Производството на синуса на ъгъла е равно на косинуса със същия ъгъл

Като се има предвид най-простата тригонометрична функция y = Sin (x), тя е диференцируема във всяка от нейните точки от цялата област на дефиниция. Необходимо е да се докаже това производно на синусите на всеки аргумент е равно на косинуса със същия ъгъл, т.е. yrsquo- = Cos (x).

Доказателството се основава на дефиницията на производното на функцията

Определяме x (произволно) в някои малки квартали Делта-х специфична точка x₀. Нека да покажем стойността на функцията в нея и в точката x, за да открием нарастването на дадена функция. Ако Делта-х е нарастването на аргумента, тогава новият аргумент е x₀+Delta-x = x, стойността на тази функция за дадена стойност на аргумента y (x) е Sin (x₀+Delta-x), стойността на функцията в определена точка y (x₀) също е известно.

Сега имаме Делта-у = Син (х₀+Delta-x) -Sin (х₀) Е увеличението на функцията.

По синусовата формула на сумата от два неравномерни ъгъла, ще трансформираме разликата Delta-у.

Делта-у = Син (х₀) middot-Cos (Delta-x) + Cos (х₀) middot-Sin (Delta-x) минус Sin (x₀) = (Cos (Delta-x) -1) middot-Sin (x₀) + Cos (х₀) middot-Sin (Delta-x).

Извършва пермутация на термините, групира първото с третия Sin (х₀), носел общ мултипликатор - задължителен - за скобите. Получихме в израза разликата Cos (Delta-x) -1. Остава да смените знака пред скобата и в скобите. Знаейки какво е 1-Cos (Delta-x), правим замяна и получаваме опростено изражение Delta-y, която след това се разделя на Delta-х.
Delta-y / Delta-x ще изглежда така: Cos (х₀) middot-Sin (Delta-x) / Delta-x-2middot-Sin²(0.5middot-Delta-x) middot-Sin (х₀) / Delta-x. Това е съотношението на нарастването на функцията към разрешеното нарастване на аргумента.

Остава да се намери границата на връзката lim, получена от нас Delta-x, която има тенденция към нула.

Известно е, че границата на Sin (Delta-x) / Delta-x е 1, при това условие. И изразът 2middot-sin²(0,5middot-Delta-х) / Delta-X в резултантната обобщим специално трансформации до продукт, съдържащ като първо множител забележителен граница: числителя на фракция и znemenatel разделение на от 2 квадрата на синуса замени продукт. Ето го:
(Sin (0.5middot-Delta-x) / (0.5middot- Delta-x)) middot-Sin (Delta-x / 2).
Границата на този израз за Delta-x, с тенденция към нула, ще бъде равна на нула (1 умножена по 0). Оказва се, че границата на връзката Delta-y / Delta-x е равна на Cos (x₀) middot-1-0, това е Cos (х₀), израз, който не зависи от това Delta -x, с тенденция към 0. Оттук и заключението следва: производното на синуса на всеки ъгъл х е равно на косинуса на x, пишем го, както следва: yrsquo- = Cos (x).

Получената формула се вписва в известната таблица на деривати, където всички елементарни функции

При решаване на проблемите, при които се получава производното на синуса, може да се използва правилата за диференциация и готови формули от масата. Например: намерете производната на най-простата функция y = 3middot-Sin (x) -15. Използваме елементарните правила за диференциация, отстраняването на числовия коефициент зад знака на деривата и изчисляването на производното на постоянен номер (то е нула). Прилагаме табличната стойност на производното на синуса на ъгъла x, равно на Cos (x). Получаваме отговора: y `= 3middot-Cos (x) -O. Това производно, от своя страна, също е елементарна функция y = 3mdot-cos (x).

Производството на синуса е квадратно от всеки аргумент

При изчисляването на този израз (Sin²(x)), е необходимо да си припомним как се различава сложната функция. Така че, y = Sin²(x) е функция за захранване, тъй като синусите са квадратни. Неговият аргумент също е тригонометрична функция,сложен аргумент. Резултатът в този случай е равен на продукта, чийто първи фактор е производното на квадрата на дадения комплексен аргумент, а вторият е производното на синуса. Ето как изглежда правилото за диференциране на функция на функция: (u (v (x))) `е (u (v (x))) middot- (v (x)). Изразът v (x) е сложен аргумент (вътрешна функция). Ако функцията "igrok е равна на синуса в квадрата x", тогава производната на тази комплексна функция ще бъде y `= 2middot-Sin (x) middot-Cos (x). В продукта първият удвоен множител е производното на известната функция за захранване, а Cos (x) е производното на синуса, аргумент на сложна квадратна функция. Крайният резултат може да се трансформира чрез тригонометрична синусова формула с двоен ъгъл. Отговор: производната е Sin (2middot-x). Тази формула е лесно запомнена, често се използва като табличен.