Неограниченият интеграл. Изчисляване на неопределени интеграли

Един от основните клонове на математическия анализ е интегралното смятане. Тя обхваща най-широката област от обекти, където първата е неопределен интеграл. За да се позиционира, той стои като ключ, който дори и в гимназията разкрива все по-голям брой перспективи и възможности, които описва висшата математика.

вид

На пръв поглед интегралът изглежда съвсем модерен, релевантен, но на практика се оказва, че се е появил през 1800 година Преди новата ера. Отечеството официално се счита за Египет, тъй като не получихме по-ранни доказателства за неговото съществуване. Той, поради липса на информация, през цялото това време се е позиционирал точно като феномен. Той отново потвърди нивото на развитие на науката сред народите от онези времена. Накрая са открити и произведения древни гръцки математици, датиращи от 4 в. пр.н.е. Те описват метод, при който е приложен неопределен интеграл, чиято същност е да се намери обемът или площта на криволинейна фигура (триизмерни и двуизмерни равнини, съответно). Принципът на изчисление се основаваше на разделянето на първоначалната цифра на незначителни компоненти, при условие че обемът (площта) от тях е вече известен. С течение на времето методът нараства, а Архимед го използва, за да открие областта на парабола. Аналогични изчисления в същото време бяха проведени от учени в древен Китай, освен това те бяха напълно независими от гръцките братя в науката.

развитие

На следващия пробив в XI век преди новата ера се превърна работата на арабския учен "комби" Абу Али ал-Басри, който избута границите на вече известни, са били получени от интегралната формула за изчисляване на сумите на сумите и степени от първия до четвъртия, кандидатстващи за този известен за нас метод на математическа индукция.
Умовете на днес се възхищава от древните египтяни създали невероятни паметници без никакви специални инструменти, с изключение на тази на свои ръце, но не е сила, луди учени от не по-малко от времето на чудо? В сравнение с настоящите времена техният живот изглежда почти примитивен, но решението на неопределените интеграли се получава навсякъде и се използва на практика за по-нататъшно развитие.

Следващата стъпка е настъпила през 16 век, когато италианският математик Cavalieri изведе метода на неделимите, който той взе Пиер Ферма. Тези двама души са поставили основата на съвременното интегрално смятане, което е известно в момента. Те са вързани концепции за диференциация и интеграция, които преди са били възприемани като автономни единици. Като цяло, математиката от тези времена беше фрагментирана, част от заключенията съществуваха сами, имайки ограничена сфера на приложение. Пътят на обединяването и търсенето на обща земя беше единственият в този момент, благодарение на съвременния математически анализ имаше възможност да расте и да се развива.

С течение на времето всичко се промени, както и обозначението на интеграла. Като цяло, това е означено от учените, които например, Нютон използва квадратна икона, в която поставя интегрируема функция или просто я поставя до нея. Това несъгласие продължило до 17 век, когато емблематичният учен Готфрид Лайбниц представи символа, който ни беше познат за цялата теория на математическия анализ. Разтегнатият "S" наистина се основава на това писмо латинската азбука, тъй като той обозначава сумата от нераждаемите. Името е дадено на интегралната благодарност на Якоб Бернули след 15 години.

Официално определение

Неопределеният интеграл зависи пряко от дефиницията на антидеривативния, така че го считайте за първи.

Примитивът е функция, обратно на производното, на практика се нарича и примитивен. В противен случай: противодействие на функцията d е функция D, чието производно е v <=> V `= v. Търсенето на антидериватив е изчислението на неопределен интеграл и самият процес се нарича интеграция.

например:

Функцията s (y) = y³, и нейното антидеривативно S (y) = (y⁴/ 4).

Комплектът от всички недедактиви на разглежданата функция е неопределен интеграл и се обозначава както следва: int-v (x) dx.

Тъй като V (x) е просто някакъв примитив на оригиналната функция, се държи следният израз: int-v (x) dx = V (x) + C, където C е константа. Всяка произволна константа се разбира като всяка константа, тъй като нейното производно е нула.

свойства

Свойствата, които неопределен интеграл притежава, се основават на основната дефиниция и свойства на дериватите.
Помислете за ключовите моменти:

• интегралът на производното на примитивата е сам по себе си антидеривативен плюс произволна константа С <=> int-V `(х) dx = V (х) + С;
• Производството на функционалния интеграл е оригиналната функция <=> (int-v (x) dx) `= v (х);
• Константата се изважда от знака на интеграла <=> int-kv (x) dx = kint-v (x) dx, където k е произволна;
• Интегралът, взет от сумата, е еднакво равен на сумата от интегралите <=> int (v (y) + w (y)) dy int-v (y) dy + int-w (y) dy.

От последните две свойства може да се заключи, че неопределеният интеграл е линеен. Благодарение на това имаме: int (kv (y) dy + int-lw (y)) dy = kint-v (y) dy + lint-w (y) dy.

За фиксация разглеждаме примери за решения на неопределени интеграли.

Необходимо е да се намери интеграл ин- (3sinx + 4cosx) dx:

• ин- (3sinx + 4cosx) dx = int-3sinxdx + Int-4cosxdx = 3int-sinxdx + 4int-cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + С = 4sinx - 3cosx + C.

От примера можем да заключим, че не знаем как да решим неопределените интеграли? Просто намерите всички антитипични! И тук са принципите на търсенето по-долу.

Методи и примери

За да решим интеграла, можем да прибегнем до следните методи:

• използвайте готовата таблица;
• интегриране по части;
• интегриране чрез промяна на променлива;
• поддукция под знака на диференциала.

маси

Най-лесният и най-приятният начин. В момента математическият анализ може да се похвали с доста широка таблица, в която са предписани основните формули на неопределени интеграли. С други думи, има шаблони, които са извлечени преди теб и за теб, остава само да ги използваш. Ето списък на основните позиции в таблицата, на които може да се получи почти всеки пример с решение:

• int-0dy = С, където С е константа;
• int-dy = y + C, където C е константа;
• Int-у^пdy = (y^{n + 1}) / (n + 1) + C, където C е константа, а n е ненулево число;
• int- (1 / y) dy = ln | y + C, където С е константа;
• Int-д^шdy = e^ш + С, където С е константа;
• Int-к^шdy = (k^ш/ ln k) + C, където С е константа;
• int-cosydy = siny + C, където C е константа;
• int-sinydy = -cosy + C, където C е константа;
• int-dy / cos²y = tgy + C, където С е константа;
• int-dy / sin²y = -ktgy + C, където С е константа;
• int-dy / (1 + y²) = arctgy + C, където C е константа;
• int-chydy = срамежлив + C, където C е константа;
• int-shydy = chy + C, където C е константа.

Ако е необходимо, вземете няколко стъпки, донесете интеграла на масата и се насладете на победата. например: int-cos (5х2) dx = 1 / 5int-cos (5х-2) d (5х2) = 1/5 х sin (5х-2)

С решение е ясно, че за примерната таблица интеграундът няма множител 5. Ние го добавяме, умножавайки се с 1/5 паралелно, така че общият израз не се променя.

Интегриране по части

Обмислете две функции - z (y) и x (y). Те трябва да бъдат непрекъснато диференцируеми по цялата област на дефиниция. По една от свойствата на диференциация имаме: d (xz) = xdz + zdx. Интегрирайки двете страни на равенството, получаваме: int-d (xz) = int- (xdz + zdx) => zx = int-zdx + INT-XDZ.

Пренаписвайки полученото уравнение, получаваме формула, която описва метода на интеграция по части: int-zdx = zx- INT-XDZ.

Защо е необходимо? Факт е, че някои примери имат възможността да опростят, сравнително казано, да намалят int-zdx to int-xdz, ако последният е близо до табличната форма. Също така, тази формула може да се прилага повече от веднъж, постигайки оптималния резултат.

Как да решаваме неопределени интеграли по този начин:

• е необходимо да се изчисли int- (s + 1) e^2sDS

int- (х + 1) e^2sds = {z = s + 1, dz = ds, у = 1 / 2е^2s, dy = e^2xds} = ((s + 1) д^2s) / 2-1 / 2int-e^2sdx = ((s + 1) e^2s) / 2-е^2s/ 4 + С-

• е необходимо да се изчисли INT-lnsds

int-lnsds = {z = lns, dz = ds / s, y = s, dy = ds} int-s x ds / s = slns - ин-ds = slns -s + C = s (lns-1) + С.

Променлива подмяна

Този принцип на решаване на неопределени интеграли е не по-малко в търсенето, отколкото в предходните две, макар и по-трудно. Методът се състои в следното: нека V (x) е интегралът на някаква функция v (x). В случай че самият интеграл в примера е сложен, има огромен шанс да се обърка и да се обърне погрешно. За да се избегне това, се осъществява преходът от променливата x към z, при който общият израз се визуално опростява, когато се запази зависимостта на z на x.

На математически език изглежда така: int-v (x) dx = int (v) (y)) y `(z) dz = V (z) = V (y^-1(x)), където x = y (z) е пермутация. И, разбира се, обратната функция z = y^-1(x) напълно описва зависимостта и взаимовръзката на променливите. Важна забележка - диференциалната DX задължително се сменя с нов диференциал DZ, тъй като промяната на променливата в неопределен интеграл включва заменяйки я навсякъде, не само в подинтегрален.

например:

• трябва да се намери ин- (s + 1) / (s² + 2s-5) ds

Прилагаме замяната z = (s + 1) / (s²+2s-5). Тогава dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) ds = dz / 2. В резултат на това получаваме следния израз, който е много лесен за изчисляване:

ин- (s + 1) / (s²+2s-5) ds = int- (dz / 2) / z = 1 / 2in | z | + C = 1 / 2in | s²+2s-5 "+ C;

• е необходимо да се намери интеграл Int-2^итед^итеDX

За решението, пренаписваме израза в следната форма:

Int-2^итед^итеds = int- (2е)^итеDS.

Ние обозначаваме с a = 2e (чрез заместване на аргумента тази стъпка не е, все още е), ние даваме на пръв поглед комплексна интегрална част на елементарната таблична форма:

int- (2е)^итеds = инт-а^итеds = a^ите / lna + С = (2е)^ите / ln (2е) + С = 2^итед^ите / ln (2 + lne) + С = 2^итед^ите / (ln2 + 1) + C.

Чертеж под знака на диференциала

Като цяло, този метод на неопределени интеграли е двоен брат на принципа на променливата замяна, но има разлики в процеса на проектиране. Нека разгледаме по-подробно.

Ако (x) dx = V (x) + C и у = z (x), след това int-v (y) dy = V (y) + C.

В същото време не трябва да забравяме тривиалните интегрални трансформации, сред които:

• dx = d (x + a), където a е всякаква константа;
• dx = (1 / a) d (ax + b), където a отново е константа, но не равна на нула;
• xdx = 1 / 2d (х² + б);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

Ако разгледаме общия случай, когато изчисляваме неопределен интеграл, примерите могат да бъдат намалени до общата формула w `(x) dx = dw (x).

примери:

• трябва да се намери int- (2s + 3)²ds, ds = 1/2d (2s + 3)

int- (2s + 3)²ds = 1 / 2int- (2s + 3)²d (2s + 3) = (1/2) х ((2s + 3)²) / 3 + С = (1/6) х (2s + 3)² + С;

int-tgsds = int-sin / cossds = int-d (coss) / coss = -ln | coss | + C.

Онлайн помощ

В някои случаи вината, която може да бъде или мързел, или спешна нужда, можете да използвате онлайн съвети или по-скоро да използвате калкулатора на несигурни интеграли. Въпреки цялата очевидна сложност и противоречие на интегралите, тяхното решение е предмет на определен алгоритъм, който е изграден на принципа "ако не ..., а след това ...".

Разбира се, по-специално сложни примери за такъв калкулатор няма да се овладеят, тъй като има случаи, в които на решение, трябва да се намери изкуствено "принуден" чрез въвеждане на определени елементи в процеса, тъй като резултатите са очевидни начини за достигане. Въпреки всички противоречия на това твърдение, вярно е, тъй като математиката по принцип е абстрактна наука и смята, че нейната основна задача е да разшири границите на възможностите. Наистина, за плавно движение-в теориите е много трудно да се движи нагоре и да се развива, така че не се предположи, че примерите за решаване на неопределени интеграли, които са ни дали - това е височината на възможности. Нека обаче да се върнем към техническата страна на въпроса. Най-малко за да проверите изчисленията, можете да използвате услугите, в които е написано всичко пред нас. Ако има нужда от автоматично изчисляване на комплексен израз, тогава те не могат да направят, ще трябва да прибегне до по-сериозен софтуер. Струва си да обърнете внимание преди всичко на околната среда MatLab.

приложение

Решението на неопределените интеграли на пръв поглед изглежда напълно разведено от реалността, тъй като е трудно да се видят очевидните самолети на прилагане. Всъщност те не могат да се използват директно никъде, но се считат за незаменим междинен елемент в процеса на намиране на решения, които се използват на практика. По този начин интеграцията е обратно диференцирана, поради което тя активно участва в процеса на решаване на уравнения.
На свой ред тези уравнения имат пряко въздействие върху решаването на механичните проблеми, изчисляването на траекторията и топлопроводимостта - накратко, всичко, което съставлява настоящето и формира бъдещето. Неограниченият интеграл, примерите, които разгледахме по-горе, е тривиален само на пръв поглед, тъй като той е основа за все повече и повече нови открития.