Непрекъсната функция

Непрекъснатата функция е функция без "скокове", т.е. една, за която условието е изпълнено: малки промени в аргумента са последвани от малки промени в съответните стойности на функцията. Графиката на такава функция е гладка или продължителна крива.

Продължителността в точка, която е границата за даден набор, може да се определи като се използва понятието за лимит, а именно: функцията трябва да има граница в тази точка, която е равна на нейната стойност в граничната точка.

Ако тези условия са нарушени в определена точка, кажете, че функцията на дадена точка страда от прекъсване, т.е. нейната приемственост е нарушена. На езика на границите точката на прекъсване може да се опише като несъответствие на стойността на функция в прекъсната точка с границата на функция (ако тя съществува).

Точката на прекъсване може да бъде премахната, затова е необходимо да има граница на функция, но не съвпада с нейната стойност в дадена точка. В този случай тя може да бъде "коригирана" на този етап, т.е. тя може да бъде разширена до приемственост.
Създава се съвсем различна картина, ако границата на функция в дадена точка не е така там. Има два възможни варианта на точките на прекъсване:

• от първия вид - и двете едностранни ограничения съществуват и са крайни, а стойността на една от тях или и на двете не съвпада със стойността на функцията в дадена точка;
• втори вид, когато едната или и двете едностранни ограничения не съществуват или техните ценности са безкрайни.

Свойства на непрекъснатите функции

• Функцията, получена в резултат на аритметичните операции, както и суперпозицията на непрекъснати функции в тяхната област на дефиниране, също е непрекъсната.
• Ако бъде дадена непрекъсната функция, която е позитивна в даден момент, тогава винаги е възможно да се намери достатъчно малък квартал, върху който да запази знака си.
• По същия начин, ако нейните стойности в две точки A и B са равни, съответно, a и b, с различна от b, тогава за междинните точки тя ще вземе всички стойности от интервала (a - b). Оттук можем да извлечем интересно заключение: ако дадем опъната гумена лента да се свие, така че да не се огъне (остава права), тогава една от нейните точки ще остане фиксирана. И геометрично това означава, че има права линия, преминаваща през всяка междинна точка между А и В, която пресича графиката на функцията.

Отбелязваме някои от непрекъснатите (в областта на тяхната дефиниция) елементарни функции:

• постоянен;
• рационално;
• тригонометрия.

Между двете основни понятия в математиката - непрекъснатост и диференциация - има неразривна връзка. Достатъчно е да си припомним, че за диференцируемостта на дадена функция е необходимо тя да бъде непрекъсната функция.

Ако функцията е диференцируема в даден момент, тогава тя е непрекъсната. Въпреки това, не е необходимо неговата производна да бъде непрекъсната.

Функция, която има непрекъснат дериват на определена група, принадлежи към отделен клас гладки функции. С други думи, това е непрекъснато диференцируема функция. Ако дериватът има ограничен брой точки на прекъсване (само от първия вид), тогава подобна функция се нарича частично гладка.

Друга важна концепция математически анализ е еднаква приемственост на функцията, т.е. нейната способност да бъде еднакво непрекъсната във всяка точка от нейната област на дефиниране. По този начин, тази собственост се счита за набор от точки, а не за никой отделно.

Ако определим точката, ние не получаваме нищо друго освен определението за приемственост, т.е. съществуването на еднакво непрекъснатост предполага, че имаме непрекъсната функция. Като цяло обратното не е вярно. Въпреки това, според теоремата на Кантор, ако една функция е непрекъсната върху компактума, т.е. в затворен интервал, тогава тя е равномерно непрекъсната върху нея.