Какво е равенството? Първият знак и принципите на равенство

"Равенството" е тема, която учениците все още са в основното училище. Тя също така придружава нейните "неравенства". Тези две понятия са тясно взаимосвързани. В допълнение, те са свързани с такива термини като уравнения, идентичности. И така, какво е равенството?

Понятието за равенство

Под това понятие разбираме изявленията, в които има знак "=". Равенството се разделя на истинско и невярно. Ако в влизането вместо = е <,> тогава говорим за неравенства. Между другото, първият знак за равенство казва, че и двете части на израза са идентични в резултата или в рекорда си.

В допълнение към понятието за равенство, училището също така изучава темата "Числено равенство". С това твърдение имаме предвид два цифрови израза, които стоят от двете страни на знака =. Например, 2 * 5 + 7 = 17. И двете части на записа са равни една на друга.

В цифрови изрази от този тип могат да се използват скоби, които влияят на реда на действията. Така че, има 4 правила, които трябва да се имат предвид при изчисляването на резултатите от цифровите изрази.

1. Ако в записа няма скоби, тогава действията се извършват от по-високия етап: III → II → I. Ако има няколко действия от една категория, те се изпълняват от ляво на дясно.
2. Ако в записа има скоби, тогава действието се извършва в скоби и след това се вземат предвид стъпките. Може би ще има няколко действия в скоби.
3. Ако изразът е представен като част, тогава първо трябва да се изчисли числителят, след това знаменателят, тогава числителят се дели на знаменателя.
4. Ако в записа има вложени скоби, първо се оценява изразът в скобите.

Така че, сега е ясно какво е равенството. В бъдеще ще бъдат разгледани концепциите за уравнението, идентичностите и методите за тяхното изчисление.

Свойства на числените равенства

Какво е равенството? Изучаването на тази концепция изисква познаване на свойствата на числената идентичност. Следните текстови формули ви позволяват да изучите по-добре тази тема. Разбира се, тези свойства са по-подходящи за изучаване на математиката в горните класове.

1. Численото равенство няма да бъде нарушено, ако в двете му части едно и също число се добави към съществуващия израз.

A = B harr-A + 5 = В + 5

2. Уравнението няма да бъде нарушено, ако двете му части се умножат или разделят на същия номер или израз, които са различни от нула.

Р = О harr-P ∙ 5 = O ∙ 5

Р = О harr-P: 5 = 0: 5

3. Добавяйки към двете части на идентичността същата функция, която има смисъл за допустимите стойности на променливата, получаваме ново равенство, равностойно на първоначалното.

F (X) = PSI-(X) harr- F (X) + R (X) = PSI-(X) + R (X)

4. Всеки термин или израз може да бъде прехвърлен от другата страна на знака за равенство, като същевременно се променят знаците към обратното.

X + 5 = Y-20 harr- X = Y - 20 - 5 harr- X = Y - 25

5. Умножаване или разделяне на двете страни на уравнението в една и съща функция, различна от нула и смислена за всяка стойност на X от ODZ, получаваме ново уравнение, което е равно на първоначалното.

F (X) = Psi- (X) harr- F (X) ∙ R (X) = Psi- (X) ∙ R (X)

F (X) = PSI-(X) harr- F (X): G (X) = PSI-(X): G (X)

Горепосочените правила изрично посочват принципа на равенство, който съществува при определени условия.

Понятието за пропорция

В математиката има такова нещо като равенство на отношенията. В този случай определянето на дела е подразбиращо се. Ако разделите A от B, резултатът е съотношението на числото А към числото Б. Пропорция е равенството на две отношения:

Понякога съотношението е написано, както следва: A: B = C: Г. Това предполага основната собственост на пропорцията: A * D = D * C, където А и D са крайните условия за съотношението, а В и С са средните.

идентичности

Идентичността е равенство, което ще бъде вярно за всички допустими стойности на тези променливи, които влизат в задачата. Идентичностите могат да бъдат представени като азбучни или цифрови равнопоставености.

Еднакво равнопоставени са изразите, съдържащи в двете части на уравнението неизвестна променлива, която е в състояние да равнява две части от едно цяло.

Ако заместим едно изражение с друго, което ще бъде равно на него, тогава става въпрос за трансформацията на идентичността. В този случай може да се използват формулите за намалено умножение, законите на аритметиката и други идентичности.

За да се намали фракцията, е необходимо да се извършат идентични трансформации. Например, се дава фракция. За да се получи резултатът, трябва да се използват формулите на съкратено умножение, факторизация, опростяване на изразите и намаляване на фракциите.

Трябва да се има предвид, че този израз ще бъде същият, когато знаменателят не е равен на 3.

5 начина за доказване на самоличността

За да докажем, че идентичността е идентична, трябва да конвертираме изразите.

Аз съм

Необходимо е да се извършат еквивалентни трансформации от лявата страна. В резултат на това се получава дясната страна и можем да кажем, че идентичността е доказана.

II метод

Всички действия за преобразуване на израза се появяват от дясната страна. Резултатът от извършените манипулации е от лявата страна. Ако и двете части са идентични, тогава идентичността е доказана.

Метод III

В двете части на израза се появяват "трансформации". Ако резултатът е две еднакви части, идентичността е доказана.

IV метод

Десната част се изважда от лявата страна. В резултат на еквивалентни трансформации резултатът трябва да бъде нулев. След това можем да говорим за идентичността на израза.

По пътя

Лявата страна се изважда отдясно. Всички еквивалентни трансформации се намаляват до нула в отговора. Само тогава можем да говорим за идентичността на равенството.

Основни свойства на идентичностите

В математиката често се използват свойствата на равнопоставеността за ускоряване на процеса на изчисляване. Благодарение на основните алгебрични идентичности процесът на изчисляване на някои изрази ще отнеме няколко минути вместо дълги часове.

• X + Y = Y + X
• X + (Y + C) = (X + Y) + C
• X + 0 = Х
• X + (-X) = 0
• X ∙ (Y + C) = X ∙ Y + X ∙ C
• X ∙ (Y - C) = X ∙ Y - X ∙ C
• (X + Y) ∙ (C + E) = X ∙ C + X ∙ E + Y ∙ C + Y ∙ E
• X + (Y + C) = X + Y + C
• X + (Y-C) = X + Y-C
• X - (Y + C) = X-Y-C
• X - (Y - C) = X - Y + C
• X ∙ Y = Y ∙ X
• X ∙ (Y ∙ C) = (X ∙ Y) ∙ C
• X ∙ 1 = X
• X ∙ 1 / X = 1, където X не- 0

Формули за съкратено умножение

По същество формулите за намалено умножение са равнопоставеност. Те спомагат за решаването на много проблеми в математиката поради своята простота и лекота на работа.

• (А + В)² = A² + 2 ∙ А ∙ В + В² - квадрата на сумата от двойка номера;
• (А - В)² = A² - 2 ∙ А ∙ В + В² - квадрата на разликата от двойка номера;
• (С + В) ∙ (С - В) = С² - В² - разлика в квадратите;
• (А + В)³ = A³ + 3 ∙ A²∙ B + 3 ∙ A ∙ B² + В³ - кубчето на сумата;
• (А - В)³ = A³ - 3 ∙ A²∙ B + 3 ∙ A ∙ B² - В³ - куб на разликата;
• (P + B) ∙ (P² - Р ∙ В + В²) = P³ + В³ - сумата от кубовете;
• (P - B) ∙ (P² + Р ∙ В + В²) = P³ - В³ разлика в кубчета.

Формули за съкратено умножение често се използват, ако е необходимо да се приведе полином в обичайната форма, опростявайки го по всички възможни начини. Представените формули се опростяват: достатъчно е да се отварят скобите и да се дават такива термини.

уравнение

След като изучавате въпроса, какво е равенството, можете да пристъпите към следващата точка: че такова уравнение. Уравнение е равенство, в което има неизвестни количества. Решението на уравнението е намирането на всички стойности на променливата, при които двете части на целия израз ще бъдат равни. Също така има задачи, в които намирането на решения на уравнението е невъзможно. В този случай те казват, че няма корени.

Като правило, равнопоставеността с неизвестните посочва числата като решение. Има обаче случаи, когато коренът е вектор, функция и други обекти.

Уравнението е едно от най-важните понятия в математиката. Повечето научни и практически проблеми не позволяват измерването или изчисляването на стойност. Ето защо е необходимо да се направи съотношение, което да удовлетвори всички условия на задачата. В процеса на съставяне на такава връзка се появява уравнение или система от уравнения.

Обикновено решаването на равнопоставеността с неизвестното се свежда до преобразуването на сложно уравнение и да го отбележим в прости форми. Необходимо е да запомните, че трябва да се извършат преобразувания по отношение на двете части, в противен случай резултатът ще получи грешен резултат.

4 начина за решаване на уравнението

Чрез решаването на уравнението имаме предвид замяната на дадено равенство с друго, което е еквивалентно на първото. Такова заместване е известно като трансформацията на идентичността. За да разрешите уравнението, трябва да използвате един от методите.

1. Един израз се заменя с друг, който задължително ще е същият като първия. Пример: (3 · x + 3)²= 15 ∙ x + 10. Този израз може да се превърне в 9 x²+18 ∙ x + 9 = 15 ∙ x + 10.

2. Извършване на членовете на равенството с неизвестното от едната страна до другата. В този случай трябва да смените знаците правилно. Най-малката грешка ще унищожи цялата извършена работа. Като пример, вземете предишната "проба".

9 x² + 12 ∙ x + 4 = 15 ∙ x + 10

9 x² + 12 ∙ x + 4 - 15 ∙ x - 10 = 0

9 x² - 3 x - 6 = 0

Освен това, уравнението се решава с помощта на дискриминатора.

3. Умножете двете страни на равен брой или израз, който не е равно на 0. Въпреки това, трябва да се припомни, че когато новият уравнението не е еквивалентно на равенството преди промяната, тогава количеството на корените може да варира значително.

4. Квадратирането на двете части на уравнението. Този метод е просто чудесен, особено когато в уравнението има ирационални изрази, квадратен корен и израза под него. Има един нюанс: ако повдигнете уравнението в равна степен, тогава можете да имате външни корени, които ще изкривят същността на задачата. И ако не е правилно да се извлече коренът, тогава значението на въпроса в проблема ще бъде неясно. Пример: │7 ∙ x│ = 35 → 1) 7 ∙ x = 35 и 2) - 7 ∙ x = 35 → уравнението ще бъде решено правилно.

Така че в тази статия се споменават термини като уравнения и идентичности. Всички те идват от понятието "равенство". Благодарение на различни видове еквивалентни изрази, решаването на някои проблеми е значително улеснено.