Как да намерим детерминанта на матрицата?

Намирането на детерминанта на матрицата е важно действие не само за линейна алгебра: например в икономиката, това изчисление решава системите линейни уравнения с много неизвестни, широко използвани в икономическите проблеми.

Понятието за детерминанта

Детерминанта или детерминанта на матрицата е количество, равно на обемът на паралелепипеда, изграден върху векторите-редове или колони. Изчислете тази стойност само за квадратна матрица, в която броят редове и колони е еднакъв. Ако членовете на матрицата са числа, детерминанта ще бъде и число.

Изчисляване на детерминанти

Трябва да се помни, че съществуват няколко правила, които могат значително да улеснят тези изчисления.

Така детерминанта на матрица, състояща се от един термин, е равен на нейния един елемент. За да се изчисли детерминанта на втората последователност не е трудно, за това е достатъчно да се извади продуктът на елементите, намиращи се на вторичния диагонал, от продукта на термините на основния диагонал.

Изчисляването на детерминанта от ред 3 се извършва най-лесно съгласно правилото на триъгълника. За тази цел изпълнете следните действия:

1. Откриваме произведението от три термина на матрицата, разположено върху главницата мудиагонал.
2. Умножаваме три термина на триъгълници, чиито основи са успоредни на основния диагонал.
3. Повтаряме първото и второто действие за страничния диагонал.
4. Намираме сумата от всички стойности, получени при предишните изчисления, докато цифрите, получени в третия параграф, се вземат със знак минус.

За да се намери лесно детерминанта на матрица от ред 4, както и по-високи размери, е необходимо да се имат предвид качествата, които всички детерминанти притежават:

1. Стойността на детерминанта не се променя след транспонирането на матрицата.
2. Пренареждането на два съседни редици или колони води до промяна в знака на детерминанта.
3. Ако в матрицата има два еднакви редове или колони, или всички елементи на колоната (редове) са нула, тогава нейната детерминанта е нула.
4. Умножаването на числата на матриците с произволен брой води до увеличаване на детерминанта с един и същ брой пъти.

Използването на горните свойства помага лесно да се намери детерминанта на матрица от всякакъв ред. Например, използвайки за тази цел метод за намаляване на реда, при който детерминанта се разлага на елементи от ред (колона), умножени с алгебричен комплемент.

Друг начин, който значително опростява намирането на детерминанта матрицата, е нейното намаляване до триъгълна форма, когато всички елементи под основния диагонал са равни на нула. В този случай детерминанта на матрицата се изчислява като продукт на числата, разположени на този диагонал.

И накрая бих искал да отбележа, че изчисляването на детерминантите, макар че се състои от привидно прости математически изчисления, но изисква значителна грижа и постоянство.