Рационални числа и действия над тях

Понятието числа се отнася до абстракциите, които характеризират даден обект от количествена гледна точка. Дори в примитивното общество, хората имаха нужда от преброяване на предмети, така че се появиха цифрови означения. По-късно те стават основата на математиката като наука.

За да се работи с математически концепции, е необходимо първо да си представите какъв вид номера има. Има няколко основни типа номера. Това са:

1. Естествени - тези, които получаваме при номерирането на обекти (естествената им сметка). Много от тях означават Латино писмо Н.

2. Цяло число (техният комплект се обозначава с буква Z). Това включва естествени, противоположни отрицателни числа и нула.

3. Рационални числа (буква Q). Това са онези, които могат да бъдат представени под формата на фракции, чийто числител е равен на цяло число, а знаменателят на естествено число. Всички числа и естествени номера се отнасят до рационалното.

4. Валидни (означени с буквата R). Те включват рационални и нерационални числа. Нерационални са числата, получени от рационални чрез различни операции (изчисляване на логаритъма, извличане на корена), които сами по себе си не са рационални.

По този начин, всеки от изброените комплекти е подмножество от следното. Илюстрация на тази теза е диаграмата под формата на т.нар. кръгове на Ойлер. Фигурата представя няколко концентрични овала, всяка от които е разположена в другата. Вътрешният, най-малък овал (площ) обозначава набор от естествени числа. Той напълно обхваща и включва област, символизираща набор от числа, които на свой ред са затворени в областта на рационалните числа. Външният, най-големият овал, включително всички останали, обозначава масив реални номера.

В тази статия ще разгледаме набор от рационални номера, техните свойства и характеристики. Както вече беше споменато, всички съществуващи числа (положителни, отрицателни и нулеви) принадлежат на тях. Рационалните номера представляват безкрайна серия със следните свойства:

- този комплект е поръчан, т.е. ако вземем чифт числа от тази серия, винаги можем да разберем кой от тях е по-голям;

- като вземем чифт от такива числа, винаги можем да поставим между тях поне още един и следователно цяла серия от тях - по този начин рационалните числа представляват безкраен брой;

- Всичките четири аритметични операции върху такива числа са възможни, резултатът от тях е винаги определен брой (също рационален) - изключението е разделянето с 0 (нула) - това е невъзможно;

- Всички рационални числа могат да бъдат представени като десетични фракции. Тези фракции могат да бъдат ограничени или безкрайни периодични.

За да сравните две числа, свързани с набор от рационални, е необходимо да запомните:

Всяко положително число е по-голямо от нула;

- Всяко отрицателно число винаги е по-малко от нула;

- когато се сравняват два отрицателни рационални числа, има повече от тях, чиято абсолютна стойност (модул) е по-малка.

Как се извършват действията с рационални номера?

За да добавите две такива числа със същия знак, трябва да добавите абсолютните им стойности и да поставите общ знак преди сумата. За да добавите числа с различни знаци, от по-голямата стойност се изважда по-малката и се поставя знакът на единия от тях, чиято абсолютна стойност е по-голяма.

За да извадите един рационален номер от друг, е достатъчно да добавите обратното на второто към първото число. За да умножите две числа, трябва да умножете стойностите на техните абсолютни стойности. Полученият резултат ще бъде положителен, ако факторите имат един и същ знак и отрицателен, ако е различен.

Разделението се прави по същия начин, т.е. има частична абсолютна стойност, а преди резултата знакът "+" се поставя в случай на делими и делителски знаци и знак ";" в случай на несъответствие.

Степените на рационални номера изглеждат като продукти на няколко ко-фактори, еднакви един с друг.