Различията са какво? Как да намерите разликата на функция?

Заедно с производните на функциите, техните диференции са една от основните понятия диференциално смятане,

Произходът на понятието за диференциация

За първи път той обясни какъв е диференциалът, един от създателите (заедно с Исак Нютон) на диференциалното смятане, известния немски математик Готфрид Вилхелм Лейбниз. Преди този математик 17 чл. използва много неясна и бегла представа за някои безкрайно "неразделен" е известна функция, което представлява много малка постоянна величина, но не е равна на нула, по-долу кои стойности на функцията не може да бъде просто. Това беше само една стъпка преди въвеждането на понятието за безкрайни увеличения в аргументите на функциите и съответните нараствания на самите функции, изразени по отношение на производните на последните. Тази стъпка беше направена почти едновременно от двамата споменати велики учени.

Въз основа на необходимостта от решаване на спешни практически механика проблеми пред които са изправени наука бързо развиващата се индустрия и технологиите, Нютон и Лайбниц създава разпространените начини за намиране на функциите на степента на промяна (особено по отношение на механичното скоростта на тялото на известна траекторията), което доведе до въвеждането на тези понятия, като производно функцията и разлика, и също така, алгоритъм обратни проблемни разтвори като известен сам по себе си (променлив) скорости преминават да намерят пътя, който доведе до концепцията за неразделна Ala.

В писанията на Лайбниц и Нютон първо беше разбрано, че разликите са пропорционални на нарастването на аргументите Делта-х основни части от стъпките на функциите Делта-у, която може успешно да се приложи за изчисляване на стойностите на последната. С други думи, те откриват, че увеличаването на функция може да бъде изразено във всяка точка (в рамките на дефиницията) чрез своето производно като Делта-у = у `(х) Delta-x + алфа-Delta-x, където алфа- Делта-х е остатъкът, който има тенденция към нула, когато Delta-x → 0, много по-бързо от себе си Delta-х.

Според основателите на манализата, диференците са само първите термини в изразите за увеличаване на всякакви функции. Все още без ясно формулирана концепция за границата на последователностите, те интуитивно разбраха, че стойността на диференциала има тенденция към производното на функцията за Delta-x → 0 - Delta-y / Delta-x → y `(х).

За разлика от Нютон, който е бил преди всичко физик и математически апарат разглежда като помощен инструмент за изучаване на физически проблеми, Лайбниц обърне повече внимание на този инструментариум, включително система за визуални и разбираеми символи математически стойности. Именно той предложен стандартната нотация на разликите функция ди = Y `(х) DX, DX, и производното на функцията аргумент и връзката им у` (х) = Dy / DX.

Съвременна дефиниция

Каква е разликата по отношение на съвременната математика? Той е тясно свързан с понятието за нарастване на променливата. Ако променливата y има стойност y = y₁, и след това y = y₂, тогава разликата y₂ ─ y₁ се нарича увеличение на y. Инкрементът може да бъде положителен. отрицателен и равен на нула. Думата "increment" се обозначава с Делта, запис Делта-у (прочетено "делта игра") означава нарастване на y. така че Делта-у = у₂ ─ y₁.

Ако стойността Делта-у на произволна функция y = f (x) може да бъде представена като Делта-у = А Delta-x + алфа-, където А не зависи от Delta-x, т.е. A = const за даден x и summand алфа-на Delta-x → 0 има тенденция към това дори по-бързо от себе си Delta-x, тогава първият ("основен") термин, пропорционален на Delta-x и е разликата за y = f (x), означена с ddy или df (x) (прочетени "de-yerk", "de eff от x"). Следователно, диференциите са "основни" линейни по отношение на Делта-х компоненти на стъпките на функциите.

Механична интерпретация

Нека s = f (t) е разстоянието от линейно движещо се материална точка от първоначалната позиция (t е времето, прекарано в транзита). увеличаване Delta-s е пътят на точка в интервал от време Delta-t и диференциала ds = f `(t) Делта-т е пътят, по който една точка би преминала по едно и също време Delta-t, ако запази скоростта f `(t), достигната в момент t. С безкрайно малък Delta-t въображаем начин DS се различава от истината Delta-s до безкрайно малка стойност, имащи по-висок порядък спрямо Делта-тон. Ако скоростта в момента t не е нула, тогава ds дава приблизителна стойност на малката денивелация на точката.

Геометрична интерпретация

Нека линията L е графиката на y = f (x). след това Delta-x = MQ, Delta-y = QM "(вижте фигурата по-долу). Допирателната MN разделя сегмента Delta-y на две части, QN и NM ". Първият е пропорционален Delta-x и е равна на QN = MQ ∙ tg (ъгъл QMN) = Delta-x f `(x), т.е. QN е диференциалното dy.

Втората част е разликата Delta-y ─ dy, с Delta-x → 0 дължината на NM "намалява дори по-бързо от нарастването на аргумента, т.е. неговият ред на малка част е по-висок от този на Delta-х. В разглеждания случай за f `(x) ne- 0 (допирателната не е успоредна на ОХ) QM`i QN са еквивалентни сегменти с други думи NM "намалява бързо (ред на незначителност на нейната по-висока) от общото увеличение Delta-y = QM ". Това се вижда на фигурата (с подхода на M`kM, сегментът NM е все по-малък процент от сегмента QM).

По този начин графично разликата на произволна функция е равна на величината на нарастването на ордината на нейната допирателна.

Деривативни и диференциални

Коефициентът А в първия термин на израза за нарастването на функция е равен на своето производно f `(x). По този начин, следващото отношение е: dy = f (x) Delta-x или df (x) = f (x) Delta-x.

Известно е, че увеличението на независим аргумент е равно на неговата разлика Delta-x = dx. Съответно, можем да напишем: f `(x) dx = dy.

Намерението (понякога се казва, "решението") на диференциала се изпълнява от същите правила, както при дериватите. Списъкът с тях е даден по-долу.

Какво е по-универсално: нарастването на аргумента или неговата разлика

Тук е необходимо да направите някои обяснения. Представянето f `(x) на Delta-x диференциала е възможно, когато x се счита за аргумент. Но функцията може да бъде сложна, в която х може да бъде функция на някакъв аргумент t. Тогава, като правило, представянето на диференциала с изразът f `(x) Delta-x е невъзможно, с изключение на случая на линейната зависимост x = at + b.

Що се отнася до формулата f `(x) dx = dy, тогава в случай на независим аргумент x (тогава dx = Delta-x), а в случай на параметричната зависимост на x на t, то представлява разлика.

Например, изразът 2 x Делта-х представлява за y = х² неговата разлика, когато х е аргумент. Сега установяваме x = t² и помислете за аргумент. След това y = x² = t⁴.

След това следва (t + Delta-t)² = t² + 2tDelta-t + Делта-т². Оттук Delta-x = 2tDelta-t + Делта-т². Следователно: 2xDelta-x = 2t² (2tDelta-t + Делта-т² ).

Този израз не е пропорционален Delta-t и така сега 2xDelta-x не е диференциал. Може да се намери от уравнението y = x² = t⁴. Оказва се, че е dy = 4t³Делта-тон.

Ако вземем израза 2xdx, тогава тя представлява разликата y = x² за всеки аргумент t. Всъщност, за x = t² получаваме dx = 2tDelta-t.

Оттук 2xdx = 2t²2tDelta-t = 4т³Делта-т, т.е. изразите за разликите, написани чрез две различни променливи, съвпадат.

Подмяната се увеличава с диференциали

Ако f `(x) ne-0, тогава Delta-y и dy са еквивалентни (за Delta-x → 0) - за f `(x) = 0 (което означава dy = 0), те не са еквивалентни.

Например, ако y = x², на Делта-у = (х + Delta-х)² ─ х²= 2xDelta-x + Delta-х², и dy = 2xDelta-x. Ако x = 3, тогава имаме Делта-у = 6 Delta-x + Delta-х² и dy = 6Delta-x, които са еквивалентни поради Delta-х²→ 0, за х = 0, количествата Delta-y = Delta-х² и dy = 0 не са еквивалентни.

Този факт, заедно с простата структура на диференциала (т.е. линейно по отношение на Delta-x) често се използва при приблизителни изчисления, като се приеме, че Delta-у asymp-dy за малки Delta-х. Намирането на диференциала на функция обикновено е по-лесно от изчисляването на точната стойност на нарастването.

Например, имаме метален куб с ръб х = 10.00 см. Когато се нагрява, ръбът се удължава с Делта-х = 0.001 см. Колко е увеличен обемът V на куба? Имаме v = x², така че dV = 3x²Делта-х = 3,10²∙ 0/01 = 3 (cm³). Увеличаване на обема Делта-V е еквивалентно на диференциалното dV, така че Делта-V = 3 cm³. Пълно изчисление ще даде Delta-V = 10.01³ ─ 10³ = 3.003001. Но в този резултат всички числа освен първите ненадеждни средства, така или иначе, трябва да го закръгнете на 3 см³.

Очевидно е, че такъв подход е полезен само ако е възможно да се оцени величината на въведената грешка.

Диференциална функция: примери

Нека се опитаме да намерим разликата от функцията y = x³, не намиране на деривати. Нека да дадем на аргумента увеличение и да определим Delta-у.

Delta-y = ( Delta-x + x)³ ─ х³ = 3х²Delta-x + (3xDelta-x² + Delta-х³).

Тук коефициентът A = 3x² не зависи от това Delta-x, така че първият мандат е пропорционален на Delta-x, друг член на 3xDelta-x² + Delta-х³при Делта-х → 0 намалява по-бързо от нарастването на аргумента. Следователно терминът 3х²Delta-x е разликата y = x^3:

dy = 3х²Делта-х = 3х²dx или d (х³) = 3х²DX.

Освен това, d (x³) / dx =3x².

Сега намираме dy на функцията y = 1 / x по отношение на нейното производно. След това d (1 / x) / dx = ─ 1 / x². Ето защо dy = ─ Delta-x / x².

Диференците на основните алгебрични функции са дадени по-долу.

Приблизителни изчисления с помощта на диференциала

Често не е трудно да се изчисли функцията f (x), както и нейното производно f `(x) за x = a, но не е лесно да се направи същото нещо в съседство с точката x = a. След това приближава приблизителния израз към спасяването

f (a + Delta-х) asymp-f `(а) Delta-x + f (а).

Тя дава приблизителна стойност на функцията при малки стъпки Delta-x чрез неговия диференциал f `(a) Delta-x.

Следователно, тази формула дава приблизителен израз на функцията в крайната точка на част от дължината Delta-x като сума от стойността му в началната точка на тази секция (x = a) и разликата при една и съща начална точка. Грешката по този начин за определяне на стойността на функцията е илюстрирана на фигурата по-долу.

Въпреки това, точен израз за стойността на функцията за x = a + Delta-x, даден от формулата на крайните стъпки (или, с други думи, с формулата Lagrange)

f (a + Delta-х) asymp-f `(xi) Делта-х + f (а),

където точката x = a + xi е на сегмента от x = a до x = a + Delta-x, въпреки че точната му позиция не е известна. Точната формула позволява да се изчисли грешката на приблизителната формула. Ако във формулата на Lagrange поставихме xi = Delta-x / 2, след това, въпреки че престава да бъде точен, той обикновено дава много по-добро сближаване, отколкото оригиналния израз чрез диференциала.

Оценяване на грешката при формули, използващи разликата

Измервателни инструменти по принцип, неточни и въвеждат в измервателните данни съответните грешки. Те се характеризират с ограничаване абсолютна грешка, или, накратко, граничната грешка - положително число, което определено надвишава тази грешка в абсолютна стойност (или в екстремни случаи, равна на нея). Последният относителна грешка наречен коефициент на разделянето му с абсолютната стойност на измерената стойност.

Да се ​​използва точната формула y = f (x) за изчисляване на функцията y, но стойността на x е резултат от измерването и следователно въвежда грешка в y. След това, за да открием ограничената абсолютна грешка на │ zwnj-zwnj-Delta-функцията y, използваме формулата

│ ънджи-зуан-Делта-у│симпам-│ззнз-зуан-дю│ = │ f `(х) ││ Делта-х│,

където │ Delta-x е граничната грешка на аргумента. Стойността на │zwnj-zwnj-Delta-y трябва да бъде закръглена нагоре, защото е неточно да се замени изчислението на нарастването чрез изчисляване на разликата.