Диференциално калкулиране на функция на една и няколко променливи

Диференциалното смятане е част от математическия анализ, който проучва производните, диференциалите и тяхното използване в изследването на функциите.

История на външния вид

Диференциално смятане очертава като независима дисциплина през втората половина на 17-ти век, благодарение на работата на Нютон и Лайбниц, който формулира основните положения при изчисляването на диференциали и забелязах връзката между интеграция и диференциация. От този момент дисциплината се развива заедно с смятането на интегралите, като по този начин формира основата на математическия анализ. Появата на тези камъни откри нов модерен период в математическия свят и предизвика появата на нови дисциплини в областта на науката. Също така разшири възможността за прилагане на математически науки в природните науки и технологии.

Основни понятия

Диференциалното смятане се основава на основните понятия на математиката. Те са: реален номер, непрекъснатост, функция и ограничение. След известно време те се възползваха от съвременния вид, благодарение на интегралния и диференциалния смятател.

Процес на създаване

Формирането на диференциално смятане под формата на приложен и след това на научен метод се случи преди появата на философската теория, създадена от Николай Кузански. Неговата работа се смята за еволюционно развитие от преценките на древната наука. Въпреки факта, че самият философ не е математик, неговият принос за развитието на математическата наука е неоспорим. Кузански е един от първите, който оставя вниманието на аритметиката като най-точната област на науката, поставяйки под съмнение математиката от това време.

В древните математици универсалният критерий е единица, а философът предлага като нова мярка безкрайност на мястото на точния брой. В тази връзка представянето на точността в математическата наука е обърнато. Научното познание, според него, е разделено на рационално и интелектуално. Вторият е по-точен, според учения, тъй като първият дава приблизителен резултат.

идея

Основната идея и концепция в диференциалното смятане са свързани с функцията в малките квартали на определени точки. За тази цел е необходимо да се създаде математически апарат за изследване на функция, чието поведение в малък квартал на установените точки е близко до поведението на полином или линейна функция. Това се основава на дефиницията на деривата и разликата.

Появата на концепцията за деривати е причинена от голям брой проблеми от природните науки и математиката, които доведоха до намирането на стойности на границите от един вид.

Една от основните задачи, дадени като пример, като се започне от гимназиалните класове, е да се определи скоростта на дадена точка в права линия и да се конструира допирателна линия към тази крива. Разликата е свързана с това, тъй като е възможно да се сближи функцията в малък квартал на точката на въпросната линейна функция.

В сравнение с концепцията за производно функциите на една истинска променлива, определението на диференциала просто преминава към функция от общ характер, по-специално към образа на едно евклидово пространство върху друго.

Производството

Нека точката да се движи по посоката на оста Oy, като вземем x, което се измерва от определено начало на момента. Можем да опишем това преместване с помощта на функцията y = f (x), която е свързана с всеки момент x на координатата на преместената точка. Тази функция в механиката трябва да се нарича закон на движението. Основната характеристика на движението, по-специално неравномерното, е моментна скорост. Когато точката се движи по оста Oy в съответствие със закона на механиката, тогава в случайно време x получава координата f (x). В момента момент x + Делта-х, където Delta-x означава нарастването на времето, неговият кадинат ще бъде f (x + Delta-х). Така че формулата се формира Делта-у = f (х + Delta-x) -f (x), която се нарича увеличение на функцията. Това е път, преминаващ във време от х до x + Delta-х.

Във връзка с появата на тази скорост се въвежда производно в момента. При произволна функция производното на фиксирана точка се нарича лимит (при условие на съществуването му). Тя може да бъде обозначена с определени символи:

frsquo- (x), yrsquo, ý, df / dx, dy / dx, Df (x).

Процесът на изчисляване на производното се нарича диференциация.

Диференциално смятане на функция на няколко променливи

Този метод на изчисление се използва при изследването на функция с няколко променливи. При наличието на две променливи х и у, частичното производно по отношение на х в точката А се нарича производно на тази функция по отношение на х с фиксиран у.

Може да се обозначи със следните знаци:

(x) (x, y), ursquo- (x), част-u / част-х или част-f (x, y) rsquo- / част-х.

Изисквани умения

За да се усвоят успешно и да успеят да решат дифузорите, се изискват умения за интеграция и диференциация. За да се улесни разбирането на диференциалните уравнения, трябва добре да се разбере предметът на производното и неопределен интеграл. Също така не боли да се научим как да търсим производно на имплицитна функция. Това се дължи на факта, че в процеса на изучаване често е необходимо да се използват интеграли и диференциация.

Видове диференциални уравнения

Практически във всички контролни работи, свързани с диференциални уравнения от първи ред, има 3 вида уравнения: хомогенни, с отделими променливи, линейни нехомогенни.

Съществуват и по-редки разновидности на уравненията: с пълни диференции, уравнения на Бернули и други.

Основи на решението

Първо трябва да помним алгебричните уравнения от курса на училището. Те съдържат променливи и числа. За да се реши обикновеното уравнение, е необходимо да се намери набор от номера, отговарящи на дадено условие. Като правило тези уравнения имат само един корен и за да се провери правилността, е необходимо само да се замени тази стойност за мястото на неизвестното.

Диференциалното уравнение е подобно на това. В общия случай това уравнение от първи ред включва:

• Независима променлива.
• Производството на първата функция.
• Функция или зависима променлива.

В някои случаи една от неизвестните, х или у може да отсъства, но това не е толкова важно, тъй като изисква наличието на първото производно, без производни от по-високи порядъци, така че решението и диференциалното смятане да са правилни.

За да се реши диференциално уравнение е да се намери набор от всички функции, които отговарят на даден израз. Такъв набор от функции често се нарича общо решение на DW.

Интегрално смятане

Интегралното смятане е една от секторите на математическия анализ, който изучава концепцията за интеграл, свойствата и методите за нейното изчисление.

Често изчисляването на интеграла възниква при изчисляване на площта на криволинейна фигура. С тази област се има предвид границата, в която областта на полигона, вписана в дадена фигура, постепенно увеличава своята страна, докато тези страни могат да бъдат изпълнени по-малко от която и да е предварително определена произволна малка стойност.

Основната идея при изчисляването на площта на произволна геометрична фигура е да се изчисли площта на правоъгълник, т.е. да се докаже, че нейната площ е равна на продукта от дължина и ширина. Що се отнася до геометрията, тогава всички конструкции се правят с помощта на владетел и компас, а съотношението дължина към ширина е рационална стойност. Когато изчислявате областта на правоъгълен триъгълник, можете да определите, че ако поставите същия триъгълник до него, се оформя правоъгълник. В паралелограма площта се изчислява по подобен, но малко по-сложен метод чрез правоъгълник и триъгълник. В полигоните площта се брои чрез триъгълниците, които влизат в нея.

При определянето на милостта на произволна крива този метод не работи. Ако го разделите на единични квадратчета, ще има празни интервали. В този случай опитайте да използвате две капаци, с правоъгълници отгоре и отдолу, в резултат на което те включват функционална графика и не включват. Важно е начинът да се счупят тези правоъгълници. Също така, ако вземем все повече и повече разбивки, тогава зоната отгоре и отдолу трябва да се приближи до определена стойност.

Необходимо е да се върнем към метода на разделяне на правоъгълници. Има два популярни метода.

Риман формализира дефиницията на интеграла, създаден от Leibniz и Newton като област на субграфията. В този случай ние разгледахме форми, състоящи се от редица вертикални правоъгълници и получени чрез разделяне на сегмента. Когато има ограничение за намаляване на счупването, с което се намалява площта на такава цифра, тази граница се нарича Riemann интеграл на функция за даден интервал.

Вторият метод е да се конструира Lebesgue неразделна, състоящ се в това, че на мястото на разделяне определена зона на част от подинтегрален и съставяне тогава неразделна сумата на стойностите, получени в тези части на интервали разделени своя обхват от стойности, и след това се сумират със съответните мерки обратни снимки на тези интеграли.

Съвременни ползи

Едно от основните наръчници за изследване на диференциално и интегрално смятане е написано от Fichtenholz, "Курсът на диференциално и интегрално смятане". Учебникът му е фундаментална помощ при изучаването на математически анализ, който е издържал на много публикации и преводи на други езици. Създаден за студенти от университета и отдавна е използван в различни образователни институции като един от основните ръководства за обучение. Дава теоретични данни и практически умения. За първи път е публикуван през 1948 г.

Алгоритъм на функционалните изследвания

За да се изследват методите за диференциално смятане, е необходимо да се следва вече дефинирания алгоритъм:

1. Намерете домейна на функцията.
2. Намерете корените на дадено уравнение.
3. Изчислете крайностите. За да направите това, изчислете производното и точките, където то е равно на нула.
4. Заместваме получената стойност в уравнението.

Сортове диференциални уравнения

DU от първи ред (с други думи, диференциално смятане на една променлива) и техните типове:

• Уравнение с разделящи променливи: f (y) dy = g (x) dx.
• Най-простите уравнения или диференциалното смятане на функция на една променлива имат формулата: y `= f (x).
• Линейна нехомогенна DD от първи ред: y `+ P (x) y = Q (x).
• Бенулули диференциално уравнение: y `+ P (x) y = Q (x) y^а .
• Уравнение с общи диференции: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

Диференциални уравнения от втори ред и техните типове:

• Линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни стойности на коефициента: y^п+py `+ qy = 0 p, q принадлежи към R.
• Линейно нехомогенно диференциално уравнение от втори ред с константна стойност на коефициентите: y<sup>п</sup>+пи `+ qy = f (х).
• Линейно хомогенно диференциално уравнение: y^п+p (x) y `+ q (x) y = 0 и нехомогенно уравнение от втори ред: y<sup>п</sup>+p (x) y `+ q (х) у = f (х).

Диференциални уравнения на по-високите поръчки и техните типове:

• Диференциално уравнение, позволяващо намаляване на реда: F (х, у^(К),ш^{(к + 1)},..,ш^(N)= 0.
• Линейното уравнение с по-висок ред е хомогенно: ш^(N)+е_(N-1)ш^(N-1)+...+е₁y `+ f<sub>0</sub>y = 0, и хетерогенни: ш<sup>(N)</sup>+е<sub>(N-1)</sub>ш<sup>(N-1)</sup>+...+е<sub>1</sub>y `+ f₀y = f (х).

Стъпки за решаване на проблем с диференциално уравнение

С помощта на ОУ се решават не само математически или физически въпроси, но и различни проблеми от биологията, икономиката, социологията и т.н. Въпреки голямото разнообразие от теми, следва да се следва една логическа последователност при решаването на такива проблеми:

1. Изготвяне на DM. Един от най-трудните етапи, който изисква максимална точност, тъй като всяка грешка ще доведе до напълно неправилни резултати. Необходимо е да се вземат предвид всички фактори, влияещи върху процеса и да се определят първоначалните условия. Той също така трябва да се основава на факти и логически изводи.
2. Решение на компилираното уравнение. Този процес е по-прост, отколкото първата, тъй като изисква строго изпълнение на математически изчисления.
3. Анализ и оценка на резултатите. Полученото решение трябва да бъде оценено, за да се установи практическата и теоретичната стойност на резултата.

Пример за използването на диференциални уравнения в медицината

Използването на DM в областта на медицината се среща при изграждането на епидемиологичен математически модел. Освен това не бива да забравяме, че тези уравнения се срещат и в биологията и химията, които са близки до медицината, защото е важно да се изследват различните биологични популации и химични процеси в човешкото тяло.

В случай на епидемия може да се обмисли разпространението на инфекция в изолирано общество. Жителите са разделени на три вида:

• Заразено, число х (t), състоящо се от индивиди, носители на инфекция, всяка от които е заразна (инкубационният период е кратък).
• Вторият вид включва податливи индивиди от y (t), способни да се свиват, когато са в контакт с заразените.
• Третият вид включва невъзприемчиви индивиди z (t), които са имунни или са починали поради заболяване.

Броят на лицата е постоянен, данните за раждането, естествените смъртни случаи и миграцията не се вземат под внимание. В основата ще има две хипотези.

Процент заболяване в даден момент точка е равна на х (Т) у (т) (на базата поемане на теорията, че броят на случаите пропорционално на броя на пресичане между пациентите и реагиращи членове, които в първо приближение е пропорционална на х (Т) у (т)), в Поради това броят на случаите се увеличава и броят на възприемчивите намалява със скоростта, която се изчислява по формулата ax (t) y (t) (a> 0).

Броят на нечувствителните лица, придобили имунитет или умрели, нараства с пропорция, съответстваща на броя на случаите bx (t) (b> 0).

В резултат на това е възможно да се състави система от уравнения, като се вземат под внимание и трите показателя и се направят заключения на базата.

Пример за използване в икономиката

Диференциалното смятане често се използва в икономическия анализ. Основната задача в икономическия анализ е изследването на количества от икономиката, които са написани под формата на функция. Това се използва за решаване на проблеми като промени в дохода непосредствено след увеличаването на данъците, въвеждане на задължения, промени в приходите на компанията при промяна на стойността на производството, в каква степен заменените служители могат да бъдат заменени с ново оборудване. За да се решат такива въпроси, се изисква да се изгради функция на връзката от входящите променливи, които след това се изследват чрез диференциално смятане.

В икономическата сфера често е необходимо да се намерят най-оптималните показатели: максимална производителност на труда, най-висок доход, най-ниски разходи и т.н. Всеки такъв индикатор е функция на един или повече аргументи. Например производството може да се разглежда като функция на разходите за труд и капитал. В тази връзка намирането на подходяща стойност може да бъде намалено до намиране на максималната или минималната функция от една или няколко променливи.

Такива проблеми създават клас от крайни проблеми в икономическата област, за които е необходимо диференциално смятане. Когато се изисква икономически индикатор за свеждане до минимум или увеличите, като функция на други параметри, максималната точка функцията съотношение нарастване на аргументите, ще са склонни към нула, ако нарастването на аргумента клони към нула. В противен случай, когато подобно отношение има тенденция към някаква положителна или отрицателна стойност, определената точка не е подходяща, защото с увеличаването или намаляването на аргумента е възможно да се промени зависимата стойност в необходимата посока. В терминологията на диференциалното смятане това означава, че необходимото условие за максимума на функцията е нулевата стойност на нейното производно.

В икономиката често има проблеми с намирането на екстремум на функция с няколко променливи, защото икономическите показатели са съставени от много фактори. Подобни въпроси са добре проучени в теорията на функциите на няколко променливи, като се използват методи на диференциално изчисление. Такива задачи включват не само максимизирани и минимизирани функции, но и ограничения. Подобни въпроси се отнасят до математическото програмиране и те се решават с помощта на специално разработени методи, които също се основават на тази част от науката.

Сред методите на диференциално смятане, използвани в икономиката, важен раздел е маргиналния анализ. В икономическата сфера този термин се отнася до набор от методи за изучаване на променливи показатели и резултати при промяна на обемите на създаване, потребление въз основа на анализ на техните граници. Лимитиращият индекс е деривативният или частичните деривати с няколко променливи.

Диференциалното смятане на няколко променливи е важна тема от областта на математическия анализ. За подробно проучване могат да се използват различни учебни помагала за висшите учебни заведения. Един от най-известните създадени Fichtenholz - "Курсът на диференциално и интегрално смятане". Както става ясно от заглавието, уменията за работа с интеграли са от голямо значение за решаване на диференциални уравнения. Когато се осъществи диференциалното смятане на функция на една променлива, решението става по-лесно. Въпреки, че трябва да се отбележи, той се подчинява на едни и същи основни правила. За да се практикува функцията при диференциално смятане, е достатъчно да се следва вече наличния алгоритъм, който се дава в горните степени на училището и е малко по-сложен при въвеждане на нови променливи.