Деривати на числа: методи на изчисление и примери

Вероятно понятието за производно е познато на всеки от нас от училище. Обикновено учениците трудно разбират това, несъмнено много важно нещо. Той се използва активно в различни области на живота на хората, както и много техника се основава именно на математически изчисления, получени чрез деривата. Но преди да се пристъпи към анализ на това, което е производно на номера, тъй като те се изчисли и където те ще дойде по-удобно, рови малко в историята.

история

Понятието за производно, който е в основата на математически анализ, тя е отворена (дори по-добре да се каже "измислени", защото е като такъв не съществува в природата) от Исак Нютон, които всички знаем от откриването на закона за гравитацията. Той е, който първо прилага тази концепция във физиката, за да свърже естеството на скоростта и ускоряването на телата. И много учени все още хвалят Нютон за този великолепен изобретение, тъй като в действителност той е изобретил основа на диференциално и интегрално смятане, фактите, въз основа на цялата областта на математиката, наречен "математически анализ". Независимо дали по това време Нобеловата награда, Нютон най-вероятно щеше да я получи няколко пъти.

Не и без другите големи умове. В допълнение към Нютон, такива изтъкнати гении на математиката като Леонард Ойлер, Луи Лагранзи и Готфрид Лайбниц са работили върху разработването на производните и интегралните. Благодарение на тях ние получихме тази теория диференциално смятане във формата, в която съществува до ден днешен. Между другото, този Лайбниц открива геометричното значение на производното, което се оказва нищо повече от допирателната на ъгъла на наклона на допирателната към графиката на функцията.

Какви са получените номера? Ще се повторим малко, което мина в училище.

Какво е производно?

Можете да дефинирате тази концепция по няколко различни начина. Най-простото обяснение: дериватът е скоростта на промяна на функция. Ние представяме графиката на някаква функция y на x. Ако това не е правилно, то има някои завои в графиката, периоди на нарастване и намаляване. Ако вземем безкрайно малък интервал от тази графика, то ще бъде сегмент от права линия. Така, съотношението на размера на безкрайно сегмент на у на размера на х координира, и ще бъде производно на функцията в даден момент. Ако разгледаме функцията като цяло, а не в определен момент, ние получаваме функция на производна, т.е. определена зависимост от Ч Ш.

Освен това освен това физическото значение на производното тъй като скоростта на промяна на функцията също е геометрично значение. За него сега говорим.

Геометрично значение

Дериватите на числа сами по себе си представляват определен брой, който без правилното разбиране няма смисъл. Оказва се, че производната не само показва скоростта на растеж или намаляване на функцията, но и допирателната на ъгъла на наклона на допирателната към графиката на функцията в дадена точка. Не е напълно ясно определение. Нека я разгледаме по-подробно. Да предположим, че имаме графика на функция (за интерес, нека вземем крива). То има безкраен брой точки, но има области, където само една точка има максимален или минимален размер. Чрез всяка такава точка можете да нарисувате линия, която е перпендикулярна на графиката на функцията в този момент. Такава линия ще се нарича допирателна. Да предположим, че го пренесохме до пресечната точка с оста OX. Така че ъгълът между допирателната и оста OX ще бъде определен от производната. Или по-скоро тангентата на този ъгъл ще бъде равна на нея.

Нека да говорим малко за конкретни случаи и да анализираме получените цифри.

Специални случаи

Както вече казахме, производните на номерата са стойностите на деривата в дадена точка. Например, вземете функцията y = x². Производството на х е число, а в общия случай функция, равна на 2 * x. Ако трябва да изчислим деривата, да речем, в точката x₀= 1, тогава получаваме y `(1) = 2 * 1 = 2. Това е много просто. Интересен случай е производното сложен номер. Няма да преминем в подробно обяснение за това какво е сложен номер. Нека просто кажем, че това е число, което съдържа така наречената въображаема единица - число, чийто квадрат е -1. Изчисляването на такъв дериват е възможно само ако са налице следните условия:

1) Трябва да съществуват частични производни от първия ред от реалните и въображаеми части в играта и в х.

2) Условията на Cauchy-Riemann, свързани с равнопоставеността на частичните производни, описани в първия подраздел, са изпълнени.

Друг интересен случай, макар и не толкова сложен, колкото предишния, е производното на отрицателен номер. Всъщност всяко отрицателно число може да бъде представено като положително, умножено по -1. Но производното на константата и функцията е равно на константата, умножена по дериватите на функцията.

Ще бъде интересно да научим за ролята на дериватите в ежедневието и това е, което сега обсъждаме.

приложение

Вероятно всеки от нас поне веднъж в живота си се хваща, мислейки, че математиката едва ли е полезна за него. И такова сложно нещо като производната, вероятно, изобщо няма приложение. Всъщност, математиката е фундаментална наука и всичките й плодове се развиват главно от физиката, химията, астрономията и дори икономиката. Дериватът бележи началото математически анализ, което ни даде възможност да извлечем изводи от графиките на функциите и се научихме да тълкуваме законите на природата и да ги превръщаме в наша полза благодарение на него.

заключение

Разбира се, не всеки може да се нуждае от деривати в реалния живот. Но математиката развива логика, която със сигурност ще бъде необходима. Математиката не се нарича "кралица на науките": тя формира основата за разбиране на други области на знанието.