Какви са перфектните числа в математиката?

Ние се сблъскваме с числа, буквално всеки миг от земния си живот. Дори древните гърци са имали gematria (нумерология). За представянето на номерата са използвани буквите от азбуката. Всяко име или писмена дума съответства на определен номер. За днес науката по математика е достигнала много висока степен на развитие. Номерата, използвани при различните изчисления, са толкова многобройни, че са групирани заедно. Специално място сред тях е заето от перфектни номера.

горна водна линия

В древна Гърция хората сравняват свойствата на числата в съответствие с техните имена. Девизаторите на числа са имали специална роля в нумерологията. Във връзка с това идеалните (перфектни) числа са тези, които се равняваха на сумата от техните делители. Но древните гърци не включват самите числа в делителите. За да разберем по-добре кои са перфектните числа, нека да го покажем чрез примери.

Въз основа на тази дефиниция най-малко идеалният номер е 6. След това ще бъде 28. Тогава 496.

Питагор смята, че има специални номера. Същото мнение споделя Евклид. За тях тези числа бяха толкова необикновени и специфични, че ги свързваха с мистични. Такива номера са идеални. Това са перфектните числа за Питагор и Евклид. Те включват 6 и 28.

ключ

Математиците винаги се опитват да намерят общ ключ за намиране на отговор при решаване на проблем с няколко решения.

Така че те търсят формула, която определя идеалното число. Но се получи само една хипотеза, която трябваше да бъде доказана. Представете си, че вече сте определили какво са перфектни числа, математиците са прекарали повече от хиляда години, за да определят петата от тях! След 1500 години стана известно.

Много важен принос за изчисляването на идеалните числа са направени от учените Ферма и Мерсен (XVII в.). Те предложиха формула за тяхното изчисление. Благодарение на френските математици и произведенията на много други учени в началото на 2018 г. броят на перфектните числа достига 50.

прогрес

Разбира се, ако отварянето на идеалния номер, който вече беше петият, отне половин и хилядолетие, днес, благодарение на компютрите, те се изчисляват много по-бързо. Например, откриването на 39-ия идеален номер падна през 2001 г. Той има 4 милиона знака. През февруари 2008 г. отворихме 44-ия перфектен номер. През 2010 г. - 47-ия идеал, а до 2018 г., както бе споменато по-горе, е открит 50-ият номер със статут на съвършенство.

Има още една интересна особеност. Изучаването на перфектните числа, математиците са направили откритие - всички са равнопоставени.

Малко история

Това определено е неизвестно, когато цифрите, съответстващи на идеала, бяха забелязани за пръв път. Предполага се обаче, че дори в древен Египет и Вавилон те са изобразени на пръсти. И не е трудно да се досетите какъв перфектен брой те изобразяват. Разбира се, това е така беше 6. До петия век от н.е. сметката се държеше с пръсти. За да покаже номер 6 на рамото, пръстена на пръстена беше огънат, а другите - изправени.

В древния Египет мярката за дължина беше лакът. Беше еквивалентно на дължината на двадесет и осем пръста. И в Античния Рим например имаше интересен обичай - да заемат шесто място на празници на почетни и забележителни гости.

Последователи на Pythagoras

Последователите на Pythagoras също обичаха идеалните числа. Кой от числата е перфектен след 28 г., много се интересува от Евклид (ІV в. Пр. Хр.). Той даде ключовете да намери всички идеални четни номера. Интерес представлява деветата книга на Евклидовите "Елементи". Сред неговите теореми е този, който обяснява, че идеалното е числото, притежаващо забележителна собственост:

стойността на p ще бъде еквивалентна на израза 1 + 2 + 4 + hellip- + 2n, който може да бъде написан като 2n + 1-1. Това е първо число. Но вече 2np ще бъде перфектно.

За да проверим това твърдение, трябва да разгледаме всички правилни делители на числото 2np и да изчислим сумата им.

Това твърдение принадлежи на учениците на Питагор.

Евклидовото правило

В допълнение, Евклид доказва: формата на дори идеалното число се представя математически като 2n-1 (2n-1). Ако n е prime и 2n-1 е проста.

По правило на Евклид Древногръцки математик Никомах от Гераса (І-II в.). Той намери идеалните номера като 6, 28, 496, 8128. Никомах Геразийски говори за идеалните числа като много красиви, но малко математически понятия.

Една и половина хиляди години по-късно германският учен Regiomontan (Йохан Мюлер) открива петият перфектен брой по математика. Те бяха 33 550 336.

Допълнителни изследвания на математиката

Номера, които се считат за прости и принадлежат към серията 2n-1, се наричат ​​Mersenne номера. Това име им се дава в чест на френския математик, живял през XVII век. Той беше този, който отвори осмия перфектен номер през 1644 г.

250 години по-късно руски език научен математик Pervushin IM от Провинция Перм намери деветият идеален номер.

От 1952 г. компютрите (електронните компютри) са свързани с подобни математически изследвания. Скоростта на изчисленията значително се е увеличила. Например, стана известно, че за разлика от първия идеален номер 6, който е недвусмислен, двадесет и четвъртият има в арсенала си повече от 12 000 знака!

История на шахматната дъска

Има една много интересна история за шахматната дъска, царя и зърното. След като кралят, възхищаващ се на играта на шах, поканил създателя на играта да избере награда. Тогава мъдрецът избра скромен, изглежда, награда - да се облече в клетките на една шахматна дъска. Изненадан е редът на оформлението: първата клетка 1 зърно, втората - 2, третата клетка трябва да съдържа 4 и така да запълни цялата дъска. Интересно е, че в последните 64 клетки имаше 1 199 038 364 791, 120 тона, което е 18 446 744 073 709 551 615 зърна.

Тази сума е приблизително 1800 пъти по-висока от събраните реколти от световна пшеница за цялата човешка история.

Ако вземем масата на едно зърно като 0,065 грама, тогава общата маса на шахматната дъска ще бъде 1,200 трилиона тона.

Ако някой да построи хамбар за съхранение на такива количества зърно, размерът му би било повече от Еверест: 10 х 10 х 15 (км) и в обема на това ще възлезе на около 1500 kmsup3-!

нумерология

В нумерологията има такова нещо като най-съвършеното число 108, което носи успех. Корените й отиват към ведическата култура. Смята се, че ако извършите конкретно действие точно 108 пъти, тогава в този случай ще бъде постигнато определено ниво на съвършенство. Този изглед е свързан с устройството на човешката памет: тя е разделена на краткосрочна и постоянна (вътрешна) памет. Така че във вътрешната памет се намират тези понятия, които лицето е изпълнило 108 пъти. Може би, следователно, мънистата за молитва в класическата версия съдържа точно 108 мъниста. Така че, след като прочете молитвата на пълен кръг от розари, тя става част от постоянната памет на човека.

Мистицизъм и факти

За да разберете дали числото е перфектно, трябва да направите определени изчисления. Няма друг начин. И такива числа са рядкост. Например, Питагоровата Iamblichus пише за идеалната броят като явление, срещани от десетки хиляди до десетки хиляди по десетки хиляди, а след това от десетки хиляди по десетки хиляди до десетки хиляди по десетки хиляди по десетки хиляди, и така нататък. D. Въпреки това, в изчисленията за проверка на XIX век са извършени, което показа, че съвършено число, които срещаме дори по-рядко. По този начин, 1020-1036, няма перфектен номер и ако следвате Iamblichus, тогава трябва да има четири.

Най-вероятно това е трудността да се намерят такива числа, които дават основание за техните мистични свойства. Въпреки че, въз основа на библейската история, неговите изследователи са заключили, че светът е създаден наистина красив и съвършен, тъй като броят на дните на сътворението - това е 6. Но човекът не е съвършен, като създава и живее в дъното на седмият. Нейната задача обаче е да се стреми към постижения.

Интересни факти са следните:

• 8 души са спасени в Ноевия ковчег след Потопа. Също така в него бяха спасени седем чифта чисти и нечисти животни. Ако обобщим всички оцелели в Ноевия ковчег, тогава се появява числото 28, което е съвършено.
• Ръцете на човека са перфектният инструмент. Те имат 10 пръста, които са надарени с 28 фаланги.
• Луната изпълнява заобикалящите ги ребра на всеки 28 дни.
  

Питагорийците номер 6 се смятат за психогенни. Геометричният символ, съответстващ на 6, е хексаграма.

Когато чертаете квадрат, можете да рисувате диагонали в него. Тогава ще бъде лесно да се види, че върховете му са свързани от 6 сегмента. Ако направите същото с куб, получавате 12 ръба и 16 диагонала (12 лица, 4 кубчета). В сумата получаваме 28. Аналогична ситуация ще бъде с тетраедър, чиито върхове са свързани с 6 ръба. Осмоъгълникът също участва в перфектния брой 28 (20 диагонала плюс 8 страни). Седемстранната пирамида има 7 ръба и 7 страни на основата с 14 диагонала. Общо този брой е 28.

Интересни изчисления

Така че, перфектният номер е числото, равно на сумата на делителите:

1 + 2 + 3 + hellip + n

Всички делители, които са по-малки от самия брой, се добавят.

Всеки идеален номер, с изключение на 6, е частичната сума на серия, състояща се от нечетни числа в третата степен: 13 + 33 + 53 + hellip-nup3-.

Друго изненадващо свойство на тези числа е както следва: Сумата от реципрочните на делителите, включително равен брой винаги да 2. Например, вземете 28, след това 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1 / 14 + 1/28 = 2.

Както беше казано по-горе, всички числа, които могат да бъдат намерени с формулата на Евклид, ще бъдат равномерни. Досега не знаем странни идеални числа. Разбира се, напоследък е направен голям пробив в науката за математика и по-специално в областта на перфектните числа. Проблемът при изучаването на тези математически понятия обаче остава открит. Дори ако приемем съществуването на странно идеално число, то трябва да бъде по-голямо от 10,300 и най-малко 75 първични делители, като се има предвид множеството (9 от тях трябва да са различни).

Също така е напълно неразбираемо, броят на перфектните номера е ограничен или е ограничен?

Всички дори перфектни числа са еквивалентни на сумата от последователни естествени числа. С други думи, те са триъгълни.

Числата, които могат да бъдат написани като 2p - 1, се наричат ​​Mersenne номера. Всяко такова число има съответстващ перфектен номер. Същото може да се каже и напротив: всеки идеален номер съответства на номера на Mersenne.

Друго важно откритие е връзката между двоеточие и съвършенство. Ако погледнете отблизо, виждаме връзка с геометрична прогресия.

До перфектното, заслужава да се отбележат приятелските номера. Това са две числа, за които правилото е типично: всеки е еквивалентен на сумата от делителите на второто. По-малките от тях са 220 и 284. Те са познати на питагорейците. Те получиха статута на символ на приятелството. Следващата двойка е открита през 1636 година. Това е 17,296 и 18,416. Тази приятелска двойка ни стана известна благодарение на френския адвокат и математик Пиер Ферм.

Но през 1867 г. той шокира математически световни новини от шестнадесет италиански Николо Паганини (съименник на известния цигулар), които са съобщили, приятелска двойка числа в 1184 и 1210. Това е най-близо до 220 и 284. Изненадващо, няколко пренебрегва всички видни математика, която изучава приятелско номера ,