Уравнение - какво е това? Определение на термина, примери

В хода на училищната математика детето първо чува термина "уравнение". Какво е това, нека се опитаме да го разберем заедно. В тази статия ще разгледаме видовете и методите за решаване.

Математика. уравнение

Първо, предлагаме да разберем самата идея, какво е това? Както казват много учебници по математика, уравнението е някои изрази, между които задължително има равен знак. В тези изрази има букви, т. Нар. Променливи, чието значение трябва да се намери.

Какво представлява променливата? Това е атрибут на система, която променя нейното значение. Ясен пример за променливи са:

• температура на въздуха;
• растежа на детето;
• тегло и т.н.

В математиката те са означени с букви, например, х, a, b, c ... Обикновено задачата по математика звучи така: намери стойността на уравнението. Това означава, че трябва да намерите стойността на тези променливи.

вид

Уравнението (което сме разглобявали в предишния абзац) може да бъде в следната форма:

• линеен;
• квадрат;
• куб;
• алгебрични;
• трансценденталната.

За по-подробно запознаване с всички видове ще разгледаме всеки поотделно.

Линейното уравнение

Това е първият вид, който учениците научават. Те се решават сравнително бързо и просто. Така че, линейно уравнение, какво е това? Това е израз на формата: ax = c. Така че не е много ясно, така че нека да дадем няколко примера: 2x = 26-5x = 40-1.2x = 6.

Нека разгледаме примери на уравнения. За да направите това, трябва да съберем всички известни данни от едната страна, а неизвестните в другата: x = 26/2 x = 40 / 5- x = 6 / 1,2. Тук ние използвахме елементарните правила на математиката: a * c = e, от този c = e / a - a = e / c. За да завършим решаването на уравнението, изпълняваме едно действие (в нашия случай разделение) x = 13-x = 8-x = 5. Това са примери за умножение, сега погледнете изваждането и добавянето: x + 3 = 9 - 10x-5 = 15. Известните данни се прехвърлят на едната страна: x = 9-3-x = 20/10. Извършваме последното действие: x = 6-x = 2.

Също така са възможни варианти на линейни уравнения, когато повече от една променлива: 2x-2y = 4. За да се реши, че е необходимо да се добавят всяка част 2г, получаваме 2x-2y + 2y = 4-2u, както видяхме, от лявата страна на знака за равенство и -2u + 2y намалени, като по този начин ни остава: 2x = 4 -2u. Последната стъпка разделя всяка част на две, получаваме отговора: X е равна на две минус играта.

Проблеми с уравнения се срещат дори и при Ahmess папири. Ето една от задачите: числото и четвъртата част дават общо 15. За да го решим, ние пишем следното уравнение: x плюс една четвърт х се равнява на петнадесет. Виждаме още един пример линейно уравнение, за резултата от решението, получаваме отговора: x = 12. Но този проблем може да бъде решен по друг начин, а именно египетския или, както се нарича по друг начин, методът на допускане. В папируса се използва следното решение: вземете четири и четвърта част от него, т.е. една. Накратко, те дават пет, сега петнадесет трябва да бъдат разделени на сума, ние получаваме три, последното действие три умножени по четири. Получаваме отговора: 12. Защо разделяме с петнадесет на пет в едно решение? Така че знаем колко пъти петнадесет, т.е. резултатът, който трябва да получим, по-малко от пет. Това е начинът да се решат проблемите в Средновековието, той беше наречен метод на лъжата.

Квадратни уравнения

В допълнение към примерите, разгледани по-рано, има и други. Кои от тях? Квадратично уравнение, какво е? Те имат форма брадва²+bx + c = 0. За да ги разрешите, трябва да се запознаете с определени понятия и правила.

Първо, трябва да намерим разликата по формулата: b²-4ав. Има три варианта за изхода на решението:

• дискриминацията е по-голяма от нула;
• по-малко от нула;
• е равна на нула.

В първия вариант можем да получим отговор от два корена, които се намират от формулата: -b + -cres от дискриминационния, разделен с два пъти първия коефициент, т.е. 2а.

Във втория случай уравнението няма корени. В третия случай коренът се намира по формулата: -b / 2a.

Вземем примера на квадратно уравнение за по-подробно запознаване: три X квадрат минус четиринадесет X минус пет е равно на нула. Да започнем с това, както е написано по-горе, гледайки ограничения, не по в нашия случай това е равно на 256. Имайте предвид, че полученото число е по-голямо от нула, следователно, трябва да получите отговор, състоящ се от две корени. Заместваме получения дискриминатор във формулата за намиране на корените. В резултат на това имаме: X е равно на пет и минус една трета.

Специални случаи в квадратични уравнения

Това са примери, в които някои стойности са нула (a, b или c), а вероятно и няколко.

Например, нека вземем следното уравнение, което е квадратно: два х в квадрата е равно на нула, тук виждаме, че b и c са нула. Нека се опитаме да го решим, защото разделяме двете части на уравнението на две, имаме: x²= 0. В резултат на това получаваме x = 0.

Друг случай от 16x²-9 = 0. Тук само b = 0. Решаваме уравнението, прехвърляме свободния коефициент от дясната страна: 16x²= 9, сега разделяме всяка част на шестнадесет: х²= девет шестнадесети. Тъй като имаме х в квадрата, коренът на 9/16 може да бъде отрицателен или положителен. Отговорът е написан, както следва: X е равен на плюс / минус три четвърти.

Вариант на отговора е възможен, тъй като коренното уравнение не го прави. Да разгледаме един пример: 5x²+80 = 0, тук b = 0. За да разрешите свободния срок, го хвърлете в дясната страна, след тези действия ще получите: 5x²= -80, сега разделете всяка част на пет части: х²= минус шестнадесет. Ако някое число е квадрат, тогава нямаме отрицателна стойност. Ето защо нашият отговор е: коренното уравнение не.

Разлагане на триномията

Задачата на квадратичните уравнения също може да звучи по друг начин: да разложи квадратната триномиална на множители. Това може да се направи, като се използва следната формула: a (x-x₁) (х-х₂). За тази цел, както и в друг вариант на задачата, е необходимо да се намери дискриминация.

Обърнете внимание на следния пример: 3x²-14x-5, разширете триномилата в мултипликаторите. Откриваме, че дискриминацията, използвайки формулата, която вече ни е известна, се получава равна на 256. Ние веднага отбелязваме, че 256 е по-голяма от нула, поради което уравнението ще има два корена. Ние ги намираме, както в предишния параграф, имаме: x = пет и минус една трета. Използваме формулата за разширяване на триномила в мултипликатори: 3 (x-5) (x + 1/3). Във втората група получихме равен знак, защото във формулата има знак минус, а коренът също е отрицателен, използвайки елементарните познания по математика, в сумата имаме знак плюс. За простота умножаваме първия и третия термин на уравнението, за да се отървем от фракцията: (x-5) (x + 1).

Уравнения, които намаляват до квадратен

В този параграф ще се научим да решаваме по-сложни уравнения. Нека да започнем с един пример:

(х² - 2x)² - 2 (х² - 2x) - 3 = 0. Можем да видим дублирани елементи: (x² - 2x), удобен за нас за решения, за да го замени с друг променлива, и след това да реши обикновената квадратно уравнение, само имайте предвид, че в тази задача ние получаваме четири корени, тя не трябва да ви плаши. Ние обозначаваме повторението на променливата a. Ние получаваме: a²-2а-3 = 0. Следващата ни стъпка е да открием дискриминатора на новото уравнение. Получаваме 16, откриваме два корена: минус един и три. Спомняме си, че направихме заместване, заместваме тези стойности, в крайна сметка имаме уравненията: x² - 2x = -1 - х² - 2x = 3. Решаваме ги в първия отговор: x е равно на едно, във второто: x е равно на минус едно и три. Пишем отговора, както следва: плюс / минус едно и три. Като правило отговорът е написан във възходящ ред.

Кубични уравнения

Да разгледаме още един възможен вариант. Ще обсъдим кубични уравнения. Те имат формата: брадва ³ + б х ² + cx + d = 0. Примери за уравнения, които ще разгледаме по-долу, но за начало малка теория. Те могат да имат три корена, тъй като има формула за намиране на дискриминация за кубично уравнение.

Помислете за пример: 3x³+4²+2x = 0. Как да го решим? За да направите това, просто поставете x в скоби: x (3x²+4х + 2) = 0. Всичко, което трябва да направим, е да изчислим корените на уравнението в скоби. Разграничителят на квадратичното уравнение в скоби е по-малък от нула, на тази основа изразът има корен: x = 0.

Алгебра. уравнение

Преминаваме към следващата форма. Сега разглеждаме накратко алгебричните уравнения. Една от задачите гласи следното: метод на групиране се разлагат на множители 3 пъти⁴+2³+8x²+2x + 5. Най-удобният начин е следното групиране: (3x⁴+3²) + (2x³+2x) + (5х²+5). Отбелязваме, че Sx² от първия израз ние представихме сумата от 3x² и 5х². Сега премахваме от всяка скоба общия фактор 3х²(х2 + 1) + 2х (х²+1) + 5 (х²+1). Виждаме, че имаме общ множител: x в квадрат и плюс един, ние го изваждаме от скоби: (x²+1) (3х²+2x + 5). По-нататъшното разлагане не е възможно, тъй като и двете уравнения имат негативен дискриминационен ефект.

Трансцендентални уравнения

Предлагаме да се справим със следния тип. Това са уравнения, които съдържат трансцендентални функции, а именно логаритмични, тригонометрични или експоненциални. Примери: 6sin²x + tgx-1 = 0, x + 5lgx = 3 и т.н. Как те са решени ще научите от курса на тригонометрията.

функция

Последната стъпка е да се разгледа понятието за функционално уравнение. За разлика от предишните версии, този тип не е решен и на него е изградена графика. За това уравнението е добре анализирано, за да се намерят всички необходими точки за конструкцията, да се изчислят минималните и максималните точки.