Методът на Креймър и неговото приложение

Методът Cramer е един от точните методи за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения (SLAE). Неговата точност се дължи на използването на детерминанти на матрицата на системата, както и някои ограничения, наложени в процеса на доказване на теоремата.

Системата на линейни алгебрични уравнения с коефициенти, принадлежащи например на множеството R-реални числа, от неизвестните x1, x2, ..., xn е набор от изрази на формата

ai2x1 + ai2x2 + hellip-ain xn = bi за i = 1, 2, hellip-, m, (1)

където aij, bi са реални числа. Всеки от тези изрази се нарича линейно уравнение, aij - коефициенти за неизвестни, двуделни коефициенти на уравненията.

Разтворът на системата (1) е n-размерният вектор x ° = (x1 °, x2 °, hellip-, xn °), когато заместваме всеки от редовете в системата вместо неизвестните x1, x2, ..., равенство.

Системата се смята за съвместена, ако има поне едно решение и е несъвместима, ако нейното решение съвпада с празния комплект.

Трябва да се помни, че за да се намери решение на системи от линейни алгебрични уравнения, използвайки метода на Креймър, матриците на системите трябва да са квадратни, което по същество означава същия брой неизвестни и уравнения в системата.

Затова, за да използваме метода на Креймър, какво представлява матрицата системи на линейни алгебрични уравнения и как е изписано. И второ, да разберем това, което се нарича детерминанта на матрицата, и да познаваме уменията на нейното изчисление.

Да предположим, че притежавате това знание. Чудесно! След това трябва само да запомните формулите, които определят метода на Креймър. За да опростим запаметяването, използваме следното означение:

• Det е основната детерминанта на системната матрица;

• deti е детерминанта на матрицата, получена от основната матрица на системата, ако заместим i-тата колона на матрицата с колонен вектор, чиито елементи са дясната страна на системите на линейни алгебрични уравнения;

• n е броят на неизвестните и уравненията в системата.

Тогава правилото Cramer за изчисляване на i-тата компонента xi (i = 1, ... n) на n-размерния вектор х може да бъде написано във формата

xi = deti / Det, (2).

Дето е строго ненормално.

Уникалността на решението на системата, когато е съвместима, гарантира, че основната детерминанта на системата е нула. В противен случай, ако сумата (xi), квадрат, е строго положителна, тогава SLAE с квадратната матрица ще бъде несъвместима. Това може да се случи, по-специално, когато поне едно от децата е различно от нула.

Пример 1. Решете триизмерната система на LAA, използвайки формулите на Cramer.
x1 + 2 х 2 + 4 х 3 = 31,
5 х 1 + х 2 + 2 х 3 = 29,
3 х1 - х2 + х3 = 10.

Решението. Нека да напишем матрицата на системната матрица по ред, където Ai е i-тия ред на матрицата.
А1 = (1 2 4), А2 = (512), АЗ = (3-1 1).
Колоната от свободни коефициенти b = (31 29 10).

Основната детерминанта на системата Det е
Det = а11 а22 а33 + а12 а23 а31 + а31 а21 а32 - а13 а22 а31 - а11 а32 а23 - а33 а21 а12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = -27.

За да изчислим det1, използваме заместването a11 = b1, a21 = b2, a31 = b3. след това
det1 = b1 a22 а33 + а12 а23 b3 + a31 b2 a32 - а13 а22 b3 - b1 a32 а23 - а33 b2 a12 = ... = -81.

По подобен начин, за да изчислим det2, използваме замяната a12 = b1, a22 = b2, a32 = b3 и, съответно, за да изчислим det3 - a13 = b1, a23 = b2, a33 = b3.
След това можете да проверите дали det2 = -108 и det3 = -135.
Според формулите на Креймър, намираме x1 = -81 / (-27) = 3, х2 = -108 / (-27) = 4, х3 = -135 / (-27) = 5.

отговори на: х ° = (3,4,5).

Въз основа на условията за приложимост на това правило методът на Креймър за решаване на системи от линейни уравнения може да се използва косвено, например, с цел да се изследва системата за възможно количество решения в зависимост от стойността на някой параметър k.

Пример 2. Определете за какви стойности на параметъра k неравенството | kx - y - 4 | + | x + ky + 4 |<= 0 има точно едно решение.

Решението.
Това неравенство, по силата на дефиницията на модула на функция, може да бъде изпълнено само ако и двата израза са нулеви. Следователно, този проблем намалява до намирането на решение на линейна система от алгебрични уравнения

kx-y = 4,
x + ky = -4.

Решението на тази система е уникално, ако е основната й детерминанта
Det = k ^ {2} + 1 е нула. Очевидно това условие важи за всички реални стойности на параметъра k.

отговори на: за всички реални стойности на параметъра k.

За проблеми от този тип, много практически проблеми от областта математика, физика или химия.