Реални номера и техните свойства

Питагорс твърди, че броят е в основата на света на равна нога с основните елементи. Платон вярва, че номерът свързва феномена и номенума, като помага да се познават, измерват и извличат заключения. Аритметика идва от думата "arithmos" - числото, началото започва в математиката. Той може да опише всеки обект - от елементарна ябълка до абстрактни пространства.

Нуждите като фактор на развитие

В началните етапи на формирането на обществото нуждите на хората са били ограничени до необходимостта от преброяване - една торба от зърно, две торби от зърно и т.н. За да направите това, е достатъчно да имаме естествени номера, чийто набор е безкраен положителен последовател на числа N.

По-късно, с развитието на математиката като наука, възникна необходимост от отделно поле на цели числа Z - включва отрицателни величини и нула. Неговото появяване на национално ниво беше провокирано от факта, че в отдела за първични сметки беше необходимо някак да се фиксират дълговете и загубите. На научното ниво отрицателните числа дават възможност за решаване на протозои линейни уравнения. Между другото, сега стана възможно да се покаже тривиална координатна система, защото се появи референтна точка.

Следващата стъпка беше необходимостта от въвеждане на частични числа, тъй като науката не стои неподвижна, все повече нови открития изискват теоретична основа за нов тласък на растежа. Така че имаше поле рационални числа Q.

И накрая, рационалността престана да удовлетворява исканията, защото всички нови заключения изискват обосновка. Появява се поле на реални числа R, работата на Евклид за несъизмеримостта на определени количества поради тяхната ирационалност. Това означава, че древните гръцки математици позиционират числото не само като постоянна, но и като абстрактна стойност, която се характеризира със съотношението на несъизмерими количества. Благодарение на факта, че са се появили реални числа, "ценности" като "пи" и "е" са били "видими", без които съвременната математика не би могла да се случи.

Последното нововъведение беше сложен номер В. Той отговори на редица въпроси и отхвърли по-рано въведените постулати. Поради бързото развитие на алгебра резултатът е предвидим - с реални числа, решаването на много проблеми е невъзможно. Например, благодарение на сложните номера, теория на струните и хаос, уравненията на хидродинамиката са се разширили.

Теория на сета. кантор

Концепцията за безкрайност по всяко време е противоречива, тъй като не може нито да бъде доказана, нито опровергана. В контекста на математиката, която работи с строго потвърдени постулати, това се проявява най-ясно, особено след като теологичният аспект все още имаше тежест в науката.

Въпреки това, благодарение на работата на математика Георг Кантор, всичко с течение на времето падна на място. Той доказва, че безкрайните множества съществуват безкрайно множество, а фактът, че полето R е по-голямо от полето N, не позволява на двата да имат край. В средата на XIX век неговите идеи са били наречени силно заблуди и престъпления срещу класически, непоклатими канони, но времето поставя всичко на свое място.

Основните свойства на полето R

Реалните числа имат не само същите свойства като подсистемите, които са включени в тях, но също така се допълват от други, поради теглото на елементите им:

• Нула съществува и принадлежи към полето R. c + 0 = c за всеки c в R.
• Има нула и принадлежи към полето R. c x 0 = 0 за всеки c в R.
• Съотношението c: d за d ne-0 съществува и е реално за всеки c, d в R.
• Полето R се подрежда, т.е. ако c d d че c = d за всеки c, d в R.
• Добавянето в полето R е комутативно, т.е. c + d = d + c за всеки c, d в R.
• Умножението в полето R е комутативно, т.е. cx d = dx c за всеки c, d в R.
• Добавянето в полето R е асоциативно, т.е. (c + d) + f = c + (d + f) за всеки c, d, f в R.
• Размножаването в полето R е асоциативно, т.е. (c x d) x f = c x (d x f) за всеки c, d, f в R.
• За всяко число от полето R съществува противоположна такава, че c + (-c) = 0, където c, -c от R.
• За всяко число в полето R има обратно такава, че c x c^-1 = 1, където c, c^-1 от R.
• Единица съществува и принадлежи към R, така че c x 1 = c, за всеки c в R.
• Законът за разпространението държи така, че cx (d + f) = c x d + c x f, за всеки c, d, f в R.
• В полето R нулата не е равна на една.
• Полето R е транзитивно: ако в d d le-f, тогава c le-f за всеки c, d, f в R.
• В полето R реда и добавянето са взаимосвързани: ако в le-d, след това c + f le-d + f за всеки c, d, f в R.
• В полето R редът и умножението са взаимосвързани: ако 0 ле-с, 0 le-d, след това 0 le-c xd за всеки c, d от R.
• Както отрицателните, така и положителните реални числа са непрекъснати, т.е. за всеки c, d в R, има f в R, така че c le- е ле.

Модулът в полето R

Реалните номера включват нещо като модул. Обозначава се като | f | за всеки f в R. | f | = f, ако е 0 le-f и | f | = -f, ако 0> f. Ако разгледаме модула като геометрична стойност, тогава е изминатото разстояние - няма значение дали сте "преминали" с нула в минус или напред към плюс.

Комплексни и реални числа. Какво е обикновено и какви са разликите?

Като цяло сложните и реалните числа са едни и същи, с изключение на това, че въображаемата единица i, чийто квадрат е -1, се присъедини към първата. Елементите на полетата R и C могат да бъдат представени като следната формула:

• c = d + f x i, където d, f принадлежат към полето R, а i е въображаемата единица.

За да се получи c от R в този случай, f просто се счита за равен на нула, т.е. само реалната част от числото остава. Тъй като полето на сложните числа има същите свойства като полето на реалните числа, f x i = 0, ако f = 0.

По отношение на практическите различия, например, в областта R квадратично уравнение Не е решен, ако дискриминаторът е отрицателен, докато полето С не налага такова ограничение поради въвеждането на въображаемата единица i.

резултати

"Тухлите" на аксиомите и постулатите, на които се основава математиката, не се променят. Някои от тях, във връзка с увеличаването на информацията и въвеждането на нови теории, поставят следните "тухли", които в бъдеще могат да станат основа за следващата стъпка. Например, естествените номера, въпреки че са подмножество на реалното поле R, не губят своята релевантност. На тях се основава цялата елементарна аритметика, с която започва познанието на човека на света.

От практическа гледна точка реалните номера изглеждат като права линия. На него можете да изберете посоката, да посочите произхода и стъпката. Правната линия се състои от безкраен брой точки, всеки от които съответства на едно реално число, рационално или не. От описанието става ясно, че говорим за понятие, на което и математиката като цяло и математически анализ по-специално.