Основи на математическия анализ. Как да намерим дериватите?

Производството на някаква функция f (x) в определена точка x0 е границата на съотношението на нарастването на функция към нарастването на аргумент, при условие, че x следва 0 и границата съществува. Дериватът обикновено се обозначава с главни букви, понякога с точка или чрез разлика. Често рекордът, изчертан през границата, е подвеждащ, тъй като такова представяне се използва изключително рядко.

Функция, която има производно в определена точка x0 се казва, че е диференцируема в такава точка. Да предположим, че D1 е множеството от точки, при които f е диференцирано. Чрез подравняване на всеки номер на номера x, принадлежащи на D frsquo- (x), получаваме функция с домейна на нотация D1. Тази функция е производната на y = f (x). Обозначава се като: frsquo- (x).

В допълнение, производното е широко използвано във физиката и инженерството. Нека разгледаме най-простия пример. Точката на материала се движи директно по координатната ос, в коя е дадена законите на движение, т.е. координата x на тази точка е познатата функция x (t). По време на интервал от време между t0 до t0 + т е равно на преместването на точката X (t0 + т) -Х (t0) = х, и средната скорост V (т), равна на х / т.

Понякога характерът на движението е представен по такъв начин, че за малки интервали от време средната скорост не се променя, което означава, че движението се счита за по-еднообразно с по-голяма точност. или средната стойност на скоростта, ако t0 следва до абсолютна точна стойност, която се нарича моментна скорост v (t0) на тази точка в конкретен момент от време t0. Смята се, че моментната скорост V (Т) е известен за всеки диференциран функция х (т), при което V (т), е равен xrsquo- (т). Просто казано, скоростта е дериват на координатите на времето.

Моментната скорост има както положителни, така и отрицателни стойности, както и стойност 0. Ако тя е положителна за някакъв времеви интервал (t1-t2), тогава точката се движи в същата посока, т.е. координата x (t) се увеличава с времето, и ако v (t) е отрицателен, тогава координатът x (t) намалява.

В по-сложни случаи точката се движи в равнина или в космоса. Тогава скоростта е векторно количество и определя всяка от координатите на вектора v (t).

По същия начин може да се сравни с ускорението на движението на дадена точка. Скоростта е функция на времето, т.е. v = v (t). И производната на такава функция е ускоряването на движението: a = vrsquo- (t). Тоест, се оказва, че производната на скоростта по отношение на времето е ускорение.

Да предположим, че y = f (x) е някаква диференцирана функция. Тогава можем да разгледаме движението на материалната точка координатна линия, което се случва зад закона x = f (t). Механичното съдържание на производната дава възможност за представяне на визуална интерпретация на теоремите диференциално смятане.

Как да намерим дериватите? Намиране на дериватите на функция се нарича неговата диференциация.

Ще дадем примери за това как да намерим получената функция:

Производството на постоянна функция е нула, производното на функцията y = x е равно на едно.

И как да намерите получената фракция? За да направите това, помислете за следния материал:

За всяко x0<> 0 имаме

y / x = -1 / x0 * (х + х)

Има няколко правила за намиране на деривати. А именно:

Ако функциите А и Б са диференцирани в точката x0, тогава тяхната сума се диференцира в точката: (A + B) rsquo- = Arsquo- + Brsquo-. Просто казано, производната на сумата е равна на сумата от дериватите. Ако функцията е диференцирана в даден момент, тогава нейната стъпка става нула, когато увеличението на аргумента е нула.

Ако функциите А и В диференцирани на x0, след техния продукт се различава в точка: (А * В) rsquo- = Arsquo-B + ABrsquo-. (Стойностите на функциите и техните производни се изчисляват в точка x0). Ако функция (х) се различава в точка x0 и С - постоянен, след това функция CA се различава в този момент и (Калифорния) rsquo- = CArsquo-. Това означава, че такъв постоянен фактор се приема като знак на производното.

Ако функции А и В са диференцирано точка x0 и функция B не е равно на нула, тогава съотношението им също е различна на: (A / B) rsquo - = (Arsquo-B-ABrsquo -) / B * Б.