Системата на неравенствата е решение. Система от линейни неравенства

Неравенствата и неравенствата са една от темите, които се преподават в средното училище в алгебра. На нивото на сложност не е най-трудно, тъй като има опростени правила (малко по-късно). Като правило, студентите могат лесно да решат системата на неравенствата. Това се дължи и на факта, че учителите просто "обучават" своите ученици по тази тема. И те не могат да направят това, защото се изучават в бъдеще с помощта на други математически величини и също се проверяват за OGE и USE. В училищните учебници, темата за неравенствата и неравенствата е описана подробно, така че ако ще го изучите, най-добре е да се прибегнете до тях. Тази статия разказва само големите материали и в нея може да има някои пропуски.

Концепцията за система от неравенства

Ако се обърнем към научния език, тогава можем да дефинираме понятието "система на неравенства". Това е математически модел, който представлява няколко неравенства. От този модел, разбира се, тя се нуждае от решение, и в качеството си да действа като общ отговор за всички неравенството в системата, предложени в тази работа (обикновено в нея и пишат, например: "Решете системата на неравенството 4 х + 1> 2 и 30 - х > 6 ... "). Преди да преминем към типовете и методите на решаване обаче, трябва да разберем нещо.

Системите на неравенствата и системата от уравнения

В процеса на изучаване на нова тема често възникват недоразумения. От една страна, всичко е ясно и по-скоро искате да започнете да решавате задачи, а от друга - някои моменти остават в "сянката", не са добре разбрани. Също така, някои елементи от вече придобитите знания могат да бъдат преплетени с нови. В резултат на това "припокриване" често се случват грешки.

Следователно, преди да започнем да анализираме нашата тема, трябва да помним за разликите между уравненията и неравенствата, техните системи. За да направим това, трябва да обясним още веднъж какво представляват математическите понятия. Уравнението винаги е равнопоставено и винаги е нещо равно (в математиката тази дума се обозначава с знака "="). Неравенството е модел, в който едно или повече, или по-малко от друго, или съдържа изявлението, че те не са еднакви. Така в първия случай е уместно да се говори за равенство, а във втория случай, колкото и очевидно да звучи от заглавието, неравенството на оригиналните данни. Системите на уравнения и неравенства практически не се различават една от друга и методите за тяхното решаване са еднакви. Единствената разлика е, че в първия случай използваме равенства, докато във второто неравенство се използва.

Видове неравенства

Съществуват два вида неравенства: числови и неизвестни променливи. Първият вид е предоставена от количеството (брой), неравно един до друг, например 8> 10. Второ - това неравенство, съдържащ неизвестно променлива (означена с буква от азбуката, обикновено X). Тази променлива изисква нейното откриване. В зависимост от това колко от тях, в математическия модел изтъкнати неравенства с един (съставляват системата на неравенството с една променлива) или повече променливи (съставляват системата на неравенството с няколко променливи).

Последните два типа по отношение на степента на тяхното изграждане и степента на сложност на решението са разделени на прости и сложни. Обикновено се наричат ​​и линейни неравенства. Те, от своя страна, са разделени на строги и несвързани. Стриктно конкретно "казват", че една стойност задължително трябва да бъде по-малка или по-голяма, затова в чиста форма това е неравенство. Можем да дадем няколко примера: 8 x + 9> 2, 100 - 3 x> 5 и т.н. Не са просто такива, които включват равенство. Това означава, че една стойност може да бъде по-голяма или равна на друга стойност (знак "ge;") или по-малка или равна на друга стойност (знак "le;"). Дори и в линейните неравенства, променливата не стои в корена, квадрата, не е делима от нищо, поради това, че се наричат ​​"прости". Комплексните включват неизвестни променливи, откриването на които изисква повече математически операции. Те често се срещат в квадрат, куб или под корена може да е модулна, влезте, накъсана и т.н. Но тъй като нашата задача е да се разбере необходимостта от решаване на системи неравенства, ние говорим за системата на линейни неравенства. Преди това обаче трябва да кажете няколко думи за техните свойства.

Свойства на неравенствата

Следните разпоредби се отнасят до свойствата на неравенствата:

1. Знакът за неравенство се обръща, ако операцията се използва за обръщане на страните (например ако t₁ le- т₂, след това t₂ ge- т₁).
2. И двете части на неравенството позволяват да се добави към един и същ номер (например ако t₁ le- т₂, след това t₁ + брой на le- т₂ + номер).
3. Две или повече неравенства, имащи знак за една посока, позволяват да се добавят лявата и дясната страна (например, ако е₁ge- т₂, т₃ge- т₄, след това t₁ + т₃ge- т₂ + т₄).
4. И двете части на неравенството позволяват да бъдат умножени или разделени със същото положително число (например ако t₁ le- т₂ и номер le-0, а след това и номера middot- т₁ ge-номер middot- т₂).
5. Две или повече неравенства, които имат положителни термини и знакът на една посока, позволяват да се размножавате един на друг (например, ако t₁ le- т₂, т₃ le- т₄, т₁, т₂, т₃, т₄ ge-0 тогава t₁ middot- т₃ le- т₂ middot- т₄).
6. И двете части на неравенството позволяват да бъдат умножени или разделени със същия отрицателен брой, но знакът за неравенство се променя (например, ако t₁ le- т₂ и номер le-0, а след това и номера middot- т₁ ge-номер middot- т₂).
7. Всички неравенства имат свойството на преходност (например, ако t₁ le- т₂ и т₂ le- т₃, след това t₁ le- т₃).

Сега, след като проучихме основните разпоредби на теорията за неравенствата, можем да продължим директно да разгледаме правилата за решаване на техните системи.

Решаване на системи от неравенства. Обща информация. начини за решаване на

Както бе споменато по-горе, решението е стойността на променливата, която е подходяща за всички неравенства на дадена система. Решаването на системите на неравенства е прилагането на математически действия, които в крайна сметка водят до решаването на цялата система или доказват, че няма решения. В този случай, кажете, че променливата се отнася до празен цифров набор (написан по този начин: буквата, обозначаваща променлива isin- (знак "принадлежи") ø (знак "празен комплект"), например x isin- ø (прочетете по следния начин: "Променливата" x "принадлежи към празния комплект"). Има няколко начина за решаване на системите на неравенствата: графичен, алгебричен, метод на заместване. Струва си да се отбележи, че те се отнасят до тези математически модели, които имат няколко неизвестни променливи. В случая, когато има само един, методът на интервалите е подходящ.

Графичен метод

Тя позволява да се реши системата от неравенства с няколко неизвестни стойности (от две и по-високи). Благодарение на този метод системата на линейните неравенства се решава доста лесно и бързо, затова е най-разпространеният метод. Това е така, защото конструкцията на графиката намалява количеството на писмените математически операции. Особено става приятно да се разсейва малко от дръжката, да вземеш молив с владетел и да продължиш с по-нататъшни действия с тяхна помощ, когато свърши много работа и искаш малко разнообразие. Този метод обаче не се харесва на факта, че трябва да се отделите от задачата и да превключите умствената си дейност към рисуване. Въпреки това, това е много ефективен начин.

За да се реши системата от неравенства, използвайки графичния метод, всички условия на всяко неравенство трябва да се прехвърлят на лявата им страна. Знаците са обърнати, правилно трябва да бъдат написани нула, тогава трябва да напишете всяко неравенство поотделно. В резултат на това неравенствата дават функции. След това можете да получите молив и владетел: сега ще е необходимо да начертаете графика на всяка получена функция. Целият набор от номера, който ще бъде в интервала на тяхното пресичане, ще бъде решение на системата на неравенствата.

Алгебраният метод

Тя позволява да се реши системата от неравенства с две неизвестни променливи. Също така, неравенствата трябва да имат едни и същи признаци на неравенство (т.е. те трябва да съдържат само знака "повече" или само знака "по-малко" и т.н.) Въпреки ограниченията си, този метод също е по-сложен. Прилага се на два етапа.

Първата включва действието да се отървеш от една от неизвестните променливи. Първо трябва да го изберете, след което проверете наличието на числа преди тази променлива. Ако те не са (тогава променливата ще изглежда една буква), а след това нищо няма да се промени, ако има (вид променлива се, например, така че - 5-годишни и 12у), а след това трябва да се уверите, че във всяко неравенство на броя преди избраната променлива е същото. За да направите това, умножете всеки член на неравенството от общ фактор, например, ако първото неравенство записано 3-, 5- и второ, че е необходимо за всички членове на първото неравенство, умножено по 5, а втората - на 3. Получаване 15y и 15y, съответно.

Вторият етап от решението. Трябва да прехвърлим лявата страна на всяко неравенство в дясната страна, като променим знака на всеки термин в обратна посока, вдясно, за да напишем нула. След това идва най-интересното: да се отървем от избраната променлива (по друг начин се нарича "съкращаване"), докато се сгъстява неравенството. Получаваме неравенство с една променлива, която трябва да бъде решена. След това трябва да направите същото, само с друга непозната променлива. Получените резултати ще бъдат решение на системата.

Метод на заместване

Позволява ви да решите системата на неравенствата, ако е възможно, да въведете нова променлива. Обикновено този метод се използва, когато неизвестна променлива в един термин от неравенството се повдига до четвъртата мощност, а в другия термин има квадрат. По този начин, този метод има за цел да намали степента на неравенствата в системата. Неравенство на извадката x⁴ - х² - 1 le-0 по този начин се решава както следва. Въведена е нова променлива, например t. Те пишат: "Нека t = x²", тогава моделът се пренаписва в нова форма.В нашия случай ние получаваме т² - т - 1 ле-0. Това неравенство трябва да бъде решено чрез интервалния метод (около него малко по-късно), след това обратно към променливата Х отново, след това да направи същото с другото неравенство. Получените отговори ще бъдат решение на системата.

Метод на интервали

Това е най-простият начин за решаване на системите на неравенства и в същото време е универсален и широко разпространен. Използва се в гимназията и дори във висшето образование. Същността му се състои в това, че студентът търси пропуски на неравенство в брой линия, която се изготвя в тетрадка (това не е графика, но просто обичайната линия с номера). Когато се пресичат интервалите на неравенствата, се намери решение на системата. За да използвате интервалния метод, трябва да изпълните следните стъпки:

1. Всички условия на всяко неравенство се пренасят от лявата страна с обръщане на знака (нула е написана надясно).
2. Неравенствата се записват отделно, решението на всеки от тях се определя.
3. Има пресечни точки на неравенствата по линията на числата. Всички числа на тези кръстовища ще бъдат решението.

Кой начин да използвате?

Очевидно това, което изглежда най-лесно и най-удобно, но има случаи, когато задачите изискват определен метод. Най-често в тях е написано, че е необходимо да се реши чрез график или чрез интервален метод. В алгебрични метод на заместване и рядко се използва или не се използва на всички, тъй като те са сложни и объркващи, а също и по-голяма приложимост за решаване на системи уравнения, а не на неравенството, така че трябва да се използва, за да се направи графики и интервали. Те носят яснота, която не може само да улесни ефективното и бързо провеждане на математически операции.

Ако нещо не се получи

По време на изучаването на темата за алгебра, разбира се, може да има проблеми с разбирането му. И това е нормално, защото мозъкът ни е проектиран така, че да не може да разбере сложния материал в даден момент. Често трябва да прочетете отново параграфа, да потърсите помощ от учител или да практикувате задачата за решаване на типични задачи. В нашия случай те например изглеждат така: "Решете системата от неравенства 3 x + 1 ge- 0 и 2 x-1> 3. По този начин, личното стремеж, помощта от външни хора и практика помагат да се разбере всяка сложна тема.

Възраждане?

А ребайникът също е много добър, но не за отписване на домашната работа, а за самопомощ. Те могат да бъдат намерени на системата от неравенства с решението да ги гледаш (като шаблони), за да се опитаме да разберем как авторски решения се справили със задачата, а след това се опита да изпълнява като по независим начин.

данни

Алгебра е един от най-трудните предмети в училището. Е, какво мога да направя? Математиката винаги е била такава: тя се дава на някой лесно, но на някой с трудности. Но във всеки случай трябва да се помни, че общата образователна програма е изградена по такъв начин, че всеки студент да може да се справи с нея. Освен това трябва да имаме предвид голям брой асистенти. Някои от тях бяха споменати по-горе.