Линейни и хомогенни диференциални уравнения от първи ред. Примери за решения

Мисля, че трябва да започнем с историята на такъв великолепен математически инструмент като диференциални уравнения. Подобно на всички диференциални и интегрални камъни, тези уравнения бяха изобретени от Нютон в края на 17 век. Той счита, че това много откритие е толкова важно, че дори криптира посланието, което днес може да бъде преведено така: "Всички закони на природата са описани с диференциални уравнения". Може да изглежда като преувеличение, но всичко е вярно. Всеки закон на физиката, химията, биологията може да бъде описан от тези уравнения.

Огромен принос за развитието и създаването на теорията на диференциалните уравнения е направен от математиците Euler и Lagrange. Още през 18 век откриват и развиват това, което сега се изучава в старши университетски курсове.

Нов крайъгълен камък в изследването на диференциалните уравнения започна с Анри Пойнкере. Той създава "качествена теория на диференциалните уравнения", която в комбинация с теорията на функциите на една сложна променлива направи значителен принос за основаването на топологията - науката за пространството и неговите свойства.

Какви са диференциалните уравнения?

Много от тях се страхуват от една фраза "диференциално уравнение". В тази статия обаче ще опишем цялата същност на този много полезен математически апарат, който всъщност не е толкова сложен, колкото изглежда от заглавието. За да започнем да говорим за диференциални уравнения от първи ред, човек трябва първо да се запознае с основните понятия, които по своята същност са свързани с това определение. И ние ще започнем с диференциала.

диференциал

Много хора знаят тази концепция от училище. Ще разгледаме обаче по-подробно. Представете си функционална графика. Можем да го увеличим до такава степен, че някой от неговите сегменти да има формата на права линия. На нея вземаме две точки, които са безкрайно близки една с друга. Разликата в координатите им (x или y) е безкрайна. Тя се нарича диференциал и се обозначава със знаците dy (разликата от y) и dx (разликата между x). Много е важно да се разбере, че разликата не е ограничено количество и това е нейното значение и основна функция.

И сега трябва да разгледаме следния елемент, който е полезен за обясняване на концепцията за диференциално уравнение. Това е производно.

Производството

Ние всички вероятно сме чували в училище и тази концепция. Казва се, че дериватът е скоростта на растеж или намаляване на функцията. Обаче голяма част от това определение става непонятно. Нека се опитаме да обясним дериватите чрез диференциала. Нека да се върнем към безкрайно малка част от функцията с две точки, които са на минимално разстояние една от друга. Но дори и за това разстояние функцията има време да се промени до известна степен. И да опишем тази промяна и да излезем с дериват, който иначе може да бъде написан като съотношението на разликите: f (x) `= df / dx.

Сега трябва да разгледаме основните свойства на деривата. Има само три от тях:

1. Производно сума или разликата може да бъде представена като сумата или разликата на производни: (А + В) `= а` + Ь `и (а-б)` = а`-б ".
2. Втората собственост е свързана с умножаването. Производственото производно е сумата от продуктите на една функция върху производното на другото: (a * b) `= a` * b + a * b `.
3. Производството на разликата може да бъде написано под формата на следното уравнение: (a / b) `= (a` * b-a * b `) / b².

Всички тези свойства са полезни за намиране на решения на диференциални уравнения от първи ред.

Съществуват и частични деривати. Да предположим, че имаме функция z, която зависи от променливите x и y. За да изчислим частичното производно на тази функция, да речем, по отношение на x, трябва да вземем променливата y като константа и просто да различим.

интеграл

Друга важна концепция е интегралът. Всъщност това е директната противоположност на производното. Интегралите са от няколко типа, но за решаване на най-простите диференциални уравнения се нуждаем от най-незначителните неопределени интеграли.

И така, Какво е неразделна част? Да предположим, че имаме определена зависимост на f върху x. Взимаме от него интеграла и получаваме функцията F (x) (често наричана антидеривативна), чието производно е равно на първоначалната функция. По този начин F (x) `= f (x). Също така следва, че интегралът на производното е равен на първоначалната функция.

Когато решаваме диференциални уравнения, много е важно да разберем смисъла и функцията на интеграла, тъй като често е необходимо да ги вземем, за да намерим решение.

Уравненията са различни в зависимост от естеството им. В следващия раздел ще разгледаме видовете диференциални уравнения от първи ред и ще научим как да ги решим.

Класове диференциални уравнения

"Дифузорите" се разделят според реда на дериватите, участващи в тях. По този начин има първи, втори, трети или повече. Те могат да бъдат разделени на няколко класа: обикновени и частични производни.

В тази статия разглеждаме обикновените диференциални уравнения от първи ред. Примери и методи за решаването им ще бъдат обсъдени и в следващите раздели. Ще разгледаме само ODE, защото това са най-често срещаните видове уравнения. Обикновените са разделени на подвидове: с отделими променливи, хомогенни и хетерогенни. След това ще научите как се различават един от друг и научете как да ги решите.

В допълнение, тези уравнения могат да се комбинират така, че след като получим система от диференциални уравнения от първи ред. Ще разгледаме подобни системи и ще се научим как да ги решим.

Защо смятаме само за първата поръчка? Защото трябва да започнете с една проста и просто е невъзможно да опишете всичко свързано с диференциални уравнения в една статия.

Уравнения с отделими променливи

Това са може би най-простите диференциални уравнения от първи ред. Те включват примери, които могат да бъдат написани като: y `= f (x) * f (y). За решаването на това уравнение се нуждаем от формулата за представяне на производното като съотношение на диференциала: y `= dy / dx. С помощта на него получаваме следното уравнение: dy / dx = f (x) * f (y). Сега можем да се обърнем към метода за решаване на стандартни примери: разделяме променливите на части, т.е. ние прехвърляме всичко от променливата y на частта, в която се намира dy, а ние също така правим това с променливата x. Получаваме уравнение с формата dy / f (y) = f (x) dx, което се решава чрез вземане на интеграли от двете страни. Не забравяйте за константата, която трябва да бъде зададена след като сте взели интеграла.

Решението на всеки "дифузьор" е функция на зависимостта на x от y (в нашия случай) или, ако има числово състояние, тогава отговорът е под формата на число. Нека да анализираме на конкретен пример целия ход на решението:

y `= 2y * sin (х)

Прехвърляме променливите в различни посоки:

dy / y = 2 * sin (х) dx

Сега вземаме интегралите. Всички те могат да бъдат намерени в специална таблица на интегралите. И получаваме:

ln (у) = -2 * cos (x) + C

Ако е необходимо, можем да изразим "yorek" като функция на "X". Сега можем да кажем, че нашето диференциално уравнение се решава, ако условието не е дадено. Може да се уточни едно условие, например y (n / 2) = e. Тогава просто заместваме стойността на тези променливи в решението и намираме стойността константа. В нашия пример е 1.

Хомогенни диференциални уравнения от първи ред

Сега отидете на по-сложната част. Хомогенните диференциални уравнения от първи ред могат да бъдат написани в общата форма, както следва: y `= z (x, y). Трябва да се отбележи, че правилната функция на две променливи е хомогенна и не може да бъде разделена на две зависимости: z от x и z от у. За да се провери дали уравнението е хомогенно или не, то е съвсем просто: правим замяната x = k * x и y = k * y. Сега изрязваме всички k. Ако всички тези букви са намалени, уравнението е хомогенно и можете спокойно да продължите да го решавате. Да вървим напред, да кажем: принципът за решаване на тези примери също е много прост.

Трябва да направим замяна: y = t (x) * x, където t е функция, която също зависи от x. След това можем да изразим производното: y `= t` (x) * x + t. Заменяйки всичко това в първоначалното уравнение и го опростяваме, получаваме пример с разделящите променливи t и x. Разрешаваме го и получаваме зависимостта t (x). Когато го получихме, просто заместваме y = t (x) * x в предишното ни заместване. След това получаваме зависимостта на y от x.

За да стане по-ясно, нека вземем пример: x * y `= y-x * e^{y / x}.

При проверка с подмяна всичко се намалява. Следователно, уравнението е наистина хомогенно. Сега правим друга замяна, за която говорихме: y = t (x) * x и y `= t` (x) * x + t (x). След опростяване получаваме следното уравнение: t `(x) * x = -e^т. Решаваме получения пример с отделни променливи и получаваме: e^-т= ln (С * х). Остава само да заменим t с y / x (защото ако y = t * x, тогава t = y / x) и получаваме отговора: e^{-y / x}= ln (х * С).

Линейни диференциални уравнения от първи ред

Време е да обмислим друга широка тема. Ще анализираме нехомогенни диференциални уравнения от първи ред. Как се различават от предишните две? Нека да го разберем. Линейни диференциални уравнения от първи ред могат да бъдат написани в обща форма чрез следното уравнение: y `+ g (x) * y = z (x). Струва си да се изясни, че z (x) и g (x) могат да бъдат постоянни величини.

А сега пример: y `- y * x = x².

Има два начина за решаване и ние ще се справим и с двата по ред. Първият е методът на изменение на произволни константи.

За да се реши уравнението по този начин, първо е необходимо да се пресметне дясната страна до нула и да се реши съответното уравнение, което след прехвърлянето на частите ще има формата:

y `= y * x;

dy / dx = y * x;

dy / y = xdx;

ln | y | = x²/ 2 + С;

y = e^{x2 / 2}* у^C= С₁* д^{x2 / 2}.

Сега трябва да заменим константата С₁ на функцията v (x), която трябва да намерим.

y = v * e^{x2 / 2}.

Ние ще заместим дериватите:

y `= v` * e^{x2 / 2}-x * v * e^{x2 / 2}.

И ние заместваме тези изрази в първоначалното уравнение:

v `* e^{x2 / 2} - x * v * e^{x2 / 2} + x * v * e^{x2 / 2} = х².

Може да се види, че от лявата страна се отменят два термина. Ако в някой пример това не се случи, тогава сте направили нещо нередно. Да продължим:

v `* e^{x2 / 2} = х².

Сега решаваме обичайното уравнение, в което трябва да отделим променливите:

д / дх = х²/ д^{x2 / 2};

dv = х²* д^{-x2 / 2}DX.

За да извлечем интеграла, ще трябва да приложим интегрирането по части. Това обаче не е темата на нашата статия. Ако се интересувате, можете да научите как да го направите сами. Не е трудно и с достатъчно умение и внимание не отнема много време.

Нека се обърнем към втория метод за решаване на нехомогенни уравнения: методът Бернули. Кой подход е по-бърз и по-лесен - зависи от вас.

Така че, когато решаваме уравнението чрез този метод, трябва да направим заместване: y = k * n. Тук k и n са някои функции в зависимост от x. След това производното ще изглежда така: y `= k` * n + k * n `. Ние заместваме двете замествания в уравнението:

k `* n + k * n` + x * k * n = x².

Група нагоре:

k `* n + k * (n` + x * n) = x².

Сега трябва да се равнява на нула какво е в скоби. Сега, ако комбинираме двете получени уравнения, получаваме система от диференциални уравнения от първи ред, които трябва да бъдат решени:

n `+ х * п = 0;

k `* n = х².

Първото уравнение се решава като обикновено уравнение. За да направите това, трябва да отделите променливите:

dn / dx = x * v;

dn / n = xdx.

Взимаме интеграла и получаваме: ln (n) = x²/ 2. Тогава, ако изразим n:

n = e^{x2 / 2}.

Сега заместваме полученото равенство във второто уравнение на системата:

k `* e^{x2 / 2}= х².

И трансформираме, получаваме същото равенство като в първия метод:

dk = x²/ д^{x2 / 2}.

Също така няма да разглобяваме други действия. Струва си да се каже, че първоначално решението на диференциални уравнения от първи ред причинява значителни трудности. Въпреки това, с по-дълбоко потапяне в темата, тя започва да става по-добра и по-добра.

Къде са използваните диференциални уравнения?

Много динамични уравнения се използват във физиката, тъй като почти всички основни закони са написани в диференциална форма, а формулите, които виждаме, са решаването на тези уравнения. В химията те се използват по същата причина: основните им закони са получени с тяхна помощ. В биологията диференциалните уравнения се използват за моделиране на поведението на системите, например хищник-плячка. Те могат да бъдат използвани и за създаване на модели на размножаване, да речем колония от микроорганизми.

Как ще помогнат диференциалните уравнения в живота?

Отговорът на този въпрос е прост: няма начин. Ако не сте учен или инженер, е малко вероятно да ги използвате. Въпреки това, за цялостно развитие, не боли да знаем какво е диференциално уравнение и как то е решено. И тогава въпросът на сина или дъщеря "какво е диференциално уравнение?" Не си поставяй в задънена улица. Е, ако сте учен или инженер, разбирате важността на тази тема във всяка наука. Но най-важното е, че сега въпросът "как да се реши диференциалното уравнение на първия ред?" винаги можете да дадете отговор. Съгласете се, винаги е приятно, когато разберете какво хората дори се страхуват да разберат.

Основните проблеми в изследването

Основният проблем при разбирането на тази тема е слабото умение за интегриране и диференциране на функциите. Ако не вземате деривати и интеграли зле, тогава вероятно си струва да се научите, да овладеете различни методи на интеграция и диференциация и само тогава да започнете да изучавате материалите, описани в статията.

Някои хора са изненадани, когато научат, че dx може да бъде прехвърлен, защото по-рано (в училище) се твърди, че фракцията dy / dx е неделима. Тук трябва да прочетете литературата за производното и да разберете, че това е съотношението на незначителни количества, които могат да бъдат манипулирани при решаване на уравненията.

Много хора не осъзнават веднага, че решаването на диференциални уравнения от първи ред често е функция или не-интегрална интегрална и тази заблуда им дава много проблеми.

Какво друго може да бъде проучено за по-добро разбиране?

Най-добре е да започнете по-нататъшно потапяне в света на диференциалното смятане от специализирани учебници, например в математически анализ за студенти по нематематически специалности. След това можете да отидете в по-специализирана литература.

Струва си да се отбележи, че в допълнение към диференциалните уравнения има и интегрални уравнения, така че винаги ще имате за какво да се стремите и какво да изучавате.

заключение

Надяваме се, че след като прочетете тази статия, имате представа за това какви диференциални уравнения са и как да ги решите правилно.

Във всеки случай математиката по никакъв начин е полезна за нас в живота. Тя развива логика и внимание, без която всеки човек е като без ръце.