Диофантиново уравнение: методи на решение с примери

Алгебрични неравенства или техните системи с рационални коефициенти, чиито решения се търсят в интегрални или цели числа. Като правило, броят на неизвестните в уравненията на Диофантина е по-голям. По този начин те са известни и като неясни неравенства. В съвременната математика горното понятие се прилага към алгебрични уравнения, чиито решения се търсят в алгебрични числа на разширение на полето на Q-рационални променливи, полета на p-adic и т.н.

Произходът на тези неравенства

Изучаването на диофантинските уравнения е на границата между теорията на числата и алгебричната геометрия. Търсенето на решения в цели променливи е един от най-старите математически проблеми. Още в началото на второто хилядолетие преди Христа. Древните вавилонци успяха да решат системи от уравнения с две непознати. Този клон на математиката процъфтява най-много в Древна Гърция. Аритметиката на Диофант (около 3 век от н.е.) е значителен и основен източник, който съдържа различни видове и системи от уравнения.

В тази книга Диофант предвижда няколко метода за изучаване на неравенствата от втората и третата степен, които са напълно развити през XIX век. Създаването на теорията за рационалните числа от този изследовател на Древна Гърция доведе до анализ на логическите решения на несигурни системи, систематично придружавани в неговата книга. Въпреки факта, че неговата работа съдържа решения на специфични диофантинови уравнения, има основания да се смята, че той също е запознат с няколко общи методи.

Проучването на тези неравенства обикновено е свързано със сериозни трудности. С оглед на факта, че те съдържат полиноми с цяло число коефициенти F (x, y1, hellip-, y_п). На базата на това бяха направени изводи, че няма един алгоритъм, чрез който би било възможно да се определи за всеки даден x дали уравнението F (x, y₁,hellip-., y_п). Положението е разрешимо за y₁, hellip-, y_п. Примери за такива полиноми могат да бъдат написани.

Най-простото неравенство

ax + by = 1, където a и b са сравнителни цели числа и primes, има много изпълнения за него (ако x₀ ш₀ резултатът се генерира, тогава двойката променливи x = x₀ + б_п и y = y₀^-един, където п е произволна, също ще се третира като неравенство). Друг пример за Диофантиновите уравнения е x² + ш² = z². Положителните интегрални решения на това неравенство са дължините на малките страни на х, у и правоъгълните триъгълници, както и на хипотенузата z с всички странични измерения. Тези числа са известни като питагорейски номера. Всички триплети, отнасящи се до простите променливи, посочени по-горе, са дадени по формулите x = m² - н², у = 2mn, z = m² + п², където m и n са числа и примери (m> n> 0).

Диофант в своята "Аритметика" търси рационални (не непременно цялостни) решения на специални видове неравенства. Общата теория за решаване на Диофантиновите уравнения от първата степен е разработена от К. Г. Башет през 17 век. Други учени от началото на деветнадесети век изследват главно подобни неравенства на брадва тип² +bxy + cy² + dx + ey + f = 0, където a, b, c, d, e и f са общи, нехомогенни, с две непознати от втората степен. Lagrange използвал непрекъснати фракции в своето проучване. Гаус за квадратични форми разработи обща теория, която стои в основата на решаването на някои видове.

В изследванията на тези неравенства от втората степен значително постижение е постигнато едва през ХХ век. В А. Т.е. беше установено, че Диофантиновото уравнение а₀х^п + а₁х^N-1y + hellip- + a_пш^п= c, където nge-3, a₀,hellip-, a_п,в са цели числа и a₀т^п + ^hellip- +а_п не може да има безкраен брой цели решения. Въпреки това, методът на Thue не беше правилно развит. А. Бейкър създаде ефективни теореми, които дават оценки за изпълнението на определени уравнения от този вид. Б. Н. Delaunay предлага друг метод на разследване, приложим към по-тесен клас от тези неравенства. По-специално, форма брадва³ + ш³ = 1 е напълно разрешим по този начин.

Диофантинови уравнения: методи на разреждане

Теорията на Диофан има много направления. По този начин, известен проблем в тази система е хипотезата, че няма нетривиално решение на Диофантинските уравнения x^п + ш^п = z^п ако n 3 (Въпрос на Ферма). Проучването на цялостните неравенства е естествено обобщение на проблема с триъгълниците на Питагор. Ойлер получи положително решение на проблема Fermat за n = 4. По силата на този резултат тя се отнася до доказателство за липсващото цяло число, ненулеви изследвания на уравнението, ако n е нечетно първо число.

Проучването относно решението не беше завършено. Трудностите с нейното внедряване се дължат на факта, че простото факторизиране в пръстена на алгебричните числа не е уникално. Дивизорната теория в тази система за много класове първостепенни експоненти n ни позволява да потвърдим валидността на теоремата на Ферма. Така, съществуващите методи и методи удовлетворяват линейно диофантиново уравнение с две неизвестни.

Видове и видове описани задачи

Аритметиката на пръстените с алгебрични цели се използва и в много други проблеми и решения на диофантиновите уравнения. Например, такива методи се прилагат, когато неравенствата на формата N (a₁ х₁ +hellip- + a_пх_п) = m, където N (a) е нормата на a, и x₁, хелип-, х_п се откриват интегрални рационални променливи. Този клас включва уравнението Pell x^2-ди²= 1.

Стойностите на a_{1 hellip-,} а_п които се появяват, тези уравнения са разделени на два вида. Първият тип - т.нар. Пълни формуляри - включва уравнения, в които между m са линейно независими числа в областта на рационалните променливи Q, където m = [Q (a₁,hellip-, a_п): Q], в която има степен на алгебрични експоненти Q (a1, hellip-, a_п) над Q. Непълните изгледи са онези, при които максималният брой a_аз по-малко от m.

Пълните формуляри са по-прости, техните изследвания са завършени и могат да бъдат описани всички решения. Вторият тип - непълен вид - е по-сложен и разработването на такава теория все още не е завършило. Тези уравнения са изследвани с помощта Diophantine приближения, които включват неравенство F (х, у) = C, където F (х, у) - НЕП-степен полином е неизлечим 3 еднакво. Така можем да предположим, че y_аз→infin-. Съответно, ако y_аз Това е достатъчно голям, неравенството е в противоречие теорема Thue, Siegel и Roth, от което следва, че F (х, у) = С, където F- образуват трета степен или по-висока несводима може да има безкраен брой решения.

Как да решим Диофантиновото уравнение?

Този пример е доста тесен клас сред всички. Например, въпреки тяхната простота, х³ + ш³ + Z³ = N, а също и x² +ш ² +Z² +ф² = N не са включени в този клас. Изучаването на решенията е добре проучен клон на Диофантиновите уравнения, където представителството се основава на представянето чрез квадратични форми на числа. Lagrange създава теорема, която гласи, че екзекуцията съществува за всички естествени N. Всяко естествено число може да бъде представено като сума от три квадрата (Gauss теорема), но не трябва да има формата 4^а(8K-1), където a и k са негативни цели числа.

Рационални или интегрални решения на система от Диофантиново уравнение от тип F (х₁, хелип-, х_п) = a, където F (x₁, хелип-, х_п) е квадратична форма с цели числа. Така, според теоремата на Минковски-Хасе, неравенството сума-а_ух_азх_к = b където a_у и b е рационално, има цялостно решение в реални и p-adic номера за всеки prime p само ако е разрешим в тази структура.

Поради присъщите затруднения проучването на числата с произволни форми от трета степен и по-високи беше изследвано в по-малка степен. Основният начин на изпълнение е методът на тригонометричните суми. В този случай броят на решенията на уравнението е изрично изписан по отношение на интеграла на Фурие. След това методът на околната среда се използва за изразяване на степента на изпълнение на неравнопоставеността на съответните съвпадения. Методът на тригонометричните суми зависи от алгебричните особености на неравенствата. Има голям брой елементарни методи за решаване на линейни диофантинови уравнения.

Диофантинов анализ

Клонът на математиката, предмет на който е изследването на интегрални и рационални решения на системи от уравнения на алгебра по методи на геометрията, от същата сфера. През втората половина на XIX в. Появата на тази теория на числата доведе до изучаването на уравненията на Диофан от произволна област с коефициенти и решения се разглеждат или в нея, или в нейните пръстени. Системата от алгебрични функции се развива паралелно с числата. Основната аналогия между двете, подчертана от Д. Хилберт и по-специално от Л. Крънкер, доведе до еднообразното конструиране на различни аритметични концепции, които обикновено се наричат ​​глобални.

Това е особено забележимо, ако алгебричните функции, изследвани върху ограничено поле на константи, са една променлива. Концепции като теория за полета на класа, делител, както и разклонения и резултати са добра илюстрация на гореизложеното. Тази гледна точка бе приета в системата на Диофантиновите неравенства едва по-късно, а систематичното изследване не само с цифрови, но и с коефициенти, които са функции, започна едва през 50-те години. Един от решаващите фактори в този подход е развитието на алгебричната геометрия. Едновременното проучване на областите на числата и функциите, които възникват като два еднакво важни аспекта на една и съща тема, не само дава елегантни и убедителни резултати, но води до взаимно обогатяване на двете теми.

В алгебричната геометрия концепцията за колектор е заменена от неинвариантен набор от неравенства в дадено поле К и техните решения са заменени от рационални точки със стойности в К или в крайното му разширение. съответно може да се каже, че основен проблем Diophantine геометрия е да изследва рационални точки алгебрични набор X (К), където X - определен брой поле К. Изпълнението на число има геометрична значението на линейни Diophantine уравнения.

Проучвания и варианти за неефективност

В изследването на рационални (или интегрални) точки по алгебрични сортове, възниква първият проблем, състоящ се в тяхното съществуване. Десетият проблем на Хилберт е формулиран като проблем за намиране на общ метод за решаване на този проблем. В процеса на създаване на точен алгоритъм решителност, и след като бе доказано, че такъв голям брой екзекуции за задачите не съществува, очевидно проблемът е с отрицателен резултат, а най-интересното е, че дефинирането на класовете Diophantine уравнения, за които съществува система, посочена по-горе. Най-естественият подход, от алгебрична гледна точка, е т.нар. Hasse принцип: изучава се първоначалното поле К заедно с неговите завършвания К_V върху всички възможни оценки. Тъй като X (K) = X (K_V) са необходимо условие за съществуване, а К-точка взема под внимание, че комплектът X (K_V) не са празни за всички v.

Важността е, че тя намалява два проблема. Втората е много по-проста, разрешена е от добре известен алгоритъм. В конкретния случай, когато сортът Х е проективен, лемата на Хенсел и неговите обобщения дават възможност за по-нататъшно намаляване: проблемът може да бъде намален до изучаването на рационални точки върху крайно поле. Тогава той решава да изгради концепция или чрез последователно изследване, или чрез по-ефективни методи.

Последното важно съображение е, че множествата X (K_V) не са празни за всички v, с изключение на ограничен брой, така че броят на условията винаги е ограничен и те могат да бъдат ефективно проверени. Принципът Хассе обаче не се прилага за изкривени правомощия. Например, 3 пъти³ +4у³= 5 има точки във всички полета с p-aic number и в системата реални номера, но няма никакви рационални точки.

Този метод служи като отправна точка за конструиране на концепция, която описва класовете основни хомогенни пространства на абелските сортове за извършване на "отклонение" от принципа Hasse. Той е описан по отношение на специална структура, която може да се свърже с всеки сорт (групата Tate-Safarevic). Основната трудност на теорията е, че методите за изчисляване на групите са трудни за получаване. Тази концепция беше разширена и за други класове алгебрични сортове.

Търсете алгоритъм за изпълнение на неравенствата

Друга евристична идея, използвана в изследването на диофантинските уравнения е, че ако броят на променливите, участващи в множеството неравенства, е голям, тогава системата обикновено има решение. Въпреки това е много трудно да се докаже за всеки отделен случай. Общият подход към проблемите от този тип използва аналитичната теория на числата и се основава на оценки на тригонометричните суми. Този метод първоначално се прилага за специални видове уравнения.

Въпреки това, беше впоследствие демонстрира с това, ако степента на нечетен форма - е F, и г в п променливи, и с рационални коефициенти, п е достатъчно голям, в сравнение с D, като по този начин, има рационално точка проективна hypersurface F = 0. Съгласно хипотезата Артин, този резултат е правилен, дори ако n> d². Това се доказва само за квадратни форми. Подобни проблеми могат да бъдат зададени и за други полета. Основният проблем на Диофантиновата геометрия е структурата на множеството от цели или рационални точки и тяхното изучаване, а първият въпрос, който трябва да бъде изяснен, е дали този комплект е ограничен. В този проблем ситуацията обикновено има ограничен брой изпълнения, ако степента на системата е много по-голяма от броя на променливите. Това е основното предположение.

Неравенства по линии и криви

Групата X (K) може да бъде представена като пряка сума на свободна структура от ранг r и крайна група от ред n. От 30-те години на миналия век въпросът е дали тези числа са ограничени върху множеството от всички елиптични криви в дадена област К. Ограничението на усукване на n е било демонстрирано през 70-те години. Има криви с произволен висок ранг във функционалния случай. В цифровия случай все още няма отговор на този въпрос.

И накрая, предположението на Мордъл казва, че броят на интегралните точки е ограничен за крива на род g> 1. Във функционалния случай тази концепция бе демонстрирана от Ю. Манин през 1963 г. Основният инструмент, използван при доказването на теореми на финотата в Диофантиновата геометрия, е височината. От алгебрични разновидности с размери по-големи от един, абелианските сортове, които са многоизмерни аналози на елиптичните криви, са изследвани най-добре.

А. Уайл обобщава теоремата за крайния брой на генераторите от групата на рационалните точки към абелианските сортове от всяко измерение (концепцията Mordell-Weil), която го разширява. През 60-те години на ХХ век се появи хипотезата за Birch и Swinnerton-Dyer, която подобри тази група и зета функциите на колектора. Числените доказателства подкрепят тази хипотеза.

Проблемът с разрешаването

Проблемът с намирането на алгоритъм, чрез който да се установи дали някоя метод диофантово уравнение решения. Основна характеристика на поставения проблем е търсенето на универсален метод, който би бил подходящ за всяко неравенство. Такъв метод ще позволи да се реши по-горе система, тъй като тя е еквивалентна на Р21 + ⋯ + P2K = 0.p1 = 0, ..., PK = 0n = 0, ..., NK е 0 или р21 + ⋯ + P2K = 0. n12 + ⋯ + nK2 = 0. Проблемът за намирането на такъв универсален метод за намиране на решения за линейни неравенства в числа е поставен от Г. Хилберт.

В началото на 50-те години на ХХ век имаше първите изследвания, насочени към доказване на липсата на алгоритъм за решаване на Диофантиновите уравнения. По това време се появи хипотезата за Дейвис, в която се казваше, че всеки гръб учен принадлежи към всякакви множества. Тъй като са известни примери за алгоритмично неразрешими комплекти, но са рекурсивно измерими. От това следва, че предположението на Дейвис е вярно и проблемът с разрешаването на тези уравнения има отрицателно изпълнение.

След това, за предположенията на Дейвис, остава да се докаже, че има метод за трансформиране на неравенство, което също (или не е имало) едновременно решение. Беше показано, че такава промяна на Диофантиновото уравнение е възможна, ако е с посочените две свойства: 1) във всяко решение от този тип Vle-UU - 2) за всяко к Има едно приложение, в което има експоненциален растеж.

Пример за линейно диофантиново уравнение от този клас завършва доказателството. Проблемът за наличието на алгоритъм за разрешаване и разпознаване в рационален брой на тези неравенства все още е важен и открит въпрос, който не е изучен в достатъчна степен.