Повърхности от 2-ра степен: примери

С повърхности от втора степен студентът най-често се среща в първата година. Отначало проблемите по тази тема може да изглеждат прости, но докато учите по-висока математика и задълбочавате научната страна, най-накрая можете да спрете навигацията в това, което се случва. За тази не се случи, е необходимо не само да запомните и да разберат как да се получи една или друга повърхност, като промяна на фактори, то и неговото местоположение спрямо първоначалната координатна система и засягащи как да намерят нова система (един, в който нейния център съвпада с началото координатите и ос на симетрия

дефиниция

Повърхност от ред 2 се нарича HMT, чиито координати удовлетворяват общото уравнение със следната форма:

F (х, у, z) = 0.

Ясно е, че всяка точка, принадлежаща на повърхността, трябва да има три координати на определена основа. Въпреки че в някои случаи мястото на точките може да се изроди, например, в равнина. Това означава само, че една от координатите е постоянна и равна на нула в целия диапазон на допустимите стойности.

Пълната рисувана форма на равенството, спомената по-горе, изглежда така:

А₁₁х²+А₂₂ш²+А₃₃Z²+2А₁₂xy + 2A₂₃yz + 2A₁₃xz + 2A₁₄х + 2А₂₄у + 2А₃₄z + A₄₄= 0.

А_нм - някои константи, x, y, z - променливи, които съответстват на афинитетните координати на дадена точка. В същото време, поне една от факторни константи трябва да бъде ненулева, т.е. не всяка точка ще съответства на уравнението.

В по-голямата част от примерите много цифрови фактори са все още еднакви с нула и уравнението е значително опростено. На практика определянето на принадлежността на точката към повърхността не е трудно (достатъчно е да се заместят нейните координати в уравнението и да се провери дали се наблюдава идентичността). Ключовият момент в тази работа е намаляването на последното до каноничната форма.

Уравнението, описано по-горе, дефинира всякакви (всички посочени по-долу) повърхности от ред 2. Примерите ще бъдат разгледани допълнително.

Видове повърхности от ред 2

Уравненията на повърхности от ред 2 се различават само в стойностите на коефициентите А_нм. От общия поглед, за определени стойности на константите могат да се получат различни повърхности, класифицирани по следния начин:

1. Цилиндри.
2. Елиптичен тип.
3. Хиперболичен тип.
4. Коничен тип.
5. Пароличният тип.
6. Самолет.

Всеки от изброените видове има естествена и въображаема форма: във въображаема форма геометричното място на реалните точки или се изражда в по-проста фигура или напълно липсва.

цилиндри

Това е най-простият тип, тъй като относително сложна крива се намира само в основата, действаща като водач. Линиите за формиране са прави, перпендикулярни на равнината, в която лежи основата.

Графиката показва кръгъл цилиндър - специален случай на елиптичен цилиндър. Самолетът XY е елипса му издатък (в нашия случай - кръг), - употреба и XZ - правоъгълник - като паралелната ос Z. За да се получи от общото уравнение, коефициентите трябва да се имат предвид следните значения:

Вместо обичайните означения X, Yorkshi, Z, се използват X-номера със сериен номер - няма значение.

Всъщност 1 / a² а другите константи, посочени тук, са същите коефициенти, посочени в общото уравнение, но е обичайно да ги написвате точно в тази форма - това е каноничното представяне. Тогава ще се използва само този запис.

Така се дава хиперболичен цилиндър. Схемата е същата - ръководството ще бъде хипербола.

ш²= 2px

Параболният цилиндър е посочен малко по-различно: неговата канонична форма включва коефициента p, наречен параметър. Всъщност, коефициентът е q = 2p, но е обичайно той да се разделя на двата представени фактора.

Има и друг вид цилиндър: въображаем. Такъв цилиндър не принадлежи към никаква реална точка. Той описва уравнението на елиптичен цилиндър, но вместо него той струва -1.

Елиптичен тип

Елипсоидът може да бъде опънат по една от осите (по който зависи от стойностите на константи а, b, c, посочени по-горе, ясно е, че по-голямата ос ще съответства на по-голям коефициент).

Съществува и въображаем елипсоид - при условие че сумата от координатите, умножена по коефициентите, е -1:

hyperboloids

Когато се появи минус в една от константите, елипсоидното уравнение става уравнението на хиперболоида от един лист. Необходимо е да се разбере, че това минус не е необходимо да бъде разположено пред координатите х₃! Определя само коя от осите е оста на въртене на хиперболоида (или успоредно на него, тъй като когато в квадрата се появят допълнителни термини (например (х-2)²), центърът на фигурата се измества, като вследствие на това повърхността се движи успоредно на координатните оси). Това важи за всички повърхности от ред 2.

Освен това е необходимо да се разбере, че уравненията са представени в каноничната форма и могат да бъдат променяни чрез промяна на константите (запазване на знака!), Докато тяхната форма (хиперболоид, конус и т.н.) ще остане същата.

Такова уравнение дава двуслоен хиперболоид.

Конична повърхност

В уравнението на конуса няма единица - равностойна на нула.

Конусът е само ограничена конична повърхност. На снимката по-долу е показано, че всъщност графиката ще бъде два така наречени конуса.

Важно наблюдение: Във всички разглеждани канонични уравнения константите се приемат за положителни по подразбиране. В противен случай знакът може да повлияе на финалната диаграма.

Координатните равнини се превръщат в равнини на симетрия на конуса, центърът на симетрия се намира в началото.

В уравнението на въображаемия конус принадлежат само плюсовете, то има една реална точка.

paraboloids

Повърхностите от втория ред в пространството могат да приемат различни форми, дори и при подобни уравнения. Например, параболоидите са от два вида.

х²/ a²+ш²/ б²= 2z

Елиптичен параболоид, когато оста Z е перпендикулярна на чертежа, ще бъде проектирана в елипса.

х²/ a²-ш²/ б²= 2z

Хиперболичен параболоид: в участъци с равнини, успоредни на ZY, ще се получат параболи, а в участъците с равнини, успоредни на XY - хиперболи.

Пресичащи се равнини

Има случаи, когато повърхности от втория ред се размножават в равнина. Тези самолети могат да бъдат подредени по различни начини.

Първо разгледайте пресичащите се равнини:

х²/ a²-ш²/ б²= 0

С тази модификация на каноничното уравнение се получават само две пресичащи се равнини (въображаеми!) - всички реални точки са по оста на тази координата, която липсва в уравнението (в каноничната ос, Z-ос).

Паралелни равнини

ш²= a²

При наличието на само една координатна повърхност от втора порядка се дегенерира в двойка успоредни равнини. Не забравяйте, че на мястото на играта може да бъде всяка друга променлива, тогава равнините, успоредни на други оси, ще бъдат получени.

ш²= минус-а²

В този случай те стават въображаеми.

Съвпадащи самолети

ш²= 0

С такова просто уравнение двойка равнини се дегенерира в едно - те съвпадат.

Не забравяйте, че в случай на триизмерна основа горното уравнение не указва права линия y = 0! Няма други две променливи в него, но това само означава, че тяхната стойност е постоянна и нула.

сграда

Една от най-трудните задачи на ученика е изграждането на повърхности от 2-ри ред. Още по-трудно е да се премине от една координатна система към друга, като се вземат предвид склоновете на кривата по отношение на осите и изместването на центъра. Нека повторим как последователно да определяме бъдещия изглед на чертежа по аналитичен начин.

За да се изгради повърхност от ред 2, е необходимо:

• да намали уравнението до каноничната форма;
• определя вида на повърхността, която трябва да се изследва;
• въз основа на стойностите на коефициентите.

По-долу са разгледани всички типове:

За фиксирането ще разгледаме един пример за този тип задачи.

примери

Да предположим, че има уравнение:

3 (х²-2x + 1) + 6 години²+2z²+60y + 144 = 0

Ние го намаляваме до каноничната форма. Откриваме пълните квадрати, т.е. ние съставяме съществуващите summands по такъв начин, че те са разлагане на квадрата на сумата или разликата. Например: ако (a + 1)²= a²+2а + 1, след това a²+2а + 1 = (а + 1)². Ще проведем втората операция. В този случай не е необходимо да се разкриват скоби, тъй като това само усложнява изчисленията, но е необходим общ множител от 6 (в скоби с квадратни квадратчета):

3 (х-1)²+6 (у + 5)²+2z²= 6

Променливият zet се случва в този случай само веднъж - не можете да го докоснете още.

Ние анализираме уравнението на този етап: преди всички неизвестни има знак плюс - когато е разделен на шест, има един. Следователно, имаме уравнение, определящо елипсоида.

Обърнете внимание, че 144 беше разложена на 150-6, след което -6 беше преместена надясно. Защо е необходимо да го направите? Очевидно е, че най-голямата подгрупа в този пример, -6, следователно, че след като се раздели го прав оставащите единици трябва да е "отменено" на 144 е 6 (това трябва да се прави единица, се казва в присъствието на свободен мандат - константи, не умножават до неизвестното).

Разделяме се на шест и получаваме каноничното уравнение на елипсоида:

(Х-1)²/ 2 + (у + 5)²/ 1 + z²/ 3 = 1

При класификацията на повърхностите от порядъка 2, използвани преди, се разглежда специален случай, когато центърът на фигурата е в началото. В този пример тя е пристрастна.

Вярваме, че всяка група с непознати е нова променлива. Това е: a = x-1, b = y + 5, с = z. В новите координати, центърът на елипсоида съвпада с точката (0,0,0), следователно a = b = c = 0, където: x = 1, y = -5, z = 0. В оригиналните координати, центърът на фигурата лежи в точката (1, -5,0).

Елипсоидът ще бъде получен от две елипси: първата в равнината XY и втората в равнината XZ (или YZ - няма значение). Коефициентите, на които са разделени променливите, стоят в каноничното уравнение в квадрата. Следователно, в горния пример, би било по-правилно да се разделят с корен на два, един и корен на три.

По-малката ос на първата елипса, успоредна на оста Y, е равна на две. Основната ос, успоредна на оста X, е двата корена на двете. По-малката ос на втората елипса, успоредна на оста Y остава същата - тя е равна на две. А основната ос, успоредна на оста Z, е равна на двата корена на трите.

Използвайки полученото от първоначалното уравнение чрез преобразуване в каноничната форма на данните, можем да нарисуваме елипсовид.

Обобщение

Темата, разгледана в тази статия, е доста обширна, но всъщност, както виждате, не е много сложно. Неговото усъвършенстване всъщност завършва в момента, когато научите имената и уравненията на повърхностите (и, разбира се, как изглеждат). В горния пример разгледахме всяка стъпка в детайли, но намаляването на уравнението на каноничната форма изисква минимални познания във висшата математика и не би трябвало да създава трудности за ученика.

Анализ на бъдещата графика върху съществуващото уравнение вече е по-трудна задача. Но за успешното му решение е достатъчно да се разбере как се изграждат съответните криви от втора реда - елипси, параболи и други.

Случаите на дегенерация са още по-проста част. Поради липсата на определени променливи, не само изчисленията, както вече бе споменато по-горе, но и самата конструкция, се опростяват.

След като можете уверено да назовете всички видове повърхности, променете константите, като завъртите графиката в една или друга фигура - темата ще бъде овладяна.

Успехът в ученето!