Точки на екстремум на функция. Как да намерите екстремни точки. Сума от екстремни точки

Важна функция в математиката е функцията. С негова помощ можете да визуализирате много процеси, които се случват в природата, да отразявате чрез формулите, таблиците и изображенията в графиката връзката между определени стойности. Пример за това е зависимостта на налягането на течния слой върху тялото върху дълбочината на потапяне, ускорението - от действието върху обекта на определена сила, повишаването на температурата - от предаваната енергия и много други процеси. Изучаването на функцията предполага изграждането на графика, изясняването на нейните свойства, домейнът на дефиницията и стойностите, интервалите на нарастване и намаляване. Важен момент в този процес е намирането на екстремни точки. За това как да го направим правилно и ще продължим разговор.

От самата концепция за конкретен пример

В медицината, начертаването на функцията може да разкаже за прогреса на заболяването в тялото на пациента, визуално отразяващо състоянието му. Да предположим, че времевата ос е изобразена по оста OX и температурата на човешкото тяло по оста OY. Фигурата ясно показва как този показател рязко нараства и след това пада. Също така не е трудно да забележите отделни точки, които отразяват моментите, когато функцията, започва да се увеличава, започва да намалява и обратно. Това са екстремни точки, т.е. критични стойности (максимални и минимални) в този случай на температурата на пациента, след което настъпват промени в неговото състояние.

Ъгъл на наклона

От фигурата е лесно да се определи как се променя производната на функцията. Ако правилните линии на графиката се покачат в течение на времето, тогава това е положително. И колкото по-стръмни са те, толкова по-важна е производната, тъй като ъгълът на наклона се увеличава. В периоди на понижаване тази стойност приема отрицателни стойности, превръщайки се в нула в екстремните точки, а производният график в последния случай се изготвя успоредно на оста OX.

Всеки друг процес трябва да бъде третиран по подобен начин. Но най-добрият начин да се отнесе към тази концепция е да се каже движението на различни тела, графично показани на графиките.

движение

Да предположим, че определен обект се движи по права линия, равномерно събиране на скорост. През този период промяната в координатите на тялото графично представлява определена крива, която математикът би нарекъл клона на парабола. В този случай функцията непрекъснато се увеличава, тъй като координатите на координатите се променят с всяка секунда все повече и по-бързо. Графиката на скоростта показва поведението на дериватите, чиято стойност също се увеличава. Така че движението няма критични точки.

Тя ще продължи неограничено. Но ако тялото внезапно реши да спира, спре и започва да се движи в обратната посока? В този случай координатите ще започнат да намаляват. И функцията ще премине критична стойност и от увеличаване ще се превърне в намаляване.

Отново с този пример може да се разбере, че екстремумните точки на графиката на функцията се появяват понякога, когато престава да бъде монотонен.

Физическото значение на деривата

Описаното по-рано ясно показва, че дериватът по същество е промяната на функцията. В тази спецификация и нейното физическо значение е завършено. Екстремните точки са критичните области на графиката. Те могат да бъдат открити и открити чрез изчисляване на стойността на деривата, която се оказва нула.

Има още един знак, който е достатъчно условие за екстремума. Дериватът на такива места на наклона променя знака си: от "+" до ";" в областта на максимума и от ";" до "+" в района на минимума.

Предложение под влиянието на гравитацията

Нека си представим още една ситуация. Децата, играещи топката, го хвърлиха по такъв начин, че започна да се движи под ъгъл към хоризонта. В началния момент скоростта на този обект е най-голяма, но при действието на гравитацията започва да намалява, като всяка секунда на същата стойност е равна на приблизително 9,8 m / s². Това е стойността на ускорението, породено от влиянието на земната гравитация при свободно падане. На Луната щеше да е около шест пъти по-малка.

Графиката, описваща движението на тялото, представлява парабола с клони, насочени надолу. Как да намерите екстремум точки? В този случай това е върхът на функцията, където скоростта на тялото (топката) има нулева стойност. Производството на функцията става нула. В този случай посоката и следователно скоростта се обръща. Тялото лети всеки секунда по-бързо и ускорява със същото количество - 9,8 м / сек².

Второто производно

В предишния случай графиката на модула за скорост е изчертана като права линия. Тази линия първо се насочва надолу, тъй като стойността на това количество непрекъснато намалява. След като достигнат нула в един от моментните времена, индикаторите с такава величина започват да се увеличават и посоката на графичния образ на модула за скорост се променя радикално. Сега линията е насочена нагоре.

Скоростта, която е производна на времевата координация, също има критична точка. В този регион функцията, първоначално намаляваща, започва да се увеличава. Това е точката на екстремума на производното на функцията. В този случай ъгълът на наклона на допирателната става нулева. А ускорението, като второто производно на координатите на времето, променя знака си от ";" на "+". И движението от еднакво бавно става еднообразно ускорено.

Графика на ускорението

Сега помислете за четири цифри. На всеки от тях се показва графика на промяната във времето на физическа величина, като например ускорение. В случай на "А" стойността му остава положителна и постоянна. Това означава, че скоростта на тялото, подобно на координатите му, непрекъснато се увеличава. Ако си представим, че обектът ще се движи по този начин за безкрайно дълго време, функцията, която отразява зависимостта на координатите навреме, ще се окаже непрекъснато нарастваща. От това следва, че няма критични региони. Установените екстремуми върху сюжета на производното, т.е. линейно променящата се скорост, също отсъстват.

Същото се отнася и за случая с "Б" с положително и постоянно увеличаващо се ускорение. Вярно е, че графиките за координатите и скоростта тук ще бъдат малко по-сложни.

Когато ускорението има тенденция към нула

Имайки предвид чертежа "В", можете да наблюдавате една много различна картина, характеризираща движението на тялото. Скоростта му ще бъде графично представена от парабола с клони, насочени надолу. Ако продължим линията, описваща промяната в ускорението до нейното пресичане с оста OX и освен това може да се предположи, че преди тази критична стойност, където ускорението се окаже нулева, скоростта на обекта ще се увеличи по-бавно. Екстремалната точка на производното на координатната функция е точно на върха на парабола, след което тялото ще промени радикално характера на движението и ще започне да се движи в другата посока.

В последния случай, "G", естеството на движението не може да бъде точно определено. Тук е известно само, че за определен период няма ускорение. Така че обектът може да остане на място или движението да се извършва с постоянна скорост.

Задачата за добавяне на координати

Нека да преминем към задачите, които често се срещат в изучаването на алгебра в училище и се предлагат за подготовка за USE. Фигурата по-долу показва функционалната графика. Необходимо е да се изчисли сумата от екстремните точки.

Правим това за координатната ос, определяйки координатите на критичните региони, където се наблюдава промяна в характеристиките на функцията. Просто казано, ние намираме стойностите по оста OX за инфлекторни точки и след това продължаваме да добавяме получените термини. От графиката е очевидно, че те приемат следните стойности: -8- -7- -5- -3- -2- 1- 3. Като цяло това е -21, което е отговорът.

Оптимално решение

Не е необходимо да се обяснява колко е важно в изпълнението на практически задачи да се избере оптималното решение. В края на краищата има много начини да се постигне целта и най-добрият изход, по правило, е само едно. Това е изключително необходимо, например при проектирането на кораби, космически кораби и самолети, архитектурни структури за намиране на оптимална форма на тези изкуствени предмети.

Скоростта на превозните средства до голяма степен зависи от компетентното минимизиране на съпротивлението, което преживяват при преминаване през вода и въздух, от претоварвания, възникващи при действието на гравитационни сили и много други показатели. Корабът в морето се нуждае от такива качества като стабилност по време на буря, минимален газене е важно за речен кораб. При изчисляване на оптималния дизайн екстремните точки на графиката ясно дават представа за най-доброто решение на сложен проблем. Задачите на такъв план често се решават в икономиката, в икономическите области, в различни други житейски ситуации.

От древна история

Проблемите за екстремума завладяха дори древните мъдреци. Гръцките учени успешно разкриха тайната на областите и томовете чрез математически изчисления. Те бяха първите, които разбраха, че в равнината на различни фигури със същия периметър, най-голямата площ винаги има кръг. По подобен начин топката е снабдена с максимален обем между останалите обекти в пространство със същия размер на повърхността. Такива изключителни личности като Архимед, Евклид, Аристотел, Аполониус са се посветили на решаването на такива проблеми. Да намерим екстремумните точки беше напълно възможно за Херана, който, прибягвайки до изчисления, изграждаше лукави устройства. Те включват автоматични машини, движещи се през пара, работещи на същите принципни помпи и турбини.

Изграждане на Картаген

Има легенда, чийто сюжет е изграден върху решаването на един от крайните проблеми. Резултатът от бизнес подхода, демонстриран от финикийската принцеса, който кандидатствал за помощ на мъдреците, бил сградата на Картаген. Земята на този древен и знаменит град беше представена от лидера на един от африканските племена Дидон (името на владетеля). Отначало площта на разпределението не му се струваше много голяма, тъй като по договора тя трябваше да бъде покрита с кокошка. Но принцесата заповядала на войниците да я изрежат на тънки ивици и да извадят колан от тях. Оказа се, че е толкова дълго, че обхваща място, където се вписва цял град.

Произходът на математическия анализ

И сега ще се преместим от древността до по-късна ера. Интересно е, че разбирането на основите на математическия анализ подтикна Кеплер през 17 век да се срещне с продавача на вино. Търговецът беше толкова добре запознат с професията си, че лесно можеше да определи обема на напитката в бъчвата, като просто пусна железен турникет там. Отразявайки се от такова любопитство, известният учен успя да реши за себе си тази дилема. Оказва се, че умелите бокали от тези времена са могли да направят съдовете по такъв начин, че на определена височина и радиус на пръстена на закрепващите пръстени да имат максимален капацитет.

Това за Кеплер стана повод за по-нататъшно разсъждение. Бохари стигна до оптимално решение чрез метода на дълго търсене, грешки и нови опити, предавайки своя опит от поколение на поколение. Но Кеплер искаше да ускори процеса и да се научи да прави същото в кратък период от математически изчисления. Всички негови разработки, повдигнати от колегите, се превръщат в сега известните теореми на Ферма и Нютон-Лайбниц.

Задачата за намиране на максималната площ

Представете си, че имаме тел, чиято дължина е 50 см. Как да направите от него правоъгълник с най-голяма площ?

Започвайки решението, трябва да изхождаме от прости и известни на всякакви истини. Ясно е, че периметърът на нашата фигура ще бъде 50 см. Също така се състои от двойни дължини и от двете страни. Това означава, че след като сте посочили един от тях за "X", другият може да бъде изразен като (25 - X).

Оттук получаваме площ, равна на X (25 - X). Този израз може да бъде представен като функция, която отнема набор от стойности. Решаването на проблема изисква намирането на най-много от тях и следователно е необходимо да се намерят екстремумните точки.

За да направим това, откриваме първия дериват и го равняваме на нула. Резултатът е просто уравнение: 25 - 2X = 0.

От него научаваме, че една от партиите X = 12.5.

Следователно, друг: 25 - 12,5 = 12,5.

Оказва се, че решението на проблема ще бъде квадрат със страна от 12,5 см.

Как да намерите максималната скорост

Да разгледаме още един пример. Нека си представим, че съществува тяло, чието праволинейно движение е описано от уравнението S = -t³ + 9т² - 24т - 8, където изминатото разстояние е изразено в метри и времето в секунди. Необходимо е да се намери максималната скорост. Как да направите това? Изтеглени намерите скоростта, т.е. първата производна.

Получаваме уравнението: V = - 3t² + 18т - 24. Сега, за да решим проблема, отново трябва да намерим екстремумните точки. Това трябва да се направи по същия начин, както в предишния проблем. Откриваме първото производно на скоростта и я равняваме на нула.

Получаваме: - 6t + 18 = 0. Следователно t = 3s. Това е времето, когато скоростта на тялото придобива критична стойност. Заместваме получените данни в уравнението на скоростта и получаваме: V = 3 m / s.

Но как да разберем, че това е максималната скорост, защото критичните точки на функцията могат да бъдат най-големите или най-малките стойности на функцията? За да проверите, е необходимо да откриете второто производно на скоростта. То се изразява с числото 6 с знак минус. Това означава, че намерената точка е максималната. И в случай на положителна стойност, второто производно би било минимално. Следователно намереното решение е вярно.

Дадените примери са само част от тези, които могат да бъдат решени, като се знае как да се намерят екстремумните точки на дадена функция. Всъщност има много повече. И такова познание отваря неограничени възможности за човешката цивилизация.