по някакъв начин. Но да се отървем от нежелани нас корени, които пречат на продукция аритметика, като че ли сме се разшири съществуващия набор от ценности, която е изпълнена с (както можете да кажете) последици. Предвиждайки това, правим проверка. В този случай има възможност да се уверите, че един от корените е подходящ: x = 0.

система

Какво да правим в случаите, когато се налага да решаваме системите на ирационални уравнения, и ние нямаме само две неизвестни? Тук се процедираме по същия начин, както в обичайните случаи, но като се вземат предвид горните свойства на дадените математически изрази. И във всяка нова задача, разбира се, трябва да се използва творчески подход. Но отново е по-добре да разгледаме всичко по конкретния пример, представен по-долу. Тук не е необходимо просто да намерите променливите x и y, но и да посочите в отговора сумата им. По този начин съществува система, съдържаща ирационални количества (виж снимката по-долу).

Както можете да видите, тази задача не представлява нищо свръхестествено сложно. Необходимо е само да се покаже интелигентността и да се предположи, че лявата страна на първото уравнение е квадрата на сумата. Подобни задачи се намират в USE.

Нерационално в математиката

Всеки път, когато в човечеството възникна необходимостта от създаване на нови типове числа, когато му липсваше "пространство" за решаване на някои уравнения. Ирационалните номера не са изключение. Както свидетелстват фактите от историята, за пръв път великите мъдреци обърнаха внимание на това още преди нашата епоха, през VII век. Направи този математик от Индия, известен като Манав. Той ясно разбра, че е невъзможно да се извлече корен от някои естествени числа. Например към тези са 2-17 или 61, както и много други.

Един от питагорейците нарича Hippasus мислител, стигна до същия извод, опитвайки се за извършване на изчисления с числови изрази Пентаграм страни. Отваряне на математически елементи, които не могат да бъдат изразени в числови стойности и нямат свойствата на обикновени числа, той бил толкова ядосан, че колегите му се изхвърлят зад борда в морето. Фактът е, че другите питагореи смятат, че мотивите му са бунт срещу законите на Вселената.

Радикален знак: еволюция

Основният знак за изразяване на числената стойност на "глухите" номера е използван за незабавно решаване на ирационалните неравенства и уравнения. За първи път европейските, особено италианските математици започнали да мислят за радикала около 13 век. В същото време за обозначаване, изобретен да използва латински Р. Но немските математици са вършили работата си по различен начин. Ги по-скоро като буквата V. германий символ V на (2) се разпространява скоро, V (3), която е предназначена да се изрази корен квадратен от 2, 3 и така нататък. По-късно холандците се намесиха и промениха знака на радикала. А Рене Декарт завърши еволюцията, като донесе знака на квадратен корен до модерното съвършенство.

Да се ​​отървете от ирационалното

Нерационалните уравнения и неравенства могат да включват променлива не само под знака квадратен корен. Това може да бъде всяка степен. Най-често срещаният начин да се отървем от него е способността да повдигаме двете страни на уравнението до подходяща степен. Това е главното действие, което помага при справянето с ирационалното. Действията в равномерни случаи не са особено различни от действията, които вече бяха премахнати от нас по-рано. Там трябва да бъдат взети под внимание условията на не-негативност на radicand, а в края трябва да бъде взето решение скрининг външни променливи по такъв начин, както е показано в примерите вече обсъдени.

От допълнителните трансформации, които помагат да се намери правилният отговор, често се използва умножението на израз в конюгат, а често се налага въвеждането на нова променлива, която улеснява решаването. В някои случаи, за да намерите стойността на неизвестното, препоръчително е да приложите графиките.