Как да решим неравенствата? Как да решаваме частични и квадратични неравенства?

Концепцията за математическо неравенство възниква в крайната античност. Това се случи, когато един примитивен човек имаше нужда да сравни и да умножи броя и големината на броя и действията с различни обекти. От древни времена Архимед, Евклид и други известни фигури на науката са използвали неравенства в своите разсъждения: математици, астрономи, дизайнери и философи.

Но те, като правило, използват словесна терминология в своите произведения. За първи път съвременните знаци за понятията "повече" и "по-малко", както те са известни на всеки ученик днес, са изобретени и приложени на практика в Англия. Математикът Томас Гариот предоставя такава услуга на потомците. И това се случи преди около четири века.

Има много видове неравенства. Сред тях, прости, съдържащи една, две или повече променливи, квадратни, частични, сложни взаимоотношения и дори представени от система на изразяване. И за да разберем как да решим неравенствата, най-добре е да имаме различни примери.

Не пропускайте влака

Първо, представете си, че жител на селски район се втурва към жп гара, която се намира на 20 километра от селото му. За да не закъснееш за влака, който тръгва в 11 часа, той трябва да напусне къщата навреме. В кой час е необходимо да се направи това, ако скоростта на движение е 5 km / h? Решаването на този практически проблем се свежда до изпълнението на изразителните условия: 5 (11 - Х) ge-20, където X е времето за заминаване.

Това е разбираемо, защото разстоянието, което трябва да бъде преодоляно от селянина до станцията, е равно на скоростта на движение, умножена по броя на часовете по пътя. Човек може да дойде по-рано, но не може да закъснее. Знаейки как да решават неравенствата и да прилагат техните умения на практика, в крайна сметка получаваме Х le-7, което е отговорът. Това означава, че селянинът трябва да отиде на гарата в седем сутринта или малко по-рано.

Брой празнини по координатната линия

Сега нека открием как да очертаем описаните отношения координирана линия. Полученото по-горе неравенство не е строго. Това означава, че променливата може да има стойности по-малки от 7 и може да бъде равна на този брой. Даваме други примери. За целта внимателно обмислете четирите фигури по-долу.

На първия от тях можете да видите графично представяне на интервала [-7- 7]. Състои се от набор от числа, поставени на координатната линия и разположени между -7 и 7, включително граници. В този случай точките на графиката са представени под формата на запълнени кръгове, а разликата се записва с помощта на квадратни скоби.

Втората фигура е графично представяне на стриктното неравенство. В този случай граничните числа -7 и 7, показани чрез пунктирани (не засенчени) точки, не са включени в определения комплект. И записът на самата пролука се прави в скоби, както следва: (-7- 7).

Това е, да разберете как да се реши neravenstvatakogo тип, и получи този отговор, можем да заключим, че тя се състои от числа, разположени между тези граници, в допълнение към -7 и 7. В двата случая трябва да се оценява по същия начин. трети фигура изображения пропуски (-infin-- -7] U [7- + infin-) и четвъртата - (-infin-- -7) U (7- + infin-).

Два израза в едно

Често можете да намерите следното вписване: 7 < 2Х - 3 < 12. Как да решаваме двойното неравенство? Това означава, че две условия незабавно се наслагват върху израза. И всеки от тях трябва да се обмисли, за да получите правилния отговор за променливата X. Като се има предвид тази ситуация, ние получаваме отношенията 2X - 3> 7 и с 2 - 3 < 11 следното:

5 < X < 7. Крайният отговор е написан по следния начин: (5-7). Това означава, че променливата приема набор от стойности, затворени в празнината между номера 5 и 7, с изключение на границите.

Подобни свойства с уравнение

Уравнението е израз, комбиниран от знака =, което означава, че и двете части (ляво и дясно) са еднакви по магнитуд. Ето защо, често тези взаимоотношения са свързани с изображението на старите люспи, като купи са монтирани и закрепени с помощта на лост. Това устройство винаги е в баланс, ако и двата края са балансирани спрямо теглото. В този случай позицията не се променя, ако лявата и дясната част се допълват или губят товари със същата маса.

В математическо уравнение до двете части на уравнението, така че да не се счупи, можете да добавите същия номер. В този случай тя може да бъде положителна или отрицателна. Как да решите неравенствата в този случай и можете ли да направите същото с тях? Предишните примери показаха, че да.

Разликата от уравнението

Двете части на израза, свързани с знаци < или>, може да бъде умножено и разделено на всяко положително число. В този случай истината за връзката не се нарушава. Но как да се реши неравенството с фракции с отрицателни и целочислени множители, пред които има знак минус? Тук ситуацията е съвсем различна.

Да разгледаме този пример: -3Х < 12. За да изберете променлива от лявата страна, трябва да разделите всеки от тях на -3. В този случай знакът за неравенство се обръща. Получаваме: X> -4, което е отговорът на проблема.

Метод на интервали

Неравенството се смята за квадратично, ако съдържа променлива, повдигната към втората власт. Пример за такава връзка е следният израз: X² - 2X + 3> 0. Как да решим квадратичните неравенства? Най-удобният метод е интервалният метод. За да се приложи това, лявата страна на съотношението трябва да бъде факторизирана. Оказва се, че: (X - 3) (X + 1). След това се препоръчва да откриете нули на функцията и да организирате получените точки в правилния ред на координатната линия.

След това трябва да разпределите признаците на получените интервали, като замените в израза някое от числата, принадлежащи на даден интервал. В обикновени случаи обикновено е достатъчно да се разбере поне един от тях, а останалите - да се уреди от правилото за редуване. В заключение, остава само да се изберат подходящите интервали, за да се получи окончателното решение.

Квадратичните неравенства тук се подчиняват на закона за кореспонденцията между отрицателните области и минусите, а положителните - към плюсовете. Тоест, ако изразът е по-голям от нула, тогава трябва да вземем цифровите пропуски, маркирани с знака +. В противен случай, решението ще бъде секциите, маркирани с -. Така, решението на нашето неравенство е написано като (-infin-1) U (3 + infin-).

Други примери за прилагането на интервалния метод

Описаният метод дава отговор на друг важен въпрос: как да се решат частичните неравенства, ако в този случай е приложим един и същ метод от интервали? Нека разгледаме по-подробно как може да се направи това, като се използва примерът на връзката, представена по-долу.

Тук, нулите са точките -9 и 4. За да намерите решения, необходими за да бъдат поставени на една ос координира и определи празнини марка, избор на тези, които ще бъдат обозначени със знак плюс. Трябва да се отбележи, че само числото 4 ще бъде попълнено.

Друга точка ще бъде изтрита, тъй като -9 не е включена в обхвата на допустимите стойности. В края на краищата, знаменателят е нула, което е невъзможно в математиката. Как да решим фракралните неравенства? В този случай, крайният отговор е съединението на пропуски: (-infin-- -9) U [4 + infin-).

Паралелите на графиката

Да се ​​разбере всичко за неравенствата често се подпомага не само от рисунки на координатната линия, но и от изображения в декартовата равнина. Графиката на квадратичната зависимост е известна като парабола. Дори схематичен чертеж от този тип е в състояние да осигури почти пълни отговори на поставените въпроси. Ние разглеждаме някои от видовете параболи, които дават идеи за решаване на квадратичните неравенства.

Тук, на първо място, ще изясним някои истини за себе си. Всяко изражение от този тип се свежда до формата: брадва² + В този случай, ако коефициентът а се окаже положителен, тогава параболата трябва да се изтегли с разклонения нагоре, в противен случай - надолу. Корените на уравнението са точките, в които графиката на функцията пресича оста OX.

тълкуване

Познаването на горните твърдения е много важно за разбирането на квадратичните неравенства и отговорите на свързаните с тях въпроси. Начертайте схема на параболата на декартовата равнина, да се реши е да се установи в коя точка (т.е. стойностите на координатите на точки по оста у) взема + и функцията -. Освен това, ако неравенството съдържа знака>, тогава неговото решение ще бъде набор от стойности, приети от променливата Х за положителни Y.

В случай на знак < в отговора индексите за X са дадени с отрицателен Y. Става така, че параболата изобщо не се пресича на оста OX. Това се случва в случаите, когато А < 0. След това, ако графиката е в горната половина на равнината, отговорът за квадратно неравенство със знака е интервалът (-infin-- + infin-). И за < решението е празен комплект. При долната равнина на самолета това е така с точност и обратно.

За ползите от графиката

Изображенията на декартовата равнина много опростяват проблема за системите на уравненията. Фигурите ясно показват решения, които са точки на пресичане на приложените линии. Остава само да се изчислят координатите и да се напише отговора.

Същото важи и за неравенствата. Например, решението y le-6-x (както е ясно от фигурата) е права линия y = 6-x, а също и полуплана, намираща се под тази граница. За точен отговор можете да вземете всяка точка от графиката (например (1-3) и да замените нейните координати в неравенството. le-6 - 1, т.е. правилното съотношение. Следователно горните разсъждения бяха верни.

Неравенството в ge- х² е описан от регион на картезианската равнина, намираща се в купата на парабола, включително неговите граници. А в пресечната точка на тези сектори можем да намерим решение на отношението, написано във формата: x² най-le- ле-6-х. Тя ще бъде ограничена отдолу по линията на парабола и отсечена отгоре с права линия. Сигурно ще проверим отново, замествайки координатите на всяка точка, която принадлежи на този регион.

Вземете (1-4). Получете: 1 4 le- le-6 - 1, това отново е правилното съотношение. Тук отново има смисъл да се отбележи, че неравенствата имат много прилики с уравнения, въпреки че са снабдени със значителни различия.