Матрична алгебра: Примери и решения

Матриците и детерминантите са открити през ХVІІІ и ХХХ век. Първоначално, тяхното развитие се отнася до трансформацията на геометрични обекти и решаването на системи от линейни уравнения. Исторически погледнато, ранният акцент се поставя върху детерминанта. В съвременните методи за обработка на линейна алгебра матриците се считат за първи. Струва си да помислим малко за този въпрос.

Отговорите, дадени от тази област на знанието

Матриците осигуряват теоретичен и практически полезен начин за решаване на много проблеми, като например:

• системи на линейни уравнения;
• равновесие на твърдите вещества (във физиката);
• теория на графиките;
• модел на икономиката на Леонтиеф;
• горското стопанство;
• компютърна графика и томография;
• генетика;
• криптография;
• електрически мрежи;
• фрактал.

Всъщност, матричната алгебра за "манекени" има опростено определение. То се изразява по този начин: това е научна област на знанието, в която изследваните ценности се изучават, анализират и изследват изцяло. В тази секция на алгебра се изследват различни операции върху изследваните матрици.

Как да работите с матрици

Тези стойности се считат за равни, ако имат едни и същи размери и всеки елемент от един е равен на съответния елемент на другия. Възможно е матрицата да се умножи по всякаква константа. Това се нарича скаларно умножение. Пример: 2 = [2sdot-12sdot-32sdot-22sdot-4] = [2468].

Матрици със същия размер могат да бъдат добавени и извадени от входовете и стойностите на съвместими размери могат да бъдат умножени. Пример: добавете две A и B: A = [21minus-10] B = [1423]. Това е възможно, тъй като А и В - и двете матрици имат два реда и един и същ брой колони. Необходимо е да добавите всеки елемент в А към съответния елемент в B: A + B = [2 + 11 + 2minus-1 + 40 + 3] = [3333]. По същия начин се изважда в матричната алгебра.

Умножението на матриците се проявява малко по-различно. Освен това случаите и опциите могат да бъдат много, както и решения. Ако се размножават матрицата Ap * р и Bm * п, след това продуктът Ар х р + Bm ЗХп = [AB] р х п. Елемент в грам-ти ред и з-тата колона AB е сума от продукти на съответните елементи в гр А и з Б. Възможно е да се размножават две матрици само ако броя на колоните в първата и втората линии са равни. Пример: за изпълнение на състояние на разглеждания и В: А = [1minus-130] В = [2minus-11214]. Това е възможно, тъй като първата матрица съдържа 2 колони, а втората съдържа 2 реда. AB = [1sdot-2 + 3sdot-минус-1minus-1sdot-2 + 0sdot-минус-11sdot-1 + 3sdot-2minus-1sdot-1 + 0sdot-21sdot-1 + 3sdot-4minus-1sdot-1 + 0sdot-4 ] = [минус-1 minus-27 minus-113 minus-1].

Основна информация за матрицата

Тези стойности организират информация като променливи и константи и ги съхраняват в редове и колони, обикновено се наричат ​​C. Всяка позиция в матрицата се нарича елемент. Пример: С = [1234]. Състои се от два реда и две колони. Елемент 4 е в ред 2 и в колона 2. Обикновено може да се назове матрица след нейните размери, тази, която с името Cm * k има m редове и k колони.

Разширени матрици

Представените ценности са невероятно полезни неща, които възникват в много различни приложни полета. Матриците първоначално се основават на системи от линейни уравнения. Като се има предвид следната структура на неравенствата, е необходимо да се вземе под внимание следната свързана допълнена матрица:

2x + 3y - z = 6

-x-y-z = 9

x + y + 6z = 0.

Запишете коефициентите и стойностите на отговорите, включително всички знаци минус. Ако елемент с отрицателен номер, той ще бъде равен на "1". Тоест, като се има предвид системата от (линейни) уравнения, е възможно да се свърже с нея матрица (мрежа от числа в скобите). Тя е тази, която съдържа само коефициентите на линейната система. Това се нарича "разширена матрица". Решетка, съдържаща коефициентите от лявата страна на всяко уравнение, беше "допълнена" с отговори от дясната страна на всяко уравнение.

Записите, т.е. стойностите на матрицата В съответстват на стойностите на x-, y- и z в оригиналната система. Ако е правилно подредена, първо я проверете. Понякога е необходимо да пренаредите термините или да вмъкнете нули като заместители в изследваната или изследвана матрица.

Като се има предвид следната система от уравнения, можем веднага да напишем съответната допълнена матрица:

х + у = 0

y + z = 3

z - х = 2.

Първо, трябва да пренаредите системата като:

х + у = 0

y + z = 3

-x + z = 2.

След това има възможност да напишете свързаната матрица като: [11000113-1012]. Когато формирате разширена, трябва да използвате нула за всеки запис, където съответното място в системата от линейни уравнения е празно.

Матрична алгебра: свойства на операциите

Ако е необходимо да се формират елементи само от стойностите на коефициентите, тогава разглежданата стойност ще изглежда така: [110011-101]. Това се нарича "матрица на коефициентите".

Като се има предвид следната разширена алгебра на матриците, е необходимо да се подобри и завърши съответната линейна система. В същото време е важно да запомните, че за тях се изисква променливите да са подредени добре и спретнато. И обикновено, когато има три променливи, използвайте x, y и z в този ред. Следователно свързаната линейна система трябва да бъде:

x + 3y = 4

2y-z = 5

3х + z = -2.

Матричен размер

Разглежданите елементи често се посочват от техните показатели. Матричен размер в алгебра се дава под формата на измерване, тъй като стаята може да бъде наречена по различен начин. Измерените стойности на стойностите са редове и колони, а не ширина и дължина. Например, матрицата А:

[1234]

[2345]

[3456].

Тъй като А има три реда и четири колони, размерът на А е 3 × 4.

→

↓

Линиите вървят настрани. Колоните се издигат нагоре и надолу. "Струнни" и "колони" са технически условия и не са взаимозаменяеми. Матричните размери винаги се задават с броя на редовете и след това с броя на колоните. Следвайки това споразумение, следното Б:

[123]

[234] е 2 × 3. Ако матрицата има същия брой редове като колоните, то се нарича "квадрат". Например стойностите на коефициентите отгоре:

[110]

[011]

[-101] е 3 × 3 квадратна матрица.

Матрични обозначения и форматиране

Забележка относно форматирането: например, когато е необходимо да напишете матрица, е важно да използвате скобите []. Барове с абсолютна стойност | не се използват, защото в този контекст те имат различна посока. В никакъв случай не се използват кръгли или къдрави скоби {}. Или някой друг символ на групиране или изобщо няма, тъй като тези презентации нямат значение. В алгебра матрицата винаги е вътре квадратни скоби. Необходимо е да се използва само правилната нотация или получените отговори да се считат за изкривени.

Както вече споменахме, стойностите, съдържащи се в матрицата, се наричат ​​записи. По някаква причина въпросните елементи обикновено са написани с главни букви, като например А или Б, а записите се посочват с малки букви, но с индекси. В матрицата А стойностите обикновено се наричат ​​"ai, j", където i е низът А и j е колоната А. Например a3,2 = 8. Записът a1,3 е 3.

За по-малките матрици, тези с по-малко от десет реда и колони, запетаята в долния индекс понякога се пропуска. Например "a1,3 = 3" може да бъде написан като "a13 = 3". Очевидно това няма да работи за големи матрици, тъй като a213 ще бъде неясно.

Видове матрици

Понякога се класифицират според конфигурациите на техните записи. Например, такава матрица, която има всички нулеви вписвания под диагонала от горния ляв долен десен "диагонал", се нарича горна триъгълна матрица. Между другото, може да има други видове и видове, но те не са много полезни. Като правило, те обикновено се възприемат като горния триъгълник. Стойностите с ненулеви експоненти само хоризонтално се наричат ​​диагонал. Такива типове имат ненулеви вписвания, в които всички 1, такива отговори се наричат ​​идентични (поради причини, които ще станат ясни, когато се научат и разбират как да се умножат разглежданите стойности). Има много подобни показатели за изследване. Идентификацията 3 × 3 се обозначава с I3. По същия начин идентичността на 4 × 4 е равна на I4.

Алгебра на матрици и линейни пространства

Трябва да се отбележи, че триъгълните матрици са квадратни. Но диагоналите са триъгълни. С оглед на това те са квадратни. А идентичностите се считат за диагонали и, следователно, триъгълни и квадратни. Когато искате да опишете матрица, обикновено просто уточнявате собствената си най-специфична класификация, тъй като това предполага всички останали. Подреждане на тези проучвания изпълнения: [[9 10 11 12] [5 6 7 8], [1 2 3 4]] възможно, тъй като 3 х 4. В този случай, те не са квадрат. Следователно стойностите не могат да бъдат други. Следната класификация: [[9 4 0] [3 -2 3] [1 6 7]] е възможно, тъй като 3 х 3. В същото време се счита, квадрат, и няма нищо специално. Класификация на следните данни: [[8 -4 0] [0 1 2] [0 0 5]] като горна триъгълна 3 х 3, но това не е диагонална. Вярно е, че в разглежданите стойности може да има допълнителни нули над и над определеното и определено пространство. Проучването допълнително класификация: [[0 0 1] [1 0 0] [0 0 1]], където тя е представена като диагонал, и освен това, записът - всички 1. След това 3 х 3 идентичност, I3.

Тъй като подобни матрици по дефиниция са квадратни, трябва само да използвате един индекс, за да намерите техните размери. За да бъдат две матрици еднакви, те трябва да бъдат с един и същ параметър и да имат еднакви записи на едно и също място. Например, предполагам, че има два следващи елемента: A = [[1 3 0] [-2 0 0]] и B = [[1 3] [-2 0]]. Тези стойности не могат да бъдат еднакви, защото са различни по размер.

Дори ако А и В са еднакви: А = [[03 юни] [2 5] [1, 4]] и В = [[1 2 3] [4 5 6]] - те все още не са еднакви. А и Б имат шест вписвания и имат еднакви номера, но това не е достатъчно за матриците. А - 3 х 2. Б - матрица от 2 х 3. 3 × 2 × 2 не е равно на 3. Няма значение дали А и В същия брой на данни или дори същия номер като записа. Ако A и B не са със същия размер и форма, но имат идентични стойности на подобни места, те не са равни.

Подобни операции в разглежданата област

Това свойство на матричното равенство може да се превърне в задачи за независими изследвания. Например, са дадени две матрици и се посочва, че те са еднакви. В този случай ще трябва да използвате това уравнение, за да разберете и да получите отговори на стойностите на променливите.

Примерите и решенията на матриците в алгебра могат да бъдат разнообразни, особено ако се отнася до равнопоставеността. Като се имат предвид следните матрици, е необходимо да се намерят стойностите на х и у. За да бъдат A и B равни, те трябва да имат същия размер и форма. Всъщност, те са така, защото всяка от тях е 2 × 2 матрица. И те трябва да имат едни и същи ценности на едно и също място. След това трябва да бъде a1,1 B1,1, a1,2 трябва да бъде b1,2 и така. Г. Вписвания a1,2 и a2,1 ясно са, съответно, елементите и b1,2 b2,1 (чрез проверка, че просто търси тях). Но, a1,1 = 1, очевидно, не е равно на b1,1 = x. За А, идентичен с B, вписването трябва да има a1,1 = b1,1, затова може да е равно на 1 = x. По същия начин индексите a2,2 = b2,2, следователно 4 = y. Тогава решението е: x = 1, y = 4. Като се има предвид, че следните матрици са равни, трябва да намерим стойностите на x, y и z. За да има A = B, коефициентите трябва да имат всички записи равни. Това означава, че a1,1 = b1,1, a1,2 = b1,2, a2,1 = b2,1 и така нататък. По-специално, тя трябва:

4 = х

-2 = у + 4

3 = z / 3.

Както може да се види от избраните матрици: с 1,1-, 2,2- и 3,1-елемента. Решаването на тези три уравнения, получаваме отговор: х = 4, у = -6, и г = 9. Алгебра Матрици и операции с матрици, различни от тази, на която всички са свикнали, но те не го правят razmnozhaemy.

Допълнителна информация в тази област

Линейната алгебра на матрицата е изследването на такива комплекти уравнения и техните трансформационни свойства. Тази област на експертиза ни позволява да анализираме въртене в пространството, за да се доближи до най-малките квадрати решаване на диференциални уравнения, съчетани, които определят кръга, минаваща през три дадени точки, и решаване на много други проблеми на математиката, физиката и техниката. Линейната алгебра на матрицата всъщност не е техническото значение на използваната дума, т.е. векторното пространство v над полето f и т.н.

Матрицата и детерминанта са изключително полезни инструменти на линейната алгебра. Един от основните проблеми е решението на матричното уравнение А_х = b, за x. Въпреки че теоретично може да бъде решен с обратната х = A^-1 б. Други методи, като например премахването от Гаус, са цифрово по-надеждни.

Освен че се използва за описание на изследването на линейни комплекти уравнения, горният термин се използва и за описване на определен тип алгебра. По-конкретно, L над поле F има структура на пръстена с всички обичайни аксиоми за вътрешно добавяне и умножение заедно с разпределителните закони. Следователно, тя му дава по-голяма структура от пръстена. А линейната алгебра матрица позволява външен умножение от Scalars, които са елементи на основната областта F. Например, комплектът на всички преобразувания на линейно пространство V над поле F се образува над F. Друг пример на линейната алгебра е набор от всички реални квадратни матрици над R на реални номера.