Нерационални числа: какво е това и за какво се използват?

Какви са ирационалните числа? Защо се наричат ​​така? Къде се използват и какви са те? Малцина могат да отговорят на тези въпроси без колебание. Но всъщност отговорите на тях са доста прости, въпреки че не всички са необходими в много редки ситуации

Същността и предназначението

Нерационалните числа са безкрайни, не-периодични десетични фракции. Необходимостта от въвеждане на тази концепция се дължи на факта, че за решаване на нови възникващи проблеми не са съществували достатъчно предишни концепции за реални или реални, цели, естествени и рационални числа. Например, за да се изчисли до квадратчето каква стойност е 2, е необходимо да се използват непериодични безкраен десетичен знак. В допълнение, много от най-простите уравнения също нямат решение, без да въвеждат концепцията за ирационално число.

Този комплект се обозначава като I. И както е ясно, тези стойности не могат да бъдат представени под формата на проста фракция, в чийто числител има цяло число, а в знаменателя - естествено число.

За първи път индийски математици се сблъскаха с този феномен по един или друг начин през 7-и век пр.н.е., когато се установи, че квадратните корени на определени количества не могат да бъдат ясно обозначени. И първото доказателство за съществуването на такива числа се приписва на Питагорея Гипсус, който направи това в процеса на изучаване на един правоъгълен триъгълник. Сериозен принос за изучаването на този комплект бяха и някои други учени, които живееха преди нашата ера. Въвеждането на концепцията за ирационални числа доведе до преразглеждане на съществуващата математическа система, поради което те са толкова важни.

Произход на името

Ако съотношението в превод от латински е "фракция", "съотношение", префиксът "ir"
дава тази дума противоположно значение. По този начин името на набор от тези номера показва, че те не могат да бъдат корелирани с цяло число или частично, имат отделно място. Това произтича от същността им.

Поставете в общата класификация

Нерационалните числа, заедно с рационалните числа, се отнасят до групата реални или реални числа, които от своя страна се отнасят до сложни. Няма подгрупи, но те различават алгебричния и трансцеденталния сорт, който ще разгледаме по-долу.

свойства

Тъй като ирационалните числа са част от множеството реални числа, всички техни свойства са приложими към тях, които се изучават в аритметика (те се наричат ​​и основни алгебрични закони).

a + b = b + a (комутативност);

(a + b) + c = a + (b + c) (асоциативност);

а + 0 = а;

a + (-a) = 0 (наличието на противоположния номер);

ab = ba (закон за изместване);

(ab) с = a (bc) (разпределимост);

a (b + c) = ab + ac (закон за разпространението);

a x 1 = a

a x 1 / a = 1 (наличието на обратен брой);

Сравнението се извършва и в съответствие с общите закони и принципи:

Ако a> b и b> c, тогава a> c (преходността на връзката) и. и така нататък.

Разбира се, всички ирационални числа могат да бъдат трансформирани чрез използване на основни аритметични операции. В този случай няма специални правила.

В допълнение, ирационалните числа са подчинени на действието на аксиома на Архимед. В него се посочва, че за всяко две количества а и b, се твърди следното твърдение: като сума и достатъчно брой пъти, може да надвишава б.

използването на

Независимо от факта, че в обикновения живот често не трябва да се справяте с тях, ирационалните числа не могат да бъдат отчетени. Има много, но те са почти невидими. Ние сме заобиколени от ирационални номера навсякъде. Примери, познати на всички, - броя пи, равни 3.1415926 ... или д, е по същество основа на естествените логаритми, 2.718281828 ... В алгебра, тригонометрия и геометрията трябва да ги използват непрекъснато. Между другото, най-известните стойността на "златното сечение", т.е. съотношението на колко от високо към ниско и обратно, както и се отнася за този набор. По-малко известни "сребро" - също.

На цифровата линия те са много гъсти, така че между две количества, отнасящи се към набор от рационални, трябва да се намери един ирационален.

Досега има много нерешени проблеми, свързани с този набор. Съществуват такива критерии като мярка за ирационалност и нормалност на число. Математиците продължават да изследват най-значимите примери за принадлежността си към определена група. Например, се счита, че e е нормално число, т.е. вероятността за поява на различни цифри в неговия запис е еднаква. Що се отнася до пи, изследванията все още са в ход по отношение на него. Мярка на ирационалност е количеството, което показва колко добре може да се приближи число чрез рационални числа.

Алгебрични и трансцедентални

Както вече споменахме, ирационалните числа са произволно разделени на алгебрични и трансцендентални. Условно, тъй като, стриктно, тази класификация се използва за разделяне на комплекта C.

Под тази нотация са сложни числа, които включват реални или реални числа.

По този начин алгебричен термин е стойност, която е корена на полином, който не е идентичен с нула. Например, квадратният корен на 2 ще принадлежи към тази категория, тъй като е решение на уравнението x² - 2 = 0.

Всички останали реални номера, които не отговарят на това условие, се наричат ​​трансцендентални. Най-известните и вече споменати примери се отнасят до този сорт - числото pi и основата на естествения логаритъм e.

Интересното е, че нито едното, нито другото не бяха първоначално извлечени от математиците в тази способност, тяхната ирационалност и трансцендентност бяха доказани много години след откриването им. За Pi доказателство е дадено през 1882 г. и опростено през 1894 г., което сложи край на дебата за проблема с квадратура на кръга, която продължила 2,5 хиляди години. Все още не е напълно разбрано, така че съвременните математици да имат работа. Между другото, първият точен изчисление на тази стойност е направен от Archimedes. Преди него всички изчисления бяха прекалено приблизителни.

За e (числото на Ойлер или Напиер), доказателството за неговата трансцендентност се открива през 1873 г. Използва се при решаването на логаритмични уравнения.

Сред другите примери са синусовите, косинусовите и тангентните стойности за алгебрични ненулеви стойности.