Системи на линейни алгебрични уравнения. Хомогенни системи на линейни алгебрични уравнения

В училище всеки от нас учи уравнения и вероятно система от уравнения. Но не много хора знаят, че има няколко начина да ги решим. Днес ще обсъдим подробно всички методи за решаване на система от линейни алгебрични уравнения, които се състоят от повече от две равнопоставености.

история

Досега е известно, че изкуството за решаване на уравнения и техните системи произхожда още от древния Вавилон и Египет. Въпреки това, равенството в обичайната им форма за нас се появи след появата на знака за равенство "=", който беше въведен през 1556 г. от английския математик Record. Между другото, този знак е избран по някаква причина: означава два паралелни равни сегмента. Наистина, най-добрият пример за равенство не може да се представи.

Основателят на съвременните азбучни означения на неизвестни и признаци на степени е френският математик Франсоа Виет. Въпреки това, наименованията му са се различавали значително от днес. Например квадратът с неизвестен брой е означен с буквата Q (латински "quadratus"), а кубът с буквата C (латински "cubus"). Тези наименования сега изглеждат неудобни, но тогава беше най-разбираемият начин да се напишат системи от линейни алгебрични уравнения.

Въпреки това, недостатъкът в тогавашните методи за решаване е, че математиците считат само за положителни корени. Може би това се дължи на факта, че отрицателните стойности нямат практическо приложение. По един или друг начин, но първите, които се считат за отрицателни корени започват след италианските математика Николо Tartaglia, Джироламо Кардано и Рафаел Bombelli в 16 век. Модерен вид, основният начин на решаване квадратични уравнения (чрез дискриминацията) е създаден едва през 17-ти век благодарение на делата на Декарт и Нютон.

В средата на швейцарския математик на 18-ти век Габриел Крамър намери нов начин да се направи за решаване на системи линейни уравнения по-лесно. Този метод впоследствие е кръстен на него и до днес го използваме. Но по метода на разговор Креймър малко по-късно, но за сега ще обсъдим линейни уравнения и техните решения отделно от системата.

Линейни уравнения

Линейните уравнения са най-простите уравнения с променлива (и). Те са класифицирани като алгебрични. Линейни уравнения пишете в общата форма, както следва: a₁* х₁+и_{2 *}х₂+...и_п* х_п= б. Представянето им в тази форма е необходимо за съставянето на системи и матрици по-нататък.

Системи на линейни алгебрични уравнения

Определението на този термин е: това е набор от уравнения, които имат общи неизвестни количества и общо решение. Като правило в училище всичко е решено чрез системи с две или дори три уравнения. Но има системи с четири или повече компонента. Нека да разгледаме първата, как да ги напишем, така че в бъдеще е удобно да се реши. Първо, системите на линейни алгебрични уравнения ще изглеждат по-добре, ако всички променливи са написани като x със съответния индекс: 1,2,3 и т.н. Второ, необходимо е всички уравнения да бъдат приведени в каноничната форма: a₁* х₁+и_{2 *}х₂+...и_п* х_п= б.

След всички тези действия можем да започнем да казваме как да намерим решение на системи от линейни уравнения. За това много се нуждаем от матрици.

матрица

Матрицата е таблица, която се състои от редове и колони, а при тяхното пресичане са нейните елементи. Това могат да бъдат или специфични стойности или променливи. Най-често, за да означават елементите, те са поставени под индексите (например, a₁₁ или a₂₃). Първият индекс е номерът на реда, а вторият е колоната. Над матрици, както и над всеки друг математически елемент, е възможно да се изпълняват различни операции. По този начин можете:

1) Извадете и добавете таблици със същия размер.

2) Умножете матрицата с число или вектор.

3) Трансформирайте: преобразувайте редовете на матрицата в колони и колоните - в редове.

4) Умножете матриците, ако броят на редовете на единия от тях е равен на броя на колоните на другия.

Ние ще обсъдим всички тези техники по-подробно, тъй като те ще ни бъдат полезни в бъдеще. Изваждането и добавянето на матрици е много проста. Тъй като вземаме матрици със същия размер, всеки елемент на една таблица корелира с всеки елемент на другия. По този начин добавяме (изваждаме) тези два елемента (важно е те да стоят на едни и същи места в техните матрици). Когато бъде умножен по броя на матрица или вектор просто размножават всеки елемент на матрицата от този брой (или вектор). Транспонирането е много интересен процес. Понякога е много интересно да го виждате в реалния живот, например, когато променяте ориентацията на таблета или телефона. Иконите на работния плот е матрица, както и с промяна на позицията, че е транспонирана и става по-широки, но намалява във височина.

Ние ще анализираме все още такъв процес, като умножение на матрици. Въпреки че не е полезно, все пак ще бъде полезно да го разберете. Умножете две матрици само ако броят на колоните на една таблица е равен на броя редове на другата. Сега ние вземаме елементите на реда на една матрица и елементите на съответната колона на другата. Ние ги умножаваме един след друг и ги добавяме (това е например продуктът на елементите a₁₁ и a₁₂ в b₁₂ и b₂₂ ще бъде: a₁₁* b₁₂ + и₁₂* b₂₂). По този начин получаваме един елемент от масата и се попълва по същия начин.

Сега можем да започнем да обмисляме как се решава системата от линейни уравнения.

Методът на Гаус

Тази тема започва да се провежда в училище. Знаем добре концепцията за "система от две линейни уравнения" и можем да ги решим. Но какво ще стане, ако броят на уравненията е по-голям от два? Това ще ни помогне Гаусов метод.

Разбира се, удобно е да използвате този метод, ако създадем матрица от системата. Но не можете да го трансформирате и да го решите в чиста форма.

И така, как системата на линейните Gauss уравнения решава този метод? Между другото, въпреки че този метод е кръстен на него, но е открит в древни времена. Гаус предлага следното: да изпълнява операции с уравнения, за да може евентуално да доведе целия агрегат до стъпаловидна форма. Това означава, че отгоре надолу (ако е правилно подреден) от първото уравнение до последното би се намалило с една неизвестна. С други думи, трябва да го направим така, че да получим, да речем, три уравнения: в първата - три непознати, втората - две, в третата - една. Тогава от последното уравнение откриваме първата неизвестна, заместваме нейната стойност във второто или първото уравнение и след това намираме останалите две променливи.

Методът на Креймър

За развитието на тази техника е от жизненоважно значение за овладяване на уменията на събиране, изваждане на матрици, както и необходимостта да бъде в състояние да намери детерминанти. Ето защо, ако го направите зле или не знаете как, ще трябва да се научите и да практикувате.

Каква е същността на този метод и как да се направи така, че да се получи системата на линейни Cramer уравнения? Това е много просто. Трябва да изградим матрица от числени (почти винаги) коефициенти на система от линейни алгебрични уравнения. За да направите това, просто вземете числата пред неизвестните и ги поставете в таблицата в реда, в който са написани в системата. Ако има знак ";" пред номера, напишете отрицателен коефициент. Така че, ние направихме първата матрица на коефициентите на неизвестните, без да се включва броя след знака за равенство (разбира се, че уравнението трябва да бъде намален до каноничната форма, когато правото е просто число, а отляво - всички неизвестни с коефициенти). Тогава трябва да създадем още няколко матрици, по една за всяка променлива. За да направите това, заменете всяка колона в първата матрица с колоната за колоната след знака за равенство. По този начин получаваме няколко матрици и след това намираме техните детерминанти.

След като открихме детерминантите, това е малко нещо. Имаме начална матрица и има няколко получени матрици, които съответстват на различни променливи. За да получим системните решения, делим детерминанта на получената таблица в детерминанта на първоначалната таблица. Полученият номер е стойността на една от променливите. По същия начин откриваме всички неизвестни.

Други методи

Има няколко други метода за получаване на решение на системи от линейни уравнения. Например, така наречения метод на Гаус-Jordan, който се използва за намиране на решения на системата на квадратно уравнение, а също така се отнася до използването на матрици. Съществува и методът Jacobi за решаване на система от линейни алгебрични уравнения. Той е най-адаптивният за компютър и се използва в компютърната технология.

Комплексни случаи

Сложността обикновено възниква, ако броят на уравненията е по-малък от броя на променливите. Тогава можем със сигурност да кажем, че или системата е несъвместима (т.е. тя няма корени), или броят на нейните решения има тенденция към безкрайност. Ако имаме втория случай, тогава трябва да напишем общото решение на системата от линейни уравнения. Тя ще съдържа поне една променлива.

заключение

Така стигнахме до края. Нека обобщим: анализирахме каква система и матрица са и ние се научихме да намерим общо решение на система от линейни уравнения. Освен това разгледахме и други опции. Те разбраха как се решава системата от линейни уравнения: Gauss метод и Методът на Креймър. Разговаряхме за сложни случаи и други начини за намиране на решения.

Всъщност тази тема е много по-обширна и ако искате да я разберете по-добре, препоръчваме ви да прочетете по-специализирана литература.