Какви са нулите на дадена функция и как да я дефинирате?

Какви са нули на функция? Отговорът е доста прост - това е математическо понятие, с което се има предвид домейнът на определението за дадена функция, на който нейната стойност е нула. Заявени са и нули на функция корените на уравнението.

примери

Помислете за простото уравнение y = x + 3. Тъй като нулата на функция е стойността на аргумента, при който y е придобила нулева стойност, заместете 0 с лявата страна на уравнението:

0 = х + 3;

х = -3.

В този случай -3 е желаната нула. За тази функция има само един корен на уравнението, но това не винаги е така.

Да разгледаме друг пример:

y = х²-9.

Заместим 0 в лявата част на уравнението, както в предишния пример:

0 = х²-9;

-9 = х² .

Очевидно в този случай нулите на функцията ще бъдат две: x = 3 и x = -3. Ако имаше аргумент от третата степен в уравнението, щеше да има три нули. Може да се направи едно просто заключение, че броят на корените на полинома съответства на максималната степен на уравнението в уравнението. Въпреки това, много функции, например y = x³ , на пръв поглед противоречи на това твърдение. Логиката и здравият разум показват, че тази функция има само една нула в точката x = 0. Но всъщност има три корена, всички съвпадат. Ако уравнението се решава в сложна форма, това става очевидно. x = 0 в този случай коренът, чиято мностота е 3. В предишния пример нулите не съвпадат, затова те имат множество 1.

Алгоритъмът за определяне

От представените примери можете да видите как да определите нули на функция. Алгоритъмът винаги е един и същ:

1. Напишете функция.
2. Заместител y или f (x) = 0.
3. Решете съответното уравнение.

Сложността на последния елемент зависи от степента на аргумента на уравнението. При решаването на високи степени уравнения е особено важно да се помни, че броят на корените на уравнението е равен на максималната мощност на аргумента. Това е особено вярно за тригонометричните уравнения, при които разделянето на двете части на синусите или косинусите води до загуба на корени.

Уравнения от произволна степен се решават най-лесно чрез метода на Горнър, който е разработен специално за намиране на нули на произволен полином.

Стойността на нулите на функциите може да бъде отрицателна или положителна, реална или лежи в сложната равнина, единична или множествена. Или корените на уравнението може да не са. Например, функцията y = 8 няма да получи нулева стойност за всяко x, защото не зависи от тази променлива.

Уравнението y = x²-16 има два корена, и двамата лежат в сложната равнина: x₁= 4i, х₂= -4і.

Често срещани грешки

Честа грешка, направена от ученици, които все още не са разбрали напълно какви са нулите на функция, е замяната на аргумента (x) с нула, а не стойността (y) на функцията. Те със сигурност са заместени в уравнението x = 0 и въз основа на това y се намира. Но това е грешен подход.

Другата грешка, както вече беше споменато, е свиването на синусите или косинусите в тригонометричното уравнение, поради което се губят една или повече нули от функцията. Това не означава, че нищо не може да бъде намалено в такива уравнения, просто с по-нататъшни изчисления е необходимо да се вземат предвид тези "изгубени" фактори.

Графично представяне

За да разберете какви са нулите на дадена функция, можете да използвате математически програми като Maple. В него можете да начертаете графика, като посочите желания брой точки и желаната скала. Точките, при които графиката пресича ос ОХ, са желаните нули. Това е един от най-бързите начини за намиране на корените на полином, особено ако неговият ред е по-висок от третия. Така че, ако има нужда редовно да се правят математически изчисления, да се открият корени на полиноми на произволни степени, да се изграждат графики, Maple или подобна програма просто ще бъде задължителна за изпълнението и проверката на изчисленията.