Физическото значение на производното на функция. Задачи за физическото значение на деривата: примери за решения

Математическите проблеми намират приложение в много науки. Те включват не само физика, химия, технология и икономика, но и медицина, екология и други дисциплини. Едно от важните понятия, които трябва да се научат, за да се намерят решения на важни дилеми, е производното на функцията. Физическото значение на този въпрос изобщо не е толкова трудно, колкото може да изглежда за непосветените в същността на материята. Достатъчно е само да се намерят подходящи примери за това в реалния живот и обикновените ежедневни ситуации. Всъщност всеки шофьор се справя с тази задача всеки ден, когато гледа на скоростомера, определяйки скоростта на колата си в определен момент от определено време. В този параметър се крие същността на физическото значение на производното.

Как да намерим скорост

Определете скоростта на човек по пътя, знаейки изминатото разстояние и времето на пътя, лесно всеки пети клас може лесно. За да направите това, първата от дадените стойности е разделена на втората. Но не всеки млад математик знае, че в момента той намира съотношението на стъпките на функция и аргумент. Всъщност, ако представяме движението под формата на графика, полагайки пътя по оста на координатите и времето по абсцисата, това ще бъде точно така.

Скоростта на пешеходец или друг обект, който определяме в голяма част от пътя, приемайки, че движението е еднакво, може да варира. Във физиката са известни много форми на движение. Това може да се случи не само при постоянно ускоряване, но и забавяне и нарастване по произволен начин. Трябва да се отбележи, че в този случай линията, описваща движението, вече няма да бъде права линия. Графично, той може да приеме най-сложните конфигурации. Но за някоя от точките на графиката винаги можем да нарисуваме допирателна линия, представена от линейна функция.

За да се изясни параметърът за промяна на движението в зависимост от времето, е необходимо да се съкрати измерените сегменти. Когато те станат безкрайни, изчислената скорост ще бъде мигновена. Този опит ни помага да дадем дефиниция на деривата. Физическото значение на това следва логично и от подобни разсъждения.

От гледна точка на геометрията

Известно е, че по-голяма от скоростта на тялото, по-стръмен графиката на изместване на време и по този начин ъгълът на наклона на допирателната към графиката в някакъв определен момент. Индикаторът на тези промени може да бъде допирателната към ъгъла между оста на абсциси и допирателната линия. По време той определя стойността на производното и се изчислява съотношението на дължините на срещуположната съседни крака на правоъгълен триъгълник, образуван от перпендикуляра от точка на абсцисата.

Това е геометричното значение на първото производно. Физическото е разкрито във факта, че размерът на противоположния крак в нашия случай е траверса, а съседният е времето. В този случай тяхното съотношение е скоростта. И отново стигаме до извода, че моментната скорост, определена от стремежа на двата празнини до безкрайност, е същността на понятието производни, което показва физическото му значение. Второто производно в този пример е ускоряването на тялото, което на свой ред демонстрира степента на промяна в скоростта.

Примери за намиране на производни във физиката

Производството е индикатор за скоростта, с която се променя всяка функция, дори когато не е въпрос на движение в буквалния смисъл на думата. За да илюстрираме това, даваме няколко конкретни примера. Да приемем, че текущата сила, в зависимост от времето, варира в съответствие със следния закон: аз = 0.4t². Необходимо е да се намери стойността на скоростта, с която този параметър се променя в края на осмата секунда на процеса. Отбелязваме, че самото количество, както се преценява от уравнението, непрекъснато се увеличава.

За решението е необходимо да се намери първото производно, чието физическо значение е било разгледано по-рано. тук дестил/DT = 0.8т. След това намираме това в т= 8, ние откриваме, че скоростта, с която се променя токът, е равна на 6.4 А/в. Тук се счита, че токът се измерва в ампера и времето, съответно, в секунди.

Всичко е променливо

Видимият околен свят, състоящ се от материя, непрекъснато претърпява промени, като се движи в различни процеси, които се случват в него. За тяхното описание могат да се използват различни параметри. Ако те са комбинирани чрез връзка, те са математически написани като функция, която визуално показва промените им. И там, където има движение (в каквато и да е форма се изразява), съществува производна, физическото значение, което разглеждаме в момента.

В това отношение следвайте следния пример. Да кажем, че температурата на тялото се променя според закона T= 0.2т². Необходимо е да се намери скоростта на отоплението му в края на 10-та секунда. Решаването на проблема се извършва по начин, аналогичен на този, описан в предишния случай. Тоест намираме деривативното и заместваме в него стойносттат = 10, ние получаваме T = 0.4т = 4. Следователно, крайният отговор е 4 градуса в секунда, т.е. процесът на нагряване и промяна на температурата, измерена в градуси, се получава точно при тази скорост.

Решаване на практически проблеми

Разбира се, в реалния живот всичко е много по-сложно, отколкото в теоретичните проблеми. На практика стойността на количествата се определя обикновено по време на експеримента. В същото време се използват устройства, които дават индикация при измерване с определена грешка. Ето защо, при изчисленията трябва да се справят с приблизителните стойности на параметрите и да се пристъпи към закръгляване на неудобните числа, както и други опростявания. Вземайки под внимание това, отново започваме проблемите на физическото значение на производната, като се има предвид, че те са само определен математически модел на най-сложните процеси, които се осъществяват в природата.

Вулканично изригване

Представете си, че има вулканично изригване. Колко може да е опасно? За да се изясни този проблем, е необходимо да се вземат предвид много фактори. Ще се опитаме да вземем предвид един от тях.

От устата на "огненото чудовище" камъните се изхвърлят вертикално нагоре, като се получава начална скорост от момента, в който излизат навън 120 m / s. Необходимо е да се изчисли как те могат да достигнат максималната си височина.

За да открием желаната стойност, ще формулираме уравнението на зависимостта на височината Н, измерена в метри, от другите величини. Те включват началната скорост и време. Предполага се, че стойността на ускорението е известна и приблизително равна на 10 m / s².

Частичното производно

Сега разглеждаме физически смисъла на производното на функцията малко от другата страна, защото самото уравнение може да съдържа не една, а няколко променливи. Например, при предишния проблем зависимостта на височината на катерене, излъчвана от вентилационните отвори на вулкана, се определя не само от промяна на характеристиките на времето, но и от стойността на началната скорост. Последното се приемаше за постоянна, фиксирана стойност. Но в други проблеми с напълно различни условия всичко може да е различно. Ако стойностите, на които зависи функцията на комплекса, са няколко, изчисленията се правят съгласно формулите, дадени по-долу.

Трябва да се определи физическото значение на честата производна, както обикновено. Това е скоростта, с която дадена функция се променя в определена точка, когато параметърът се увеличава. То се изчислява по такъв начин, че всички останали компоненти да се приемат като константи, само една се счита за променлива. Тогава всичко се случва според обичайните правила.

Незаменим съветник по много въпроси

Разбирането на физическото значение на производната, примери за решаване на сложни и сложни проблеми, отговорът, в който може да се намери подобно познание, е лесно да се даде. Ако имаме функция, която описва разхода на гориво в зависимост от скоростта на автомобила, можем да изчислим при какви параметри последната консумация на бензин ще бъде най-малката.

В медицината може да се предвиди как човешкото тяло реагира на предписаното лекарство. Приемането на лекарството засяга различни физиологични показатели. Те включват промени в кръвното налягане, сърдечната честота, телесната температура и много други. Всички те зависят от дозата на взетия наркотик. Тези изчисления помагат да се предвиди хода на лечението както при благоприятни прояви, така и при нежелани аварии, които могат фатално да повлияят на промените в тялото на пациента.

Несъмнено е важно да се разбере физическото значение на производното по технически въпроси, по-специално в електротехниката, електрониката, строителството и строителството.

Спирачно разстояние

Нека разгледаме следващата задача. Придвижвайки се с постоянна скорост, колата, приближаваща се до моста, бе принудена да спира 10 секунди преди влизането си, тъй като шофьорът забелязал пътна табела, забраняваща трафика със скорост над 36 км / ч. Дали водачът нарушава правилата, ако спирачното разстояние може да бъде описано по формулата S = 26t - t²?

Изчислявайки първото производно, откриваме формулата за скоростта, получаваме v = 28 - 2t. След това заместете стойността t = 10 в посочения израз.

Тъй като тази стойност е изразена в секунди, скоростта е 8 m / s, което означава 28,8 km / h. Това дава възможност да се разбере, че шофьорът започва да се спира навреме и не нарушава правилата за движение, а оттук и границата, посочена върху знака на скоростта.

Това доказва значението на физическото значение на производното. Пример за решаване на този проблем показва широкото използване на тази концепция в различни сфери на живота. Включително в ежедневните ситуации.

Дериват в икономиката

До деветнадесети век икономистите използват основно средните стойности, било то производителността на труда или цената на произвежданите продукти. Но от определена точка, за да се направят ефективни прогнози в тази област, граничните стойности станаха по-необходими. Те включват пределната полезност, приходите или разходите. Разбирането на това даде тласък на създаването на напълно нов инструмент в икономическите изследвания, който съществува и се развива повече от сто години.

За съставянето на такива изчисления, където такива понятия преобладават, най-малкото и максимално, просто е необходимо да се разбере геометричното и физическото значение на производната. Сред основателите на теоретичната основа на тези дисциплини са такива изтъкнати английски и австрийски икономисти като американските Джевинс, К. Менгер и др. Разбира се, граничните стойности в икономическите изчисления не винаги могат да се използват удобно. И например, тримесечните отчети не се вписват непременно в съществуващата схема, но все пак прилагането на такава теория в много случаи е полезно и ефективно.