Как да изследваме и изграждаме функционална графика?

Днес предлагаме заедно с нас да проучи и изгради функционална графика. След внимателно проучване на тази статия, не е нужно да се потите дълго време, за да изпълнявате тази задача. Не е лесно да се изследва и конструира функционална графика, работата е обемна, изискваща максимално внимание и точност на изчисленията. За да се улесни възприемането на материала, ние постепенно ще изучаваме същата функция, ще обясним всички наши действия и изчисления. Добре дошли в прекрасния и завладяващ свят на математиката! Да вървим!

Домейн на дефиниция

За да се изследва и конструира функционална графика, е необходимо да се знае няколко дефиниции. Функцията е една от основните (основни) понятия в математиката. Отразява връзката между няколко променливи (две, три или повече) с промени. Функцията също така показва зависимостта на множествата.

Представете си, че имаме две променливи, които имат определен диапазон на вариация. Така че, y е функция на x, при условие че за всяка стойност на втората променлива съответства една стойност на втората. Освен това променливата y е зависима и се нарича функция. Обикновено се казва, че променливите x и y са в функционална зависимост. За по-голяма яснота на тази зависимост се гради графика на функцията. Какво представлява функционалната графика? Това е множеството от точки на координатната равнина, където към всяка стойност на х съответства една стойност y. Графиките могат да бъдат различни - права линия, хипербола, парабола, синусоида и т.н.

Графиката на функцията не може да бъде конструирана без разследване. Днес ще се научим да проведем проучване и да изградим функционална графика. Това е много важно в координирана равнина правят бележки. Така че, за да се справите със задачата, ще бъде много по-лесно. Най-удобният план за обучение:

1. Обхват на определението.
2. Непрекъснатост.
3. Паритет или странност.
4. Периодичността.
5. Асимптотата.
6. Нули.
7. Знак на постоянство.
8. Възходящ и низходящ.
9. Крайности.
10. Изпъкналост и вдлъбнатина.

Нека да започнем с първия абзац. Ние намираме домейна на дефиницията, т.е. на какви интервали съществува нашата функция: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). В нашия случай функцията съществува за всички стойности на x, т.е. домейнът на дефиницията е R. Той може да бъде написан както следва xVR.

непрекъснатост

Сега ще разгледаме функцията за почивка. В математиката терминът "приемственост" се явява като резултат от изучаването на законите на движението. Какво е безкрайно? Пространство, време, някои функция (например, може да служи като зависима променлива S и Т в движението на задачи), температурата на нагретия обекта (вода, пържене, термометър, и т.н.), непрекъснатата линия (т.е., този, който може да се направи без повдигане от листа молив).

Графиката се счита за непрекъсната, която в някакъв момент не се прекъсва. Един от най-очевидните примери за такава графика е синусоида, който можете да видите на снимката в този раздел. Функцията е непрекъсната в някаква точка x0, ако са изпълнени редица условия:

• в дадена точка е определена функция;
• дясната и лявата граница в точката са еднакви;
• Границата е равна на стойността на функцията в точката x0.

Ако едно от условията не е изпълнено, те казват, че функцията прекъсва. А точките, при които функцията е нарушена, обикновено се наричат ​​точките на прекъсване. Пример за функция, която е "разкъсана" в графичното представяне, може да бъде: y = (x + 4) / (x-3). Освен това, y не съществува в точката x = 3 (тъй като е невъзможно да се дели с нула).

Във функцията, която изследваме (y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) всичко се оказа просто, тъй като графиката ще бъде непрекъсната.

Паритет, странност

Сега разгледайте функцията за паритет. За да започнете малка теория. Извиква се равна функция, която удовлетворява условието f (-x) = f (x) за всяка стойност от x (от диапазона от стойности). Примерите са:

• модул x (графиката е подобна на daw, bisector на първото и второто тримесечие на графиката);
• х в квадрата (парабола);
• косинус на х (косинус).

Обърнете внимание, че всички тези графи са симетрични, ако разгледаме това по отношение на оста y (т.е. y).

И какво тогава се нарича странна функция? Това са тези функции, които отговарят на условието: f (-x) = -f (x) за всяка стойност от x. примери:

• хипербола;
• кубична парабола;
• синусова вълна;
• тангентоид и т.н.

Обърнете внимание, че тези функции имат симетрия относно точката (0: 0), т.е. произхода. Изхождайки от това, което беше казано в тази секция на статията, една равномерна и странна функция трябва да има свойството: х принадлежи към определението на дефиницията и -x също.

Нека изследваме функцията по паритет. Можем да видим, че то не отговаря на нито едно от описанията. Следователно, нашата функция не е нито дори, нито странна.

асимптота

Нека да започнем с определението. Асимптотът е крива, която е възможно най-близо до графиката, т.е. разстоянието от някаква точка е с нулева стойност. Има три типа асимптоти:

• Вертикално, т.е. паралелно на оста y;
• Хоризонтално, т.е. паралелно на оста x;
• наклонени.

Що се отнася до първия вид, тези прави линии трябва да се търсят в някои точки:

• прекъсване;
• край на домейна на дефиниция.

В нашия случай функцията е непрекъсната и домейнът на дефиницията е R. Следователно няма вертикални асимптоти.

Хоризонталната асимптотата имат графична функция, която отговаря на следните изисквания: когато х подходи безкрайност или отрицателна безкрайност, а ограничението е равна на някои номер (например). В този случай, y = a - това е хоризонталната асимптота. Няма никакви хоризонтални асимптоти във функцията, която разследваме.

Наклонен асимптот съществува само ако са изпълнени две условия:

• ли (f (х)) / х = к;
• ли f (x) -kx = b.

След това може да се намери чрез формулата: y = kx + b. Отново в нашия случай няма наклонени асимптоти.

Функции нули

Следващата стъпка е да прегледате графиката на функцията по нули. Важно е да се отбележи, че задачата, свързана с намирането на нулите на функцията се намира не само в проучването и изграждането на графиката на функцията, но и като самостоятелна задача, и като начин за справяне с неравенството. Може да се наложи да намерите нули на функцията в графиката или да използвате математически запис.

Намирането на тези стойности ще ви помогне да направите по-точна графика на функцията. На прост език нулата на функция е стойността на променливата x, за която y = 0. Ако търсите нули на функция на графика, трябва да обърнете внимание на точките, където се появява пресечната точка на графиката с абсцисата.

За да намерите нули на функция, трябва да решите следното уравнение: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) = 0. След извършване на необходимите изчисления получаваме следния отговор:

• х = 1;
• 4;
• 9.

Препоръчва се веднага да отбележите намерените точки в графиката.

Знак на постоянство

Следващият етап от изследването и изграждането на функция (графика) е намирането на интервали от знак-константа. Това означава, че трябва да определим в какви интервали функцията има положителна стойност и на която - отрицателната. Това ще ни помогне да направим нулите на функцията, намерени в последната секция. Така че, трябва да изградим права линия (отделно от графиката) и в правилния ред да разпределим нулите на функцията от по-малките на по-големите. Сега трябва да определим кой от получените интервали има знака "+" и кой ";".

В нашия случай функцията заема интервал от положителна стойност:

• от 1 до 4;
• от 9 до безкрайност.

Отрицателна стойност:

• от минус безкрайност до 1;
• от 4 до 9.

Това е достатъчно лесно да се определи. Заменете число от празнината във функцията и вижте кой е отговорът (минус или плюс).

Увеличаваща се и намаляваща функция

За да изследваме и конструираме функция, трябва да знаем къде ще се развие графиката (да се покачи координирана линия Oy) и където ще падне (пълзене по оста на координатите).

Функцията расте само ако по-голямата стойност на променливата x съответства на по-голяма стойност от y. Тоест, х2 е по-голяма от x1, а f (x2) е по-голяма от f (x1). И обратният ефект се наблюдава в намаляваща функция (колкото повече x, толкова по-малко y). За да се определят интервалите на нарастване и намаляване, е необходимо да намерите следното:

• домейн на дефиницията (вече имаме);
• производни (в нашия случай: 1/3 (3x ^ 2-28x + 49);
• решаване на уравнението 1/3 (3x ^ 2-28x + 49) = 0.

След изчисленията получаваме резултата:

• 7/3;
• 7.

Получаваме: функцията се увеличава на интервали от минус безкрайност до 7/3 и от 7 до безкрайност и намалява на интервал от 7/3 на 7.

противоположности

Функцията y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) е непрекъсната и съществува за всички стойности на променливата x. Точката на екстремума показва максималната и минималната стойност на тази функция. В нашия случай няма такива, което значително опростява строителния проблем. в противен случай extreum точки също се откриват, като се използва получената функция. След като откриете, не забравяйте да ги маркирате в диаграмата.

Изпъкналост и вдлъбнатина

Продължаваме да изследваме функцията y (x). Сега трябва да го изпробваме за изпъкналост и вдлъбнатина. Определенията на тези понятия са трудни за поемане, по-добре е да анализираме всичко чрез примери. За теста: функцията е изпъкнала, ако е такава неопределен интеграл не намаляваща функция. Съгласете се, това не е ясно!

Трябва да намерим производната на втора функция. Получаваме: y = 1/3 (6x-28). Сега уравняваме дясната страна до нула и решаваме уравнението. Отговорът е: x = 14/3. Намерихме точка на инфлексия, т.е. мястото, където графиката променя изпъкналостта към вдлъбнатината или обратно. На интервала от минус безкрайност до 14/3 функцията е изпъкнала и от 14/3 до плюс безкрайност - вдлъбната. Много е важно да се отбележи, че точката на наклона на диаграмата трябва да бъде гладка и мека, без остри ъгли.

Определяне на допълнителни точки

Нашата задача е да проучим и изградим функционална графика. Ние завършихме проучването, няма да можем да градим графиката на функцията сега. За по-точно и подробно възпроизвеждане на кривата или права линия в равнината на координатите, можете да намерите няколко допълнителни точки. Лесно е да ги изчислявате. Например, вземаме x = 3, решаваме полученото уравнение и откриваме y = 4. Или х = 5, и y = -5 и така нататък. Допълнителни точки, които можете да вземете, колкото е необходимо за изграждане. Най-малко 3-5 от тях са намерени.

Изчертаване на графика

Трябваше да проучим функцията (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) * 1/3 = y. Всички необходими бележки по време на изчисленията бяха изобразени на координатната равнина. Всичко, което трябва да направите, е да създадете графика, т.е. да свържете всички точки заедно. За да свържете точките плавно и точно, това е въпрос на умение - малко практика и вашият график ще бъде перфектен.