В крайна сметка на функцията - на прост език за сложни

Да разбереш какво е extreum точки функция, не е необходимо да се знае за наличието на първото и второто производно и да се разбере тяхното физическо значение. Първо, трябва да разберете следното:

• екстремумите на функцията максимизират или, обратно, минимизират стойността на функцията в произволно малък квартал;
• в крайна точка не трябва да има прекъсване на функцията.

И сега същото, само на прост език. Погледнете върха на пръта на химикалката. Ако дръжката е поставена вертикално, писането завършва, тогава средата на топката ще бъде екстремумът - най-високата точка. В този случай говорим максимално. Сега, ако завъртите писалката с края на писането надолу, вече ще има минимална функция по средата на топката. Използвайки фигурата, дадена тук, можем да си представим изброените манипулации за молив. Така че, крайностите на една функция винаги са критични точки: нейните максимуми или минимуми. Съседната част на графиката може да бъде произволно остра или гладка, но тя трябва да съществува от двете страни, само в този случай точката е екстремум. Ако графиката присъства само от едната страна, това екстремум няма да се появи, дори ако екстумни условия са изпълнени от едната страна на нея. Сега изследваме екстремите на функцията от научна гледна точка. За да се счита една точка за крайна, е необходимо и достатъчно:

• първият дериват е нула или не съществува в точката;
• първият дериват промени своя знак в този момент.

Условия лекувани малко по-различен по отношение на производни на функция по-висок порядък, че е диференцируема в точката, е достатъчно да има производно нечетен ред, неравни на нула, въпреки факта, че всички производни на по-ниска за и трябва да има нула. Това е най-лесната интерпретация на теореми от учебници по-висока математика. Но за най-обикновените хора е полезно да обясним тази точка с пример. Като основа се прави обикновена парабола. Незабавно направете резервация, в нулевата точка има минимално. Много малко математика:

• първото производно (X²)^| = 2Х, за нулевата точка 2Х = 0;
• второто производно (2Х)^| = 2, за нулевата точка 2 = 2.

По този прост начин са илюстрирани условията, които определят крайността на функцията както за производни от първи ред, така и за производни от по-висок ред. Може да се добави, че второто производно е точно същото производно на нечетен ред, което не е равно на нула, което беше споменато по-горе. Що се отнася до екстремумите на функция на две променливи, условията трябва да бъдат изпълнени и за двата аргумента. Когато има обобщение, се използват частни деривати. Това означава, че е необходимо да имаме екстремум в точка, така че и двата производни от първи ред да са равни на нула, или поне една от тях да не съществува. За достатъчността на присъствието на екстремум се счита, че изразът е разликата в продукцията на производните от втора порядък и квадрата на смесеното производно от втората реда на функцията. Ако този израз е по-голям от нула, тогава се извършва екстремумът и ако има равенство до нула, тогава въпросът остава отворен и са необходими повече изследвания.