Уравнение на самолета: как да се състави? Видове равнинни уравнения

В космоса една равнина може да бъде дефинирана по различни начини (една точка и вектор, две точки и вектор, три точки и т.н.). С това се има предвид, че уравнението на равнината може да има различни типове. Също така, ако са изпълнени определени условия, самолетите могат да бъдат успоредни, перпендикулярни, пресичащи се и т.н. За това и говорете в тази статия. Ще се научим как да направим общо уравнение на самолета, а не само.

Нормалната форма на уравнението

Да предположим, че има място R₃, който има правоъгълна координатна система XYZ. Задайте вектора алфа-, която ще бъде освободена от началната точка О. Чрез края на вектора Нека изчертаем равнината П, която ще бъде перпендикулярна на нея.

Ние обозначаваме с Π произволна точка Q = (x, y, z). Подписваме вектора на радиуса на точката Q с буквата p. Дължината на вектора алфа- е равно на р = Ialpha-I и Ʋ = (cosalpha-, cosbeta-, cosgamma-).

Това е единичен вектор, насочен към страната, като вектора алфа. алфа-, бета- и гама - са ъглите, които се образуват между вектора Ʋ и положителните посоки на осите на пространството x, y, z, съответно. Проектирането на някаква точка QεP върху вектора Ʋ е константа, която е равна на p: (p, Ʋ) = p (pge-0).

Това уравнение има смисъл, когато p = 0. Единственият равнина Р, в този случай, ще премине точка O (алфа- = 0), която е произход, и единичен вектор Ʋ, освободен от точка O ще бъде перпендикулярна P, въпреки своята посока, което означава, че векторът се определя Ʋ до знак. Предишното уравнение е уравнението на нашата равнина II, изразено във векторна форма. Но в координатите на неговия външен вид по този начин:

P е по-голямо или равно на 0. Установихме уравнението на равнина в пространството в нормалната форма.

Общото уравнение

Ако уравнението в координатите се умножи по число, което не е равно на нула, получаваме уравнение, еквивалентно на дадено, което определя същата равнина. Тя ще изглежда така:

Тук A, B, C са числа, които са едновременно nonzero. Това уравнение се нарича уравнение на равнина с обща форма.

Уравнения на самолети. Специални случаи

Уравнението в обща форма може да бъде променено при наличие на допълнителни условия. Нека разгледаме някои от тях.

Да предположим, че коефициентът А е 0. Това означава, че дадена равнина е успоредна на дадената ос Ox. В този случай формата на уравнението ще се промени: Boo + Cz + D = 0.

По подобен начин формата на уравнението ще се промени при следните условия:

• Първо, ако B = 0, тогава уравнението ще се промени на Ax + Cz + D = 0, което ще бъде доказателство за паралелизъм към оста Oy.
• На второ място, ако C = 0, тогава уравнението се трансформира в Ax + Boo + D = 0, което ще говори за паралелизъм към дадена ос Oz.
• Трето, ако D = 0, уравнението ще изглежда като Ax + Boo + Cz = 0, което означава, че равнината пресича O (произхода).
• Четвърто, ако A = B = 0, тогава уравнението ще се промени на Cz + D = 0, което ще се окаже паралелно на Oxy.
• Пето, ако B = C = 0, тогава уравнението става Ax + D = 0, което означава, че равнината към Oyz е успоредна.
• Шесто, ако A = C = 0, тогава уравнението ще приеме формата Boo + D = 0, т.е. ще докладва успоредно на Oxz.

Тип уравнение в сегменти

В случай, когато числата A, B, C, D са различни от нула, формата на уравнение (0) може да бъде както следва:

x / a + y / b + z / c = 1,

в която а = -D / A, b = -D / B, c = -D / C

В резултат на това получаваме уравнението на равнината в сегментите. Трябва да се отбележи, че тази равнина ще се пресича на осите на Окс в точката с координати (a, 0,0), Oy - (0, b, 0) и Oz - (0,0, c).

Като се има предвид уравнението x / a + y / b + z / c = 1, не е трудно визуално да се визуализира разположението на равнината по отношение на дадена координатна система.

Координати на нормалния вектор

Нормалният вектор n към равнината П има координати, които са коефициентите на общото уравнение на дадена равнина, т.е. n (A, B, C).

За да се определят координатите на нормалната п, е достатъчно да се знае общото уравнение на дадена равнина.

При използване на уравнението на сегменти, която има форма х / а + г / б + Z / с = 1, като при използване на обща формула могат да бъдат написани координати на всеки нормален вектор дадена равнина: (1 / а + 1 / б + 1 / в).

Струва си да се отбележи, че нормалният вектор помага за решаването на различни задачи. Най-често срещаните проблеми включват проблема с доказването на перпендикулярността или успоредността на равнините, проблема с намирането на ъгли между равнините или ъглите между равнините и линиите.

Формата на уравнението на равнината според координатите на точката и нормалния вектор

Ненороден вектор n, перпендикулярен на дадена равнина, се нарича нормално (нормално) за дадена равнина.

Да предположим, че в координатната област (правоъгълна координатна система) Oxyz са дадени:

• Точка Mₒ с координати (xₒ, yₒ, zₒ);
• нулевият вектор е n = A * i + B * j + C * k.

Необходимо е да се състави уравнението на равнината, която ще премине през точката Mₒ, перпендикулярна на нормалната n.

В пространството избираме произволна точка и я обозначаваме с M (xy, z). Нека радиус вектор от всяка точка М (х, у, Z) ще бъде г = х * I + у * й + Z * к и радиус вектор от точка Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * I + uₒ * j + z * k. Точката M ще принадлежи към дадена равнина, ако векторът MₒM е перпендикулярен на вектора n. Нека запишем условието за ортогоналност чрез скаларния продукт:

[MₒM, n] = 0.

Тъй като MₒM = r-rₒ, векторното уравнение на равнината ще изглежда така:

[r - r, n] = 0.

Това уравнение може да има друга форма. За тази цел използваме свойствата на скаларния продукт и се преобразува лявата страна на уравнението. [r - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Ако [rₒ, п] обозначена като S, ние получаваме следното уравнение: [R, п] - а = 0 или [R, п] = S, която експресира постоянството на проекциите на нормалното вектор от радиус-вектора на дадените точки, които принадлежат равнина.

Сега може да се координатната запис тип равнина нашия вектор уравнение [R - rₒ, п] = 0. Тъй като R-rₒ = (х-hₒ) * I + (у-uₒ) * J + (Z-zₒ) * к, и n = A * i + B * j + C * k, имаме:

Оказва се, че имаме уравнението на равнина, преминаваща през точка, перпендикулярна на нормалната n:

A * (x - xₒ) + B * (y - y ₒ) C * (z - zₒ) = 0.

Формата на равнинното уравнение според координатите на две точки и вектор - колиннеарната равнина

Определяме две произволни точки M `(x`, y `, z`) и M "(x", y ", z"), както и вектора a (a `, a`, a).

Сега можем да съставим уравнението на дадена равнина, която ще премине през наличните точки М `и М ", а също и всяка точка М с координатите (x, y, z) успоредни на дадения вектор а.

Така M`M вектори {х-X`-у-Y`-Z-Z `}, и М` = {х М `Y - з "-u`-Z" -Z`} трябва да бъде в една равнина с вектора a = (a `, a ", a) и това означава, че (M`M, M" M, a) = 0.

Така че, нашето уравнение на равнина в космоса ще изглежда така:

Формата на уравнението на равнина, пресичаща три точки

Да кажем, че имаме три точки: (х `, Y`, Z `), (х`, Y `, Z`), (х ‴ Have ‴, Z ‴), които не принадлежат към една и съща линия. Необходимо е да напишете уравнението на равнината, минаваща през дадените три точки. Теорията за геометрията твърди, че подобна равнина наистина съществува, но само тя е уникална и невъзможна. Тъй като тази равнина пресича точката (x `, y`, z `), формата на нейното уравнение ще бъде както следва:

Тук A, B, C са и двете ненулеви. Също така, дадена равнина пресича още две точки: (x ", y", z ") и (x ‴, y ‴, z ‴). Във връзка с това трябва да бъдат изпълнени следните условия:

Сега можем да изградим една хомогенна система уравнения (линейни) с непознати u, v, w:

В нашия случай, x, y или z е произволна точка, която отговаря на уравнение (1). Като се има предвид уравнение (1) и система от уравнения (2) и (3) на системата от уравнения, посочени на фигурата по-горе, вектор отговаря N (А, В, С), който е nontrivial. Ето защо детерминанта на тази система е нула.

Уравнение (1), което получихме, това е уравнението на равнината. След 3 точки тя определено минава и е лесно да се провери. За да направим това, трябва да разширим нашата детерминанта от елементите в първия ред. На съществуващите свойства определящ следва, че нашата равнина едновременно пресича три първоначално предварително определена точка (х `, Y`, Z `), (х ", Y", Z "), (х ‴, у ‴, Z ‴). Това означава, че сме решили задачата, поставена пред нас.

Двустранният ъгъл между равнините

Двустранният ъгъл представлява пространствена геометрична фигура, образувана от две полуплани, излъчвани от една права линия. С други думи, това е част от пространството, ограничено до тези полупланери.

Да предположим, че имаме две равнини със следните уравнения:

Знаем, че векторът N = (А, В, С) и Nsup1 - = (Asup1-, Vsup1-, Ssup1-) съгласно предварително определени равнини са перпендикулярни. В това отношение ъгълът phi между векторите N и Nsup1- е равен на ъгъла (двустранно), който се намира между тези равнини. Скаларният продукт има формата:

NNsup1- = | N || Nsup1- | cos phi-,

точно защото

cosphi- = NNsup1- / | N || Nsup1- | = (+ AAsup1- VVsup1- SSsup1 + -) / ((radic- (² + V² + s²)) * (radic- (Asup1-) ² + (Vsup1- ) ² + (Csup1-) ²)).

Достатъчно е да се вземе под внимание, че Оле-фи-ле-пи-.

Всъщност две равнини, които се пресичат, формират два ъгъла (двустранни): phi-₁ и phi-₂. Тяхната сума е pi- (phi-₁+ phi-₂= PI-). Що се отнася до техните косинуси, абсолютните им стойности са равни, но те се различават по знак, това е cos phi-₁= -cos phi-₂. Ако заместим A, B и C с числата -A, -B и -С, съответно, в уравнение (0), тогава уравнението, което получаваме, ще определи същата равнина, единственият ъгъл phi в уравнението cos phi- = NN¹/ | N || N¹| ще бъдат заменени с pi - phi.

Уравнението на перпендикулярната равнина

Перпендикулярни са равнините, между които ъгълът е 90 градуса. Използвайки материала, описан по-горе, можем да намерим уравнението на равнина, перпендикулярна на другата. Да предположим, че имаме две равнини: Ax + Boo + Cz + D = 0 и Asup1-x + Bsup1-y + Csup1-z + D = 0. Можем да твърдим, че те ще бъдат перпендикулярни, ако cosphi = 0. Това означава, че NNsup1- = AAsup1- + BBsup1- + CCsup1- = 0.

Уравнение на успоредна равнина

Паралелно са две равнини, които не съдържат общи точки.

състояние паралелизъм на самолетите (техните уравнения са същите като в предходния параграф) е, че векторите N и Nsup1-, които са перпендикулярни на тях, са колониални. Това означава, че са изпълнени следните условия на пропорционалност:

A / Asup1- = В / Bsup1- = C / Csup1-.

Ако условията на пропорционалност са разширени - A / Asup1- = B / Bsup1- = C / Csup1- = DDsup1-,

това показва, че тези самолети съвпадат. Това означава, че уравненията Ax + Boo + Cz + D = 0 и Asup1-x + Bsup1-y + Csup1-z + Dsup1- = 0 описват една равнина.

Разстояние до равнината от точката

Да предположим, че имаме равнина П, която се дава от уравнението (0). Необходимо е да се намери разстоянието от точката с координатите (xₒ, yₒ, zₒ) = Qₒ. За да направим това, трябва да намалим уравнението на равнината П до нормалната форма:

(rho, v) = p (pge-0).

В този случай rho- (X, Y, Z) е радиус вектора на нашата точка Q, разположен на п р - п е дължината на перпендикуляра, който е освободен от нулевата точка, о - е единична вектор, който е разположен по посока на.

разлика rho-rho-ordm е векторът на радиуса на която и да е точка Q = (x, y, z), принадлежаща към II, както и радиусния вектор на дадена точка Q₀= (xₒ, yₒ, zₒ) е вектор, чиято абсолютна проекция на v е равна на разстоянието d, което трябва да се намери от Q₀= (xₒ, yₒ, zₒ) до Π:

D = | (rho-rho-⁰,v), но

(Rho - rho-⁰,v) = (rho, v) - (rho-⁰,v) = р- (rho-⁰,о).

Така се оказва,

d = (rho-⁰,v) -p |.

Сега се вижда, че се изчислява разстоянието d от Q₀ до равнината П, трябва да използваме нормалната форма на уравнението на равнината, докато я прехвърляме към лявата страна на p, и заместваме (xₒ, yₒ, z вместо) вместо x, y, z.

По този начин намираме абсолютната стойност на резултантния израз, т.е. желания d.

Използвайки езика на параметрите, получаваме очевидното:

d = | Axₒ + Vuₒ + Czₒ | / radic- (А2 + В2 + С2).

Ако дадена точка Q₀ се намира от другата страна на равнина II, като произхода, след това между вектора р - rho-⁰ и v се намира тъп ъгъл, Ето защо:

d = - (rho-rho-⁰,v) = (rho-⁰,v) -p> 0.

В случай, когато точката Q₀ заедно с произхода на координатите се намира от същата страна на II, тогава създаденият ъгъл е остър, а именно:

d = (rho-rho-⁰,v) = p- (rho-⁰, v)> 0.

В резултат на това се оказва, че в първия случай (rho-⁰,v)> p, във втория (rho-⁰,х)<стр.

Допирателната равнина и нейното уравнение

Линията, допирателна към повърхността в точката на контакт Мордм - е равнина, съдържаща всички възможни допирателни към кривите, изтеглени през тази точка на повърхността.

С тази форма на повърхностното уравнение F (x, y, z) = 0, уравнението на допирателната равнина в допирателната точка на Mordm- (xordm-, uordm-, zordm-) ще изглежда така:

F_х(xordm-, уордм-, zordm-) (х-хордм -) + F_х(hordm-, уордм-, zordm-) (у-уордм) + F_х(xordm-, uordm-, zordm-) (z-zordm-) = 0.

Ако зададем повърхността в изричната форма z = f (x, y), тогава допирателната равнина ще бъде описана от уравнението:

z-zordm- = f (xordm-, uordm-) (x-hordm-) + f (hordm-, uordm-) (y -ordm-).

Пресичане на две равнини

В триизмерното пространство има координатна система (правоъгълна) Oxyz, дадена на две равнини П `и П ", които се пресичат и не съвпадат. Тъй като всяка равнина, която е в правоъгълна координатна система определена от общото уравнение, ние предполагаме, че п `и п "са определени от уравненията A`x + V`u S`z + + D` = 0 и А" + В х "+ у С "z + D" = 0. В този случай имаме нормалните n `(A`, B `, C`) на равнината II `и нормалната n` (A `, B`, C `) на равнина II ". Тъй като нашите самолети не са паралелни и не съвпадат, тези вектори не са колониални. Използвайки езика на математиката, можем да напишем това условие, както следва: n`ne- n " harr- (A `, В`, С `) не- (ламбда- * А ", ламбда- * В", ламбда- * С "), ламбда-εR. Нека линията, която се намира в пресечната точка на П `и Π ", се обозначава с буквата а, в който случай а = Π` капачка-Р ".

а е линия, състояща се от множеството от всички точки на (общи) равнини II "и II". Това означава, че координатите на всяка точка, принадлежаща към линията a, трябва да удовлетворяват едновременно уравненията A`x + B`y + C`z + D `= 0 и A "x + B" y + C "z + D" = 0. Следователно, координатите на точката ще бъдат конкретно решение на следната система от уравнения:

Резултатът е, че решението (общата) на тази система от уравнения, ще определи координатите на всяка от точките на линията, която ще действа като точката на пресичане P `и P ", и да определи ред в координатна система Oxyz (правоъгълна) пространство.