Свойства и начини за търсене на корените на квадратичното уравнение

Светът е подреден по такъв начин, че решаването на голям брой проблеми намалява до намирането на корените на квадратичното уравнение. Корените на уравненията са важни за описването на различни закономерности. Това беше известно на геодезистите на древния Вавилон. Астрономите и инженерите също бяха принудени да решават подобни проблеми. Още през 6-ти век, индийският учен Ариабхата развива основите за намиране на корените на квадратичното уравнение. Формулите придобиха пълен облик през XIX век.

Общи понятия

Предлагаме да се запознаем с основните закони на квадратичните уравнения. В обща форма уравнението може да бъде написано, както следва:

брадва² + bx + c = 0,

Броят на корените на квадратично уравнение може да бъде един или два. Бърз анализ може да се направи с помощта на понятието за дискриминация:

D = b² - 4ав

В зависимост от изчислената стойност получаваме:

• За D> 0 съществуват два различни корена. Общата формула за определяне на корените на квадратичното уравнение изглежда (-b ± радикал-D) / (2а).
• D = 0, в този случай коренът е един и съответства на стойността x = -b / (2a)
• D < 0, няма решение за негативния дискриминатор на решението на уравнението.

Забележка: Ако дискриминацията е отрицателна, уравнението няма корени само в региона на реалните числа. Ако алгебра се разшири до концепцията за комплексни корени, тогава уравнението има решение.

Даваме верига от действия, която потвърждава формулата за намиране на корените.

От общата форма на уравнението следва:

брадва² + bx = -c

Умножете дясната и лявата част с 4а и добавете b², ние получаваме

4а²х² + 4abx + b² = -4ac + b²

Преобразуваме лявата страна под формата на квадрат на полинома (2ax + b)². Извличаме квадратен корен от двете страни на уравнението 2ax + b = -b ± радикал - (-4ac + b²), прехвърляме коефициента b от дясната страна, получаваме:

2ax = -b ± радикал - (-4ac + b²)

От това следва, че:

х = (-Ь ± radic- (b² - 4ав))

Което трябваше да бъде показано.

Специален случай

В някои случаи решаването на проблема може да бъде опростено. По този начин, за равен коефициент b получаваме по-проста формула.

Отбележете k = 1 / 2b, тогава формулата на общата форма на корените на квадратичното уравнение приема формата:

x = (-k ± radic- (k² - ac)) / а

За D = 0, получаваме x = -k / a

Друг конкретен случай е решението на уравнението за a = 1.

За формуляра x² + bx + c = 0, корените са x = -k ± radic- (k² - в) с дискриминация по-голяма от 0. За случая, когато D = 0, коренът ще се определя чрез проста формула: x = -k.

Използване на графики

Всеки, който дори не подозира това, постоянно се сблъсква с физически, химически, биологически и дори социални феномени, които са добре описвани от квадратна функция.

Забележка: кривата, изградена въз основа на квадратична функция, се нарича парабола.

Да дам някои примери.

1. Когато изчислявате траекторията на полета на снаряд, използвайте свойството на движение по протежение на параболата на тялото, освободено под ъгъл към хоризонта.
2. Параболността на равномерно разпределеното натоварване се използва широко в архитектурата.

Осъзнавайки важността на параболичната функция, ще разберем как да използваме графиката, за да изучим нейните свойства, използвайки понятията "дискриминационни" и "корени на квадратичното уравнение".

В зависимост от стойностите на коефициентите a и b, има само шест варианта на позицията на кривата:

1. Разграничителят е положителен, а и б имат различни знаци. Клоните на параболата изглеждат нагоре, квадратичното уравнение има две решения.
2. Разграничителният коефициент b е нула, коефициентът а е по-голям от нула. Графиката се намира в положителната зона, уравнението има 1 корен.
3. Разграничителните и всички коефициенти имат положителни стойности. Квадратното уравнение няма решение.
4. Разграничителният коефициент а е отрицателен, b е по-голям от нула. Клоните на графиката са насочени надолу, уравнението има два корена.
5. Разграничителният коефициент b е нула, коефициентът а е отрицателен. Параблата гледа надолу, уравнението има един корен.
6. Стойностите на дискриминационния и всички коефициенти са отрицателни. Няма решения, функционалните стойности са изцяло в отрицателната зона.

Забележка: вариантът a = 0 не се разглежда, тъй като в този случай параболата се дегенерира в права линия.

Всичко това е добре илюстрирано с фигурата по-долу.

Примери за решаване на проблеми

Състояние: използвайки общи свойства, оформя квадратично уравнение, чиито корени са равни една на друга.

решение:

от хипотезата на проблема x₁ = х₂, или -b + radic- (b² - 4а) / (2а) = -б + radic- (b² - 4а) / (2а). Опростете влизането:

-b + radic- (b² - 4а) / (2а) - (-Ь- radic- (b² - 4ac) / (2a)) = 0, отворете скобите и дайте подобни термини. Уравнението има формата 2radic- (b² - 4ac) = 0. Това твърдение е вярно, когато b² - 4ac = 0, оттук b² = 4ac, тогава стойността b = 2radic- (ac) се замества в уравнението

брадва² + 2radic- (ac) x + c = 0, в горната форма получаваме x² + 2radic- (c / a) х + с = 0.

отговори на:

за не е равно на 0 и всеки c има само едно решение, ако b = 2radic- (c / a).

Плоските уравнения за цялата си простота са от голямо значение при инженерните изчисления. Почти всеки физически процес може да бъде описан с някакво приближение, като се използват захранващи функции от ред n. Квадратното уравнение ще бъде първото подобно приближение.