Как да намерите минималните и максималните точки на дадена функция: характеристики, методи и примери

Функцията и изучаването на нейните черти заемат една от ключовите глави в съвременната математика. Основният компонент на всяка функция са графики, които представят не само нейните свойства, но и параметрите на производната на тази функция. Нека разгледаме тази трудна тема. И така, как най-добре да намерите максималните и минималните точки на функцията?

Функция: Определение

Всяка променлива, която по някакъв начин зависи от стойностите на друго количество, може да се нарече функция. Например, функцията f (x²) е квадратичен и определя стойностите за целия комплект x. Да приемем, че x = 9, тогава стойността на нашата функция ще бъде 9²= 81.

Функциите могат да бъдат от всякакъв вид: логически, векторни, логаритмични, тригонометрични, цифрови и други. Те изучавали такива изключителни умове като Lacroix, Lagrange, Leibniz и Bernoulli. Техните творби служат като крепост в съвременните начини на изучаване на функциите. Преди да откриете минималните точки, е много важно да разберете самия смисъл на функцията и нейното производно.

Производството и неговата роля

Всички функции зависят от техните променливи, което означава, че те могат да променят стойността си по всяко време. На графиката тя ще бъде представена като крива, която след това се изпуска, после се издига по ордината (това е целият набор от числа "y" по вертикала на графиката). Така че определянето на точката на максимума и минимума на функцията е свързано само с тези "колебания". Ще обясним какво е това взаимоотношение.

Деривацията на всяка функция е изобразена на графиката, за да се изследват основните й характеристики и да се изчисли колко бързо се променя функцията (т.е. тя променя стойността си в зависимост от променливата "x"). Във време, когато функцията се увеличава, графиката на нейното производно също ще се увеличи, но във всяка секунда функцията може да започне да намалява и след това производствената графика ще намалее. Точките, на които дериватът преминава от знака минус към знака плюс, се наричат ​​минималните точки. За да знаете как да намерите минималните точки, трябва по-добре да разберете концепцията за деривата.

Как да изчислим деривата?

Определението и изчисляване на деривати функцията предполага няколко концепции от диференциално смятане. По принцип самата дефиниция на производното може да бъде изразена както следва: това е стойността, която показва скоростта на промяна на функцията.

Математическият начин да се определи това за много ученици изглежда сложен, но всъщност всичко е много по-лесно. Необходимо е само да се следва стандартния план за намиране на деривати на всяка функция. По-долу описваме как можете да намерите минималната точка на функция, без да прилагате правила за диференциация и без да изучавате производната таблица.

1. Изчислете производното на функцията като използвате графиката. За да направите това, трябва да представите самата функция, след това да вземете една точка върху нея (точка А на фиг.) Вертикално надолу начертайте линия към оста на абсцисата (точката x₀), а в точката А нарисувайте тангенс на графиката на функцията. При абсцисата и допирателната ос се образува ъгъл а. За да се изчисли стойността на бързото нарастване на функцията, е необходимо да се изчисли допирателната към този ъгъл a.
2. Оказва се, че допирателната на ъгъла между тангентата и посоката на оста х е производно на функция на малка площ с точка А. Този метод се счита геометричния метод за определяне на производно.

Методи за изследване на функцията

В училищната програма по математика е възможно да се намери минималната функция по два начина. Първият метод с помощта на графиката, който вече сме разглобявали, но как определяме числената стойност на деривата? За да направите това, трябва да научите няколко формули, които описват свойствата на деривата и да помогнете да конвертирате променливите тип "x" в числа. Следният метод е универсален, така че може да се приложи към почти всички видове функции (както геометрични, така и логаритмични).

1. Необходимо е да се приравни функцията с деривативната функция и след това да се опрости израза, като се използват правилата за диференциация.
2. В някои случаи, когато дадена функция, в която "Х" променливите разходи в знаменателя, трябва да определят границите на допустимите стойности, заличаване на точката на "0" (по простата причина, че в областта на математиката в никакъв случай не може да се раздели на нула).
3. След това е необходимо да се трансформира оригиналната форма на функцията в просто уравнение, превръщайки целия израз в нула. Например, ако функцията изглежда така: f (x) = 2x³+38x, тогава, от правилата на диференциацията, нейното производно е f `(x) = 3x²+1. След това преобразуваме този израз в уравнение от следната форма: 3x²+1 = 0.
4. След като решите уравнението и откриете точките "x", трябва да ги представите на абсцисата и да определите дали дериватът в тези секции между маркираните точки е положителен или отрицателен. След нотация става ясно в какъв момент функцията започва да намалява, т.е. тя променя знака от отрицателен към отрицателен. По този начин можете да намерите както минималните, така и максималните точки.

Правила за диференциация

Най-основният компонент в изследването на функция и нейното производно е познаването на правилата за диференциация. Само с тяхна помощ можете да конвертирате тромави изрази и големи сложни функции. Нека да се запознаем с тях, има много от тях, но те са много прости поради редовните свойства на силовите и логаритмичните функции.

1. Производното на всяка константа е равно на нула (f (x) = 0). Това е дериватът f (x) = x⁵+ х - 160 има формата: f `(x) = 5x⁴+1.
2. Производството на сумата от два термина: (f + w) `= f`w + fw`.
3. Производното на логаритмичната функция: (log_аd) `= d / ln a * d. Тази формула е приложима за всички видове логаритми.
4. Производно на степен: (х^п) `= n * x<sup>N-1</sup>. Например, (9x<sup>2</sup>) `= 9 * 2х = 18х.
5. Производството на синусоидалната функция: (sin a) `= cos a. Ако грехът на ъгъла a е 0.5, тогава неговият дериват е Radic-3/2.

Екстремни точки

Вече анализирахме как да намерим минималните точки, но има концепция за максималните точки на функцията. Ако минимумът посочва онези точки, при които функцията се променя от знак минус на знак "плюс", точките на максимума са онези точки на абсцисата, от които се променя деривата на функцията от плюс до отрицателно-минус.

Можете да намерите максималните точки според описания по-горе метод, но трябва да отбележите, че те обозначават онези части, върху които функцията започва да намалява, т.е. дериватът ще бъде по-малък от нула.

В математиката е общо да се обобщят и двете понятия, които да се заменят с фразата "екстремум точки". Когато се поиска от дадена задача да определи тези точки, това означава, че е необходимо да се изчисли деривата на дадена функция и да се намерят минималните и максималните точки.