Пълно изследване на функцията и диференциално смятане

Като задълбочени знания в характеристиките, че определени въоръжен с достатъчно инструмент да се извърши пълно изследване специално математически предварително определени модели под формата на формула (функция). Разбира се, може да се стигне до най-простия, но усърден начин. Например, укажете границите на аргумента, изберете интервал, изчислете стойностите на функцията върху него и зачертайте графиката. С мощни съвременни компютърни системи този проблем се решава за секунди. Но отстранете от арсенала си пълен функционални изследвания математиците не бързат, защото тези методи могат да се използват за оценка на верността на работата на компютърните системи при решаването на подобни проблеми. При механичната конструкция на графиката не можем да гарантираме точността на посочения по-горе интервал при избора на аргумента.

И само след пълно разследване на функцията, можете да бъдете сигурни, че взема под внимание всички нюанси на "поведение" себе си не е на интервал на вземане на проби, както и на цялата гама от аргументи.

За да се реши голямо разнообразие от проблеми в областта на физиката, математиката и технологиите, е необходимо да се проведе проучване функционална зависимост между променливите, участващи в разглежданото явление. Последното, дадено аналитично от един или няколко формули, ни позволява да провеждаме изследвания, използвайки методи на математически анализи.

За да се извърши пълно изследване на функцията, е да се открият и определят областите, на които тя се увеличава (намалява), където достига максимално (минимално), както и други характеристики на графика.

Има определени схеми, по които да се извърши пълно проучване на функцията. Примери за проведени математически изследвания са сведени до намирането на почти идентични моменти. Приблизителният план за анализ включва следните проучвания:

- да намерят домейна на дефиницията на функцията, да разследват поведението в границите си;

- намираме точките на прекъсване с класификацията чрез едностранни ограничения;

- ние определяме асимптоти;

- ние откриваме extreum точки и интервали на монотонност;

- Определяме точките на инфлекция, интервали на вдлъбнатина и изпъкналост;

- ние извършваме изграждането на графиката въз основа на резултатите, получени в хода на проучването.

Когато разглеждаме само някои от елементите в този план, трябва да се отбележи, че диференциалното смятане се оказа много успешно средство за разследване на функцията. Съществуват твърде прости връзки между поведението на функцията и характеристиките на нейното производно. За решаването на този проблем е достатъчно да се изчислят първите и вторите деривати.

Помислете за реда на намиране на интервалите на намаляване, увеличаване на функцията, те също така получиха името на интервали на монотонност.

За това е достатъчно да се определи знакът на първия дериват в определен интервал. Ако е постоянно по-голяма от нула на сегмент, тогава можем безопасно да преценим монотонното увеличение на функцията в този диапазон и обратно. Отрицателните стойности на първото производно характеризират функцията като монотонно намаляваща.

Използвайки изчисленото производно, ние определяме секциите на графиката, наречени изпъкнали, както и вдлъбнатините на функцията. Доказва се, че ако в хода на изчисленията има производно непрекъсната функция и отрицателен, това показва изпъкналост, непрекъснатостта на второто производно и неговата положителна стойност показва вдлъбнатина на графиката.

Намирането на момента, когато има промяна на знак във второто производно или части, където той не съществува, показва определението на точката на инфлексия. Това е границата на интервали на изпъкналост и вдлъбнатина.

Пълното разследване на функцията не завършва с горните точки, а използването на диференциално смятане значително опростява този процес. В този случай резултатите от анализа имат максимална степен на надеждност, което дава възможност да се създаде графика, която напълно съответства на характеристиките на изследваните функции.