Двоен интеграл. Задачи. свойства

Проблеми, които водят до понятието "двоен интеграл".

1. Да предположим, че в равнината е дадена планарна плоча, във всяка точка от която е известна плътността. Трябва да намерим масата на тази чиния. Тъй като тази плоча има ясни размери, тя може да бъде затворена в правоъгълник. Плътността на плочата може да се разбира и по следния начин: в онези точки от правоъгълника, които не принадлежат към плочата, предполагаме, че плътността е нула. Определяме еднакво разделение на равен брой частици. По този начин, дадена форма ще бъде разделена на елементарни правоъгълници. Помислете за един от тези правоъгълници. Избираме всяка точка от този правоъгълник. Поради малкия размер на такъв правоъгълник, ние ще приемем, че плътността във всяка точка на дадения правоъгълник е постоянна стойност. Тогава масата на такава правоъгълна частица ще бъде определена като умножаване на плътността в тази точка от областта на правоъгълника. Районът, както знаете, е умножението на дължината на правоъгълника по ширината. И на координатната равнина - тази промяна с някаква стъпка. Тогава масата на цялата плоча ще бъде сумата от масите на такива правоъгълници. Ако отидем до границата в такава връзка, тогава можем да получим точна връзка.
2. Ние определяме пространствено тяло, което е ограничено от произхода и функцията. Необходимо е да се намери обемът на посоченото тяло. Както и в предишния случай, разделяме областта на правоъгълници. Ще приемем, че в точки, които не принадлежат към домейна, функцията ще бъде 0. Обмислете един от правоъгълните дялове. Чрез страните на този правоъгълник теглим равнини, които са перпендикулярни на абсцисата и координатните оси. Получаваме паралелепипед, който е ограничен отдолу от равнината по отношение на оста на апликатора и отгоре с функцията, определена в състоянието на проблема. Избираме точка в средата на правоъгълника. Поради малкия размер на този правоъгълник, можем да приемем, че функцията в този правоъгълник има постоянна стойност и след това можете да изчислите обема на правоъгълника. А обемът на цифрата ще бъде равен на сумите от всички обеми на такива правоъгълници. За да получите точната стойност, трябва да отидете до границата.

Както може да се види от поставените проблеми, във всеки пример стигаме до извода, че различни проблеми водят до разглеждане на двойни суми от същия тип.

Свойства на двойния интеграл.

Нека да поставим проблема. Да предположим, че в определен затворен регион е дадена функция от две променливи и дадената функцията е непрекъсната. Тъй като областта е ограничена, можете да я поставите във всеки правоъгълник, който напълно съдържа свойствата на точката на дадената област. Разделим правоъгълника на равни части. Ние наричаме диаметъра на разчупването на най-големия диагонал от получените правоъгълници. Сега избираме точка в границите на един такъв правоъгълник. Ако намерим стойност в този момент, за да добавим сумата, тогава такава сума ще бъде наречена интегрална за дадена функция в дадена област. Намираме границата на такава неразделна сума при условията, при които диаметърът на разбивката следва до 0, а броят на правоъгълниците до безкрайност. Ако такава граница съществува и не зависи от това как регионът е разделен на правоъгълници и от избора на точка, тогава той се нарича двоен интеграл.

Геометричното съдържание на двойния интеграл: двойният интеграл е цифрово равен на обема на тялото, който е описан в Проблем 2.

Знаейки двойния интеграл (определение), можете да зададете следните свойства:

1. Константата може да се изведе извън интегралния знак.
2. Интегралът на сумата (разликата) е равен на сумата (разликата) на интегралите.
3. От функциите, по-малко е този, чийто двоен интеграл е по-малък.
4. Модулът може да бъде въведен под двойния интегрален знак.