Георг Кантор: Теория на сета, биография и семейна математика

Джордж Кантор (на снимката по-долу в статията) е немски математик, който създава теорията на сериите и въвежда концепцията за трансфинити числа, безкрайно големи, но се различава един от друг. Той също така даде определение на кориндови и кардинални номера и създаде своята аритметика.

Джордж Кантор: кратка биография

Роден е в Санкт Петербург на 03/03/1845. Баща му беше Дане на протестантската религия Георг-Валдемар Кантор, който участва в търговията, включително и на фондовата борса. Майка му Мария Бойм беше католичка и дойде от семейство от изключителни музиканти. Когато през 1856 г. бащата на Георг се разболява, семейството се премества във Висбаден, а след това във Франкфурт, търсейки по-мек климат. Майчинските таланти на момчето се появяват преди 15-ия му рожден ден, докато учат в частни училища и гимназии в Дармщат и Висбаден. В крайна сметка Георг Кантор убеждава баща си в твърдото си намерение да стане математик, а не инженер.

След кратко проучване в Университета в Цюрих през 1863 г., Кантор се премества в университета в Берлин, за да учи физика, философия и математика. Там го научиха:

• Карл Теодор Вайерщрас, чиято специализация в анализа вероятно е имала най-голямо влияние върху Георг;
• Ърнст Едуард Куммер, който преподавал по-високата аритметика;
• Леополд Кронекер, специалист по теория на броя, който впоследствие се противопостави на Кантор.

След като прекара един семестър в университета в Гьотинген през 1866 г., през следващата година Джордж пише докторска дисертация на тема "В математиката, изкуството на задаване на въпроси е по-ценно от решаване на проблеми" по отношение на проблема, че Карл Фридрих Гаус остави нерешен в неговата Disquisitiones Arithmeticae (1801) , След кратко учи в Берлин училище за момичета Кантор започва да работи в университета в Хале, където остава до края на живота си, първо като лектор, тъй като 1872 като асистент, а от 1879 г. първоначално като професор.

изследване

В началото на серия от 10 творби от 1869 до 1873 г. Георг Кантор разглежда теорията на числата. Работата отразява очарованието на субекта, неговите изследвания на Гаус и влиянието на Кронекер. По предложение на Хайнрих Хайне Едуард, колеги Кантор в Хале, които признават неговият математически талант, той се обърна към теорията на тригонометрични серия, която се разширява понятието за реални числа.

Въз основа на работата функция на комплексна променлива на германския математик Бернхард Риман през 1854 г., през 1870 г. Cantor е показал, че такава функция може да се представи само по един начин - чрез тригонометрични серия. Разглеждането на съвкупността от числа (точки), които не биха противоречали на това виждане, го доведоха, първо, през 1872 г. до дефиницията ирационални номера по отношение на конвергентни последователности рационални числа (фракции от числа) и още до началото на работата по работата на целия му живот, теорията на множествата и концепцията за трансфинити числа.

Теория на сериите

Георг Кантор, теорията, която определя с произход в съответствие с Техническия институт Брауншвайг математик Рихард Дедекинд, е бил приятел с него от детството си. Те стигат до извода, че комплектите, крайни или безкрайни, са множество елементи (например, номера {0, ± 1, ± 2, ...}), които са определени свойства, като се запазва тяхната индивидуалност. Но когато Георг Кантор прилага за изучаване техните характеристики еднозначна (например, {A, B, C} на {1, 2, 3}), той бързо разбира, че те се различават по степента на тяхната принадлежност, дори и да са били определя безкраен , т.е. определя, чиято част или подгрупа включва толкова обекти, колкото самият той. Неговият метод скоро произвел изненадващи резултати.

През 1873, Georg Cantor (математик) показва, че рационални числа, въпреки че безкрайна, са броими, защото те могат да бъдат поставени в един към един съответствие с природен (т.е.. Д. 1, 2, 3 ,. D.). Той показа, че наборът от истински номера, състоящ се от ирационални и рационални, е безкраен и неописуем. Какъв парадокс, Cantor доказа, че множеството на всички алгебрични числа съдържа най-много елементи, като множеството от всички числа, както и че трансцендентно число, които не са алгебрични, които са подмножество на ирационални числа е неизброимо, а оттам и броят им е по-голяма от числата , и трябва да се считат за безкраен.

Противниците и поддръжниците

Но работата на Кантор, в която за пръв път представи тези резултати, не бе публикувана в списанието Krell, тъй като един от рецензенти, Kronecker, категорично се противопостави. Но след намесата на Дедекинд тя е публикувана през 1874 г. под заглавието "На характерните свойства на всички истински алгебрични числа".

Наука и личен живот

През същата година, по време на меден месец със съпругата си Вали Гутман в Интерлакен, Швейцария, Кантор се срещна с Дедекинд, който любезно отговори на новата си теория. Заплатата на Джордж била малка, но с парите на баща си, умрял през 1863 г., той построил къща за жена си и пет деца. Много от произведенията му са публикувани в Швеция в новото списание Acta Mathematica, чийто редактор и основател е Геста Митаг-Лефлър, сред първите, които признават таланта на немския математик.

Връзка с метафизиката

Теоретично Cantor е напълно нов предмет на изследвания, свързани с математика безкраен (например, последователността, 1, 2, 3 ,. D., и по-сложни серии), която е до голяма степен зависи от едно към едно кореспонденция. Развитието на нови методи за повдигане на въпроси относно непрекъснатостта и безкрайността на Кантор даде на изследването си двусмислен характер.

Когато твърди, че наистина съществуват безкрайни числа, той се обръща към древна и средновековна философия по отношение на действителната и потенциална безкрайност, както и на ранното религиозно образование, което родителите му дадоха. През 1883 г. в книгата си "Основите на теорията на общите сетове" Кантор комбинира своята концепция с метафизиката на Платон.

Кронекер също, който твърди, че "има" само числа ( "Бог е създал целите числа, а останалите - дело на човека"), в продължение на много години силно отхвърли аргументите му и предотвратява неговото назначаване в университет в Берлин.

Превъзходни числа

През годините 1895-97. Георг Кантор напълно оформени идеята си за приемственост и безкрайност, включително безкрайни серийни номера и посоките на света, в най-известната му творба, публикувана под заглавие "Принос към теорията на transfinite номера" (1915). Тази работа включва неговата концепция, на което той е ръководил демонстрация, че безкраен набор може да бъде доставена в съответствие едно към едно с един от нейните подгрупи.

Под най-малкия транслиминиран кардинален номер той имаше предвид силата на всеки комплект, който може да бъде поставен в кореспонденция "един към един" с естествени номера. Кантор го нарече алеф нула. Големите трансфинити комплекти се означават с alef-one, alef-two и т.н. Той допълнително развива аритметиката на transfinite номера, която е аналогична на крайната аритметика. По този начин той обогатява идеята за безкрайност.

Опозицията, пред която е изправен, и времето, необходимо да се приемат напълно, се обясняват с трудностите при преоценката на древния въпрос за това какво е числото. Кантор показа, че наборът от точки на линията има по-голяма мощност от албума-нула. Това доведе до добре познатия проблем на хипотезата за континуум - няма никакви кардинални числа между алефа нула и силата на точките на линията. Този проблем през първата и втората половина на 20-ти век предизвиква голям интерес и е проучен от много математици, включително Кърт Гьодел и Пол Коен.

депресия

Биографията на Джордж Кантор от 1884 г. е засенчена от психическото заболяване, което започва с него, но той продължава да работи активно. През 1897 г. той помага за провеждането на първия международен математически конгрес в Цюрих. Отчасти, защото той се противопоставя на Кронекер, той често симпатизира на младите прохождащи математици и се опита да намери начин да ги спаси от тормоз от страна на учителите, които се чувстват заплашени от нови идеи.

признаване

В края на века неговата работа е била напълно призната като основа за теорията на функциите, анализа и топологията. В допълнение, книгите на Кантор Джордж служеха като стимул за по-нататъшното развитие на интуиционистките и формалистични училища на логическите основи на математиката. Това значително промени образователната система и често се свързва с "нова математика".

През 1911 г. Кантор е сред поканените да отпразнуват 500-годишнината от университета "Св. Андрюс" в Шотландия. Той отишъл там с надеждата да се срещне с Бертран Ръсел, който в неотдавна публикуваното си творчество "Principia Mathematica" многократно споменава немския математик, но това не се случи. Университетът присъжда на Cantor почетната степен, но поради болест той не може да приеме лично наградата.

Кантор се пенсионира през 1913 г., живее в бедност и по време на Първата световна война е гладувал. Честванията в чест на 70-ия й рожден ден през 1915 г. бяха отменени поради войната, но в дома му се състоя малка церемония. Умира на 06.01.1918 г. в Хале, в психиатрична болница, където е прекарал последните години от живота си.

Джордж Кантор: биография. семейство

На 9 август 1874 г. немски математик се жени за Вали Гутман. Двойката имаше 4 сина и 2 дъщери. Последното дете е родено през 1886 г. в новата къща, купена от Кантор. За да поддържа семейството му, той е помогнал от наследството на баща му. За здравето на Cantor силно засегна смъртта на най-малкия си син през 1899 г. - оттогава той не е бил депресиран.