Методът на крайните елементи е универсален начин за решаване на диференциални уравнения

В съвременната наука има много подходи за изграждане на количествени математически модел всяка система. И един от тях се счита за метод на крайните елементи, който се основава на установяването на поведението на диференциалния (незначителния) елемент от него, основавайки се на предполагаемата връзка между основните елементи, която може да даде пълна характеристика на тази система. По този начин, тази техника използва диференциални уравнения в описанието на системата.

Теоретични аспекти

Теоретичните методи се ръководят от метода на крайните различия, който е предшественик на тази серия от инструменти за смятане и се използва широко. В методите на крайните разлики, тяхното приложение към всяко диференциални уравнения. Въпреки това, поради тромавостта и трудната програмируемост на отчитането на граничните условия в проблема, съществуват известни ограничения при прилагането на тези техники. Точността на решението зависи от нивото на мрежата, което определя възловите точки. Следователно, когато решаваме проблеми от този тип, често е необходимо да се обмислят системи от алгебрични уравнения от по-висок порядък.

Методът на крайните елементи е подход, който е достигнал много висока степен на точност. И днес много учени отбелязват, че на настоящия етап няма аналогичен метод, способен да постигне същите резултати. Методът на крайните елементи има широк спектър на приложимост, неговата ефективност и лекота, с които са взети предвид реалните гранични условия, дават възможност да се превърне в сериозен претендент за всеки друг метод. Въпреки това, в допълнение към тези предимства, той се характеризира с някои недостатъци. Например, тя се представя чрез схема за вземане на проби, която неизбежно води до използването на голям брой елементи. Особено, ако говорим за триизмерни проблеми, които имат отдалечени граници и в рамките на всяка от тях, непрекъснатостта се проследява за всички неизвестни променливи.

Алтернативен подход

Като алтернатива, някои учени предлагат използването на аналитична интеграция на система от диференциални уравнения по друг начин или чрез въвеждане на някои приближения. Във всеки случай, независимо от метода, който се използва, първо трябва да се интегрира диференциалното уравнение. Като първи етап от решаването на проблема е необходимо да се трансформират диференциалните уравнения в система от интегрални аналози. Тази операция ни позволява да получим система от уравнения, която има стойности в даден регион.

Друг алтернативен подход е методът на граничните елементи, чието развитие е изградено върху идеята за интегрални уравнения. Този метод е широко използван без доказателство за уникалност във всяко отделно решение, поради което той става много популярен и се реализира чрез компютърни технологии.

Обхват на приложение

Методът на крайните елементи се използва доста успешно в комбинация с други числови методи в смесени формулировки. Тази комбинация ни позволява да разширим обхвата на приложението си.