Математическа матрица. Умножение на матрици

Дори математиците от древен Китай използват в своите изчисления рекорд под формата на таблици с определен брой редове и колони. След това подобни математически обекти се наричат ​​"магически квадрати". Въпреки че има известни случаи на използване на таблици в формата на триъгълници, които не са широко разпространени.

Към днешна дата математическа матрица се разбира като обем на правоъгълна форма с определен брой колони и символи, които определят размера на матрицата. В математиката тази форма на писане намери широко приложение за записване в компактна форма на системи от диференциални, както и линейни, алгебрични уравнения. Предполага се, че броят на редове в матрицата е равен на броя на уравненията, присъстващи в системата, броят на колоните съответства на броя неизвестни данни, които трябва да бъдат определени по време на решаването на системата.

Освен факта, че самата матрица в хода на неговото решение води до намиране на неизвестен присъщ на състоянието на системата, има редица алгебрични операции, които имат право да носят за даден математически обект. Този списък включва добавянето на матрици със същите размери. Размножаването на матрици с подходящи размери (възможно е да се размножават матрица с едната страна с броя на колоните, равен на броя на редовете на матрицата от другата страна). Също така е възможно матрицата да се умножи по вектор или елемент от полето или от основния пръстен (в противен случай е скалар).

Като се има предвид размножаването на матриците, трябва внимателно да се следи, че броят на колоните на първия отговаря стриктно на броя редове от втората. В противен случай това действие върху матриците няма да бъде определено. Съгласно правилото, на което матрицата се умножава по матрица, всеки елемент в новата матрица се приравнява към сумата от продуктите на съответните елементи от редовете на първата матрица към елементите, взети от колоните на другата.

За по-голяма яснота нека разгледаме пример за това как се получава мултиплицирането на матрицата. Вземаме матрицата А

2 3 -2

3 4 0

-1 2 -2,

умножете го по матрицата Б

3 -2

1 0

4 -3.

Елементът на първия ред на първата колона на получената матрица е 2 * 3 + 3 * 1 + (-2) * 4. Съответно, в първия ред във втората колона елемент ще се равнява на 2 * (- 2) + 3 * 0 + (- 2) * (- 3), и така нататък до запълване на всеки елемент на новата матрица. Правило матрица умножение включва, че резултатът от продукта матрица с параметрите в м х п матрица със съотношение на п х к, се превръща в таблица, която има с размери m х к. Следвайки това правило, можем да заключим, че продуктът на т. Нар. Квадратни матрици от една и съща последователност винаги е дефиниран.

От свойствата, които притежава матричното умножение, е необходимо да се посочи като едно от основните неща, че тази операция не е комутативна. Това е продукт на матрица М до N не е равна на произведението на N от М. Ако в квадратни матрици на същия ред, се наблюдава, че им напред и назад продукт винаги се определя, различаващи се само в резултат на правоъгълна матрица като определени условия не винаги са изпълнени.

Умножението на матриците има редица свойства, които имат ясни математически доказателства. Асоциативността на мултиплицирането предполага правилността на следния математически израз: (MN) K = M (NK), където M, N и K са матрици с параметри, за които е дефинирано умножение. Distributivity умножение предполага, че М (N + K) = MN + MK, (М + Н) K = MK + NK, L (MN) = (LM) N + M (LN), където L - брой.

Последица от свойството на матрично умножение, наречено "асоциативност", предполага, че на работа, съдържаща три или повече фактора, се позволява да пише без да използва скоби.

Използването на свойството на разпределение дава възможност за отваряне на скоби при изследване на матрични изрази. Обръщаме внимание, ако отворим скоби, тогава трябва да запазим реда на факторите.

Използването на матрични изрази позволява не само компактното записване на тромави системи от уравнения, но и улеснява процеса на тяхната обработка и решение.