Видове матрици. Стъпален изглед на матрицата. Намаляване на матрицата на стъпаловидна и триъгълна форма

Матрицата е специален обект в математиката. Показва се под формата на правоъгълна или квадратна маса, сгъната от определен брой редове и колони. В математиката има голямо разнообразие от видове матрици, които се различават по размер или съдържание. Номерата на редовете и колоните се наричат ​​поръчки. Тези обекти се използват в математиката за организиране на записа на системи от линейни уравнения и удобно търсене на техните резултати. Уравненията, използващи матрица, се решават по метода на Карл Гаус, Габриел Крамер, непълнолетни и алгебрични допълнения, както и чрез много други методи. Основното умение при работа с матрици е намаляването до стандартния изглед. Въпреки това, за начало, нека да разгледаме какви матрици математиката може да осигури.

Тип нулиране

Всички компоненти на този тип матрица са нули. Междувременно броят на редовете и колоните е напълно различен.

Тип квадрат

Броят колони и редове от този вид матрица е същият. С други думи, това е таблица с формата "квадрат". Броят на нейните колони (или редове) се нарича поръчка. Особени случаи са наличието на матрица втора реда (2x2 матрица), четвърти ред (4x4), десета (10x10), седемнадесета (17х17) и т.н.

Векторно stobets

Това е един от най-простите видове матрици, съдържащи само една колона, която включва три цифрови стойности. Той представлява серия от свободни термини (числа, независими от променливите) в системи от линейни уравнения.

Векторен низ

Изглед, подобен на предишния. Състои се от три числени елемента, които на свой ред са организирани на една линия.

Диагонален тип

Числени стойности в диагоналната форма на матрицата вземат само компонентите на основния диагонал (маркирани в зелено). Главният диагонал започва с елемента в горния десен ъгъл и завършва с число в третата колона на третия ред. Останалите компоненти са нула. Типът диагонал е само квадратна матрица от някакъв ред. Сред матриците на диагоналната форма може да се избере скаларна матрица. Всички компоненти имат същите стойности.

Матрицата за идентичност

Подвидове на диагонална матрица. Всички цифрови стойности са единици. Използвайки един вид матрични таблици, изпълнявайте основните трансформации или намерете матрица, обратна на оригиналната.

Каноничен тип

Каноничната форма на матрицата се счита за една от основните, намаляването до нея често е необходима за работа. Броят редове и колони в каноничната матрица е различен, не е задължително да принадлежи към квадратния тип. Това е до известна степен подобно на матрицата на единицата, но в случая не всички компоненти на основния диагонал имат стойност, равна на една. Основните диагонални единици могат да бъдат две, четири (всичко зависи от дължината и ширината на матрицата). Или единиците не могат изобщо да съществуват (тогава се счита за нула). Останалите компоненти от каноничния тип, като елементите на диагонала и единицата, са нулеви.

Триъгълен тип

Един от най-важните типове матрици, използвани при търсенето на неговата детерминанта и при извършването на прости операции. Триъгълният тип е получен от диагонален тип, така че матрицата също е квадрат. Триъгълната форма на матрицата е разделена на горна триъгълна и долна триъгълна.

В горната триъгълна матрица (Фигура 1) само елементите, които са над основния диагонал, имат стойност равна на нула. Компонентите на самия диагонал и частта от матрицата под него съдържат числови стойности.

В долния триъгълник (фиг. 2), обратно, елементите, разположени в долната част на матрицата, са равни на нула.

Стъпка матрица

Необходимо е да се види рангът на матрицата, както и елементарните действия върху нея (заедно с триъгълен тип). Етапната матрица е наречена така, защото съдържа характерни "стъпки" на нули (както е показано на фигурата). В стъпков тип се формира диагонал от нули (не е задължително основният) и всички елементи под диагонала също имат стойности, равни на нула. Предпоставка е следното: ако в матрицата на стъпалата има нулев низ, останалите редове под него също не съдържат числови стойности.

По този начин разгледахме най-важните видове матрици, необходими за работа с тях. Сега нека разгледаме проблема с трансформирането на матрицата в необходимата форма.

Намаляване до триъгълна форма

Как да приведем матрицата в триъгълна форма? Най-често в задачите е необходимо да се трансформира матрицата в триъгълна форма, за да се намери нейната детерминанта, наречена детерминанта по друг начин. Извършвайки тази процедура, е изключително важно да "запазим" основния диагонал на матрицата, защото детерминанта на триъгълната матрица е точно продуктът на компонентите на нейния основен диагонал. Също така ще припомня алтернативни методи за намиране на детерминанта. Детерминанта на квадратния тип се намира чрез специални формули. Например, можете да използвате метода на триъгълника. За други матрици използвайте метода на разлагане за ред, колона или елемент. Можете да приложите и метода на добавяне на малолетни и алгебрични матрици.

Нека разгледаме подробно процеса на намаляване на матрицата на триъгълна форма на примерите за някои задачи.

Задание 1

Необходимо е да се намери детерминанта на представената матрица, като се използва методът за нейното намаляване до триъгълна форма.

Матрицата, която ни е дадена, е квадратна матрица от третия ред. Ето защо, за да го трансформираме в триъгълна форма, трябва да направим два компонента от първата колона и един компонент от втората колона нула.

За да го пренесете в триъгълна форма, стартирайте трансформацията от долния ляв ъгъл на матрицата - от числото 6. За да я превърнете до нула, умножете първия ред с три и го извадете от последния ред.

Важно! Горната линия не се променя, но остава същата като в оригиналната матрица. Не е необходимо да записвате линия, която е четири пъти по-голяма от оригинала. Но стойностите на редовете, чиито компоненти трябва да са нула, постоянно се променят.

След това, вземете следващата стойност, елемент от втория ред на първата колона, с 8. Умножаваме първия ред с четири и го изваждаме от втория ред. Получаваме нула.

Само последната стойност остава - елемент от третия ред на втората колона. Това число е (-1). За да го превърнете до нула, извадете втория от първия ред.

Проверка:

detA = 2 х (-1) х 11 = -22.

Следователно, отговорът на задачата: -22.

Дейност 2

Необходимо е да се намери детерминанта на матрицата чрез метода за нейното намаляване до триъгълна форма.

Представената матрица принадлежи към квадратния тип и е матрица от четвърти ред. Следователно е необходимо да се нулират три компонента от първата колона, два компонента от втората колона и един компонент от третата колона.

Започваме, като го намаляваме от елемента в долния ляв ъгъл, от номер 4. Трябва да превърнем този номер на нула. Най-удобно е да направите това, като умножите четирите горни линии и след това го изваждате от четвъртия. Записваме резултата от първия етап на трансформацията.

По този начин компонентът на четвъртия ред е нула. Нека да преминем към първия елемент на третия ред до номер 3. Ние изпълняваме подобна операция. Умножете първите три реда с три, извадете го от третия ред и напишете резултата.

След това виждаме числото 2 във втория ред. Повторете операцията: умножете горния ред с два и го извадете от втория ред.

Успяхме да превърнем всички компоненти на първата колона на дадената квадратна матрица до нула, с изключение на числото 1 - елемента на основния диагонал, който не изисква трансформация. Сега е важно да запазим получените нули, затова ще извършим реализации с низове, а не колони. Нека преминем към втората колона на представената матрица.

Отново започнете от дъното - от втората колона на последния ред. Това число е (-7). Обаче в този случай е по-удобно да започнете с числото (-1) - елемента на втората колона на третия ред. За да го превърнем в нула, изваждаме втория от третия ред. След това умножете втория ред със седем и го извадете от четвъртия. Вместо елемент, разположен в четвъртия ред на втората колона, имаме нула. Сега отидете на третата колона.

В тази колона трябва да нулираме само едно число - 4. За да направите това е просто: просто добавете третия ред към последния ред и вижте необходимата нула.

След всички направени трансформации, ние намалихме предложената матрица на триъгълна форма. Сега, за да се намери нейната детерминанта, е необходимо само да се умножат получените елементи на основния диагонал. Получаваме: detA = 1 х (-1) х (-4) х 40 = 160. Следователно решението е числото 160.

Така че сега въпросът за привеждане на матрицата до триъгълна гледка няма да ви затрудни.

Намаляване на стъпка

При елементарните операции на матриците стъпката е по-малко "претендирана" от триъгълната. Най-често се използва за намиране на ранг на матрица (т.е. броя на нейните ненулеви редове) или за определяне на линейно зависими и независими редове. Въпреки това стъпката на матрицата е по-универсална, тъй като тя е подходяща не само за квадратния тип, но и за всички останали.

За да приведете матрицата в стъпаловидна форма, първо трябва да намерите нейната детерминанта. За да направите това, горните методи са подходящи. Целта на намирането на детерминанта е следното: да се разбере дали е възможно да се превърне в стъпка-подобна форма на матрицата. Ако детерминантът е по-голям или по-малко от нула, тогава можете безопасно да пристъпите към задачата. Ако то е равно на нула, не е възможно да се извърши намаляването на матрицата в стъпаловидна форма. В този случай трябва да проверите дали има грешки в записите или в матричните трансформации. Ако няма такива неточности, задачата не може да бъде решена.

Нека да разгледаме как да приведем матрицата в стъпка-подобна форма на примерите за няколко задачи.

Задание 1. Намерете ранга на матричната таблица.

Пред нас е квадратна матрица от третия ред (3x3). Знаем, че за да се намери ранг, е необходимо да се приведе в стъпка-подобна форма. Следователно, първо трябва да намерим детерминанта на матрицата. Използваме триъгълния метод: dexA = (1 х 5 х 0) + (2 х 1 х 2) + (6 х 3 х 4) - (1 х 1 х 4) - (2x3 х 0) - (6 х 5 х 2) = 12.

Детерминанта е 12. Той е по-голям от нула, така че матрицата може да бъде намалена до стъпаловидна форма. Нека преминем към нейните трансформации.

Нека да започнем с лявата колона на третия ред - номер 2. Умножете горния ред с два и го извадете от третия ред. Благодарение на тази операция, както елементът, който се изисква от нас, така и номерът 4 - елементът на втората колона на третия ред - изчезнаха.

След това нулираме елемента на втория ред от първата колона - числото 3. За да направите това, умножете горния ред с три и го извадете от втория.

Виждаме, че в резултат на намаляването е създадена триъгълна матрица. В нашия случай трансформацията не може да бъде продължена, тъй като останалите компоненти не могат да бъдат намалени до нула.

Така че, заключаваме, че броят линии, съдържащи числови стойности в тази матрица (или нейния ранг) е 3. Отговорът на задачата: 3.

Задание 2. Определете броя линейно независими редове на дадена матрица.

Трябва да намерим линии, които не могат да бъдат преобразувани до нула от някакви трансформации. Всъщност трябва да намерим броя на ненулевите редове или ранга на матрицата, представена. За да постигнем това, ще го опростим.

Виждаме матрица, която не принадлежи към квадратния тип. Той измерва 3x4. Да започнем кастинга от долния ляв ъгъл - числото (-1).

Добавете първия ред към третия. След това изваждаме второто от него, за да преобразуваме числото 5 на нула.

По-нататъшните реализации са невъзможни. Следователно, заключаваме, че броят на линейно независимите редове в него и отговорът на задачата са 3.

Сега, пускането на матрицата в стъпаловидна форма не е невъзможна задача за вас.

На примерите на тези задачи анализирахме намаляването на матрицата до триъгълна форма и стъпаловиден изглед. За да се намалят нулевите стойности на матричните таблици, в някои случаи е необходимо да се покаже въображението и да се трансформират правилно техните колони или низове. Пожелавам ви успех в математиката и в работата с матрици!