Петият постулат на Евклид: формулировка

Смята се, че първите човешки цивилизации се появяват преди 10 000 години. В сравнение с възрастта на нашата планета, която според учените е на около 4.54 милиона години, това е само кратък момент. За този "миг" човечеството е направило огромен скок от примитивни каменни инструменти за междупланетни космически кораби. Би било невъзможно от време на време на планетата гениите да не се раждат, да преместват науката напред. Сред тях, разбира се, е Евклид. Неговите творби стават основа и мощен импулс за развитието на съвременната математика.

Тази статия е посветена на петия постулат на Евклид и неговата история.

Как изглеждаше геометрията

Тъй като парцелите стават обект на продажба и отдаване под наем, техният размер и площ трябваше да бъдат измерени, включително чрез изчисление. Освен това, такива изчисления станаха необходими за изграждането на мащабни структури, както и за измерване на обема на различни елементи. Всичко това се превръща в предпоставка за възникването на изкуството на земното геодезия в Египет и Вавилон от 3-4 хилядолетия. Беше емпирично и представляваше набор от примери за решаване на няколкостотин специфични проблема, без никакви доказателства.

Като систематична наука геометрията се развива в древна Гърция. До III век пр.н.е. имаше голям набор от факти и доказателства. В същото време възниква задачата да се обобщи достатъчно събраният достатъчно голям геометричен материал. Хипократ, Феди и други древногръцки философи се опитали да го разрешат. Но логически калибрирана научна система се появи едва около 300 г. пр. Хр. д. с публикуването на "Елементи".

Кой беше Евклид

Древна Гърция даде на света много от най-великите философи и учени. Един от тях е Евклид, който стана основател на математическото училище в Александрия. На практика нищо не се знае за самия учен. Някои източници посочват, че в младостта си бъдещият баща на съвременната геометрия учи в известното училище на Платон в Атина и след това се завръща в Александрия, където продължава да учи математика и оптика, а също и да пише музика. В родния си град основава училище, където заедно със своите ученици създава известната си творба, която за повече от две хилядолетия е в основата на всеки учебник по планемери и стереометрия.

"Началото" на Евклид

Основната и първата най-систематична работа по геометрията се състои от 13 тома. Първите четири и шест книги се занимават с планиметрия, а 11, 12 и 13 са стереометрия. Що се отнася до останалите обеми, те са посветени на аритметиката, която се дава по отношение на геометричните постулати.

Ролята на основната работа на Евклид в последващото развитие на математическите науки не може да бъде надценена. Няколко папирусни списъци от оригиналния, както и от византийските ръкописи са стигнали до нас.

През Средновековието "Елементите" на Евклид са изследвани предимно от арабите, които ги смятали за едно от най-великите дела на човешките мисли, а самият учен - жител на Дамаск. Много по-късно тези работи интересуват европейците. С настъпването на книгопечатането, науката, включително геометрията на Евклид, престана да бъде собственост само на избраните. След първото издание през 1533 г. "Елементите" стават достъпни за всеки, който иска да познава света и всяка година става все по-често. Търсенето е предизвикало търсене, затова се смята, че тази работа е втората сред най-четените древни места след Библията.

Някои функции

"Началото" описва метричните свойства на триизмерното, празно, безкрайно и изотропно пространство, което обикновено се нарича Евклидово. Смята се за арена, където се появяват явленията на класическата физика на Галилей и Нютон.

Един елементарен геометричен обект, според Евклид, е точка. Втората важна концепция е безкрайността на пространството, която се характеризира с трите първи постулати. Четвъртото се отнася до равенството на правилните ъгли. Що се отнася до петия постулат на Евклид, той е този, който определя свойствата и геометрията на евклидовото пространство.

Според учените бащата на класическата геометрия е създал перфектен учебник, в проучването, на който се изключва всяко неразбиране на материала поради начина, по който се представя. По-конкретно, всеки обем "Началото" започва с дефинирането на концепциите, които се срещат за пръв път. По-конкретно, от първите страници на първата книга читателят ще научи какъв е точката, линията, линията и т.н. В крайна сметка има 23 дефиниции, необходими за разбирането на основните разпоредби на материала, представен в тази фундаментална работа.

Аксиомите и първите четири постулати на Евклид

След определенията авторът на "Nachal" цитира изречения, които са приети без доказателства. Те ги разделят на аксиоми и постулати. Първата група се състои от 11 изявления, интуитивно известни на дадено лице. Например, осмият аксиом гласи, че цялото е по-голямо от частта и според първото две равнища, които са поотделно равни на третата, са еднакви.

В допълнение, Евклид дава 5 постулати. Първите четири прочетоха:

• от всяка точка до която и да е друга може да се направи права линия;
• От всеки център на всеки радиус е възможно да се опише кръг;
• ограничената линия може да продължи непрекъснато по права линия;
• всички прави ъгли са еднакви.

Петият постулат на Евклид

За повече от две хилядолетия това изявление многократно е станало обект на внимателно внимание на математиците. Първо, обаче, нека се запознаем със съдържанието на петия постулат на Евклид. Така че, в модерната формулировка звучи като на равнина в пресечната точка на два права едностранно трети сума на вътрешните ъгли на по-малко от 180 °, тогава тези линии, като същевременно продължава рано или късно отговарят на тази страна, на която това количество (размер) на по-малко от 180 °.

Петият постулат на Евклид, чиято формулировка в различни източници е дадена по различен начин, от самото начало предизвика спорта и желанието да се превърне в категорията на теоремите чрез изграждане на добре обосновано доказателство. Между другото, той често се замества от друг израз, всъщност изобретен от Proclus и известен също като аксиома на Playfair. Казва се: в равнината през точка, която не принадлежи към дадена линия, е възможно да се направи една и съща права линия, успоредна на тази.

език

Както вече беше споменато, много учени се опитаха да изразят идеята за петия постулат на Евклид по различен начин. Много формулировки са съвсем очевидни. Например:

• приближаващите се прави линии се пресичат;
• има най-малко един правоъгълник, т.е. четириъгълник с четири прави ъгъла;
• всяка цифра може да бъде увеличена пропорционално;
• Съществува триъгълник, имащ площ от всякакъв размер, която е произволно голяма.

недостатъци

Геометрията на Евклид се превръща в най-голямото математическо произведение на древността и до 19-ти век царува върховно в математиката. Въпреки това, някои от недостатъците му бяха забелязани от съвременниците на автора и древните гръцки учени, които живееха малко по-късно. По-специално Архимед добавя нова аксиома, наречена неговото име. Тя казва: за всички сегменти AB и CD има естествено число n, което е nmiddot- [AB]> [CD].

Освен това учените се опитват да сведат до минимум системата от евклидови постулати и аксиоми. За да го направят, някои от тях извадиха останалите.

Така че е било възможно "да се отървем" от четвъртия постулат за равенство на правилните ъгли. За него беше намерено стриктно доказателство, което го превръщаше в теоретик.

История на 5-тия постулат в древността и ранното средновековие

Класическата формулировка на това изложение на геометрията на Евклид изглежда много по-малко очевидна от останалите четири. Това обстоятелство не е притеснявало математиците.

Препъникамъкът за пети евклидовата постулат е определението на паралелизъм на двете линии А и Б, като посочва, че сумата на две едностранни ъглите, които се образуват от пресичането на А и Б трета права линия в, равни на 180 градуса.

Първият опит да се докаже като теорема е направен от древногръцкия геометър Posidonius. Той предложи наборът от всички точки в равнината, които са на същото разстояние от първоначалната равнина, да се разглежда като директен паралел на дадената. Но дори това не позволи на Посидония да намери доказателства за 5-тия постулат.

Опитите на други математици, включително средновековните, като арабите на Ибн Корра и Хайам, не доведоха до нищо. Единственото нещо, което е постигнато, е появата на нови постулати, които се доказват, като се вземат предвид различните предположения.

През 18-19 век

Класическата геометрия продължи да интересува математиците и през 18 век. По-специално, френският математик А. Легендър успя да се доближи доста близо до доказателството за аксиома на евклидовото паралелизъм. Неговата писалка принадлежи на изключителния учебник "Началото на геометрията", който за около 150 години беше основният в преподаването на математика в училищата на Руската империя. В него учените дадоха три варианта на доказателство за евклидовата аксиома на паралелизма, но всички те се оказаха неверни.

Към началото на XIX век възниква идеята да се създаде неевропейска геометрия. Първото описание на системата, което не зависи от петия постулат, е дадено от военния инженер Дж. Бояй. Но той се уплаши от откритието си и не разработи тази идея, смятайки, че е погрешно. Големият немски математик К. Гаус също не успя да постигне успех.

пробив

В продължение на повече от 2000 години петият постулат на Евклид, доказателство, което стотици учени се опитаха да открият, остана номер едно в математиката. Пробивът е направен от руския математик NI Lobachevsky. Той е първият в света, който описва свойствата на реалното пространство, доказвайки, че геометрията на Евклид "работи" само в конкретния случай на неговата система.

Н. И. Лобачевски първоначално следваше същия път като колегите си. Опитвайки се да докаже петия постулат, той не успя. Тогава ученият отказал евклидовото понятие, според което сума от ъглите на триъгълник е равна на 180 градуса. Тогава започна да доказва това твърдение от обратното и получава нова формулировка за петия постулат. Сега той допусна съществуването на няколко линии, успоредни на даден, и минавайки през точка, разположена извън тази линия.

Нова геометрия

Няма смисъл да обсъждаме кой направи повече за математическата наука. Ролята на Евклид и Лобачевски е сравнима с влиянието върху формирането и развитието на физиката на Нютон и Айнщайн. В същото време новата абсолютна геометрия ни позволи да разгледаме концепцията за пространството, откъсвайки се от класическия метод "Мога само да разбера какво мога да измерим". Но точно този подход се практикува в науката в продължение на много хилядолетия.

За съжаление, идеите за геометрията на Лобачевски не бяха възприети и разбрани от съвременниците. По-специално, неговите ученици не продължават работата на учения, а развитието на неевропейската геометрия се отлага за няколко десетилетия.

Някои характеристики на теорията на Лобачевски

За да разберем новата геометрия, трябва да разгледаме космическата безкрайност. Всъщност, трудно е да си представим, че безграничната вселена е сума от праволинейни пространства.

Геометрията на Lobachevsky се използва за описване на криволинейните пространства, създадени от гравитационните полета на галактиките. Тя позволи да се отдръпне от метода за намаляване на всички фигури в "приблизително десен" цилиндър, кръг, пирамида или произволна комбинация от тези фигури. В края на краищата, нашата планета всъщност не е сфера, а геоид, т.е. фигура, която се получава чрез очертаване на външния контур на земната литосфера (твърда черупка).

В реалния живот съществуват и аналози на криволинейните пространства на Вселената, които позволяват да си представим възможността за съществуването на няколко директни паралелни преминаващи през една точка. По-специално, това са извити повърхности от три типа, които се отличават с италианската геометрия Е. Beltrami и се наричат ​​псевдосфери.

По-нататъшно развитие на теорията на Лобачевски

Изтъкнатият руски не беше единственият, който предположи, че евклидовата геометрия не е абсолютна. По-специално математикът Б. Риман през 1854 г. усъвършенства идеята за съществуването на пространства с нулева, положителна и отрицателна кривина. Това означава, че е възможно да се създаде безкраен брой различни некласически геометрии.

От позицията на Б. Риман, който изучава главно пространства с положителна кривина, петият постулат на Евклид звучи съвсем неочаквано. Според неговите идеи не може да се изведе права линия през точка извън тази линия, която е успоредна на тази.

Ситуацията е напълно различна с нулеви, отрицателни и положителни криви, според теорията на Клайн. По-специално, в първия случай те са описани от параболична геометрия, специален случай, който е класиката, а вторият - покоряват Lobachevskian идеи, а третият - в съответствие с тези, описани от Риман.

След публикуването на Теорията на относителността на Алберт Айнщайн понятията за такива пространства бяха допълнени с данни, които отчитат съществуването на четири взаимозависими и променящи се измерения - маса, енергия, скорост и време.

На практика

Ако стигнем до човешкото възприятие на пространството, а след това в земната орбита за гигантски триъгълник, възможно най-голямо отклонение от сумата от вътрешните ъгли от класическите 180 градуса е само четири милионното от секундата. Такава стойност е извън възможностите на хомо сапиенс, така че за евклидеите евклидовата геометрия е в търсенето.

Остава да се изчакат създаването на условия, които дават възможност да се получат експериментални данни, които да потвърдят или отхвърлят теориите на Н. Лобачевски и Б. Риман в мащаба на галактиката.

Сега знаете, че декларира петия постулат на Евклид и неговата история, което е много поучително и ви позволява да проследите развитието на човешката мисъл през последните 2300 години.