Комплексни числа: определение и основни понятия

При изучаването на свойствата на квадратичното уравнение е наложено ограничение: няма решение за дискриминацията по-малко от нула. Веднага беше посочено, че става въпрос за набор от реални номера. В любознателен ум на математик ще се интересуват - каква е тайната в резерва за реални ценности?

С течение на времето математиците въведоха концепцията за сложни числа, където единичната стойност на корена на втората степен е взета от минус едно.

Исторически контекст

Математическата теория се развива последователно, от прости до сложни. Ще разберем как възникна концепцията, наречена "сложно число", и защо е необходима.

От незапомнени времена, основата на математиката е обичайната сметка. Изследователите познават само един естествен набор от ценности. Добавянето и изваждането бяха прости в този случай. В процеса на усложняване на икономическите отношения, вместо да се прибавят идентични стойности, започва да се прилага размножаването. Имаше обратна операция за размножаване - разделяне.

Концепцията за естествено число ограничава използването на аритметични операции. На набор от цели стойности е невъзможно да се решат всички проблеми на разделянето. Работата с фракции доведе първо до идеята за рационални стойности и след това до ирационални ценности. Ако за рационално е възможно да се определи точното местоположение на дадена точка върху линия, тогава е невъзможно да се посочи такава точка за ирационални точки. Можете да посочите само интервала за намиране. Съюзът на рационалните и ирационални числа формира истински набор, който може да бъде представен като определена линия с определена скала. Всяка стъпка по линията е естествено число, а рационалните и ирационални стойности са между тях.

Възникна ерата на теоретичната математика. Развитието на астрономията, механика, физиката изискваше решение на все по-сложни уравнения. В обща форма бяха открити корените на квадратичното уравнение. Когато решават по-сложен кубичен полином, учените са изправени пред противоречие. Концепцията за кубичен корен на отрицателен има смисъл, а за квадрат, се получава несигурност. Освен това, квадратичното уравнение е само един особен случай на кубичен.

През 1545 г. италианецът J. Cardano предлага да се въведе концепцията за въображаемо число.

Този номер стана коренът на втората степен от минус едно. Накрая, терминът "сложно число" се формира само триста години по-късно, в произведенията на известния математик Гаус. Той предложи официално да разшири всички закони на алгебра до въображаемо число. Реалната линия се е разширила до самолет. Светът е станал по-голям.

Основни понятия

Спомняме си редица функции, които имат ограничения върху реалния набор:

• y = arcsin (x), се определя в диапазона от стойности между отрицателни и положителни единици.
• y = ln (x), десетичният логаритъм има смисъл за положителни аргументи.
• квадратен корен на y = radic-x, се изчислява само за x ge- 0.

Обозначението i = radic - (-1), въвеждаме концепция като въображаем брой, което ще премахне всички ограничения от областта на дефиниране на горепосочените функции. Изрази на типа y = arcsin (2), y = ln (-4), y = radic - (- 5) придобиват смисъл в някои пространства с комплексни числа.

Алгебричната форма може да бъде написана като израз z = x + i × y на множеството от реални стойности на x и y и i² = -1.

Новата концепция премахва всички ограничения върху използването на алгебрични функции и наподобява графиката на права линия в координатите на реалните и въображаеми стойности.

Комплексен самолет

Геометричната форма на сложните числа ясно показва много от техните свойства. На оста Re (z) отбелязваме реалните стойности на x и Im (z) са въображаеми стойности на y, тогава точката z в равнината ще представлява необходимата сложна стойност.

Определения:

• Re (z) е истинската ос.
• Im (z) - означава въображаемата ос.
• z е условна точка на сложен номер.
• Цифровата стойност на дължината на вектора от нулевата точка до z се нарича модул.
• Реалните и въображаеми оси разделят самолета на квартали. С положителна координатна стойност, аз съм четвърт. Ако аргументът на истинската ос е по-малък от 0, и въображаемата ос е по-голяма от 0 - II четвърт. Когато координатите са отрицателни - III тримесечие. Последното, четвъртото тримесечие съдържа много положителни реални стойности и отрицателни въображаеми стойности.

По този начин, в равнина със стойностите на координатите x и y, винаги можем графично да представляваме точката на сложно число. Въвежда се символът i, за да се отдели истинската част от въображаемата.

свойства

1. Ако стойността на въображаемия аргумент е нула, просто получаваме числото (z = x), което се намира на реалната ос и принадлежи към реалния набор.
2. Специален случай, когато стойността на истинския аргумент стане нула, изразът z = i × y съответства на местоположението на точката на въображаемата ос.
3. Общият изглед на z = x + i × y ще бъде за ненулеви стойности на аргументите. Обозначава местоположението на точка, характеризираща комплексен номер в едно от тримерите.

Тригонометричен запис

Припомнете полярната координатна система и дефиницията на тригонометричните функции sin и cos. Очевидно, като използвате тези функции, можете да опишете местоположението на всяка точка в самолета. За това е достатъчно да се знае дължината на полярния лъч и ъгъла на наклона спрямо истинската ос.

Определение. Записът на формата | z | умножен по сумата от тригонометричните функции cos (Θ) и въображаемата част i × sin (Θ) се нарича тригонометрично комплексно число. Тук ние използваме нотация на ъгъла на наклон спрямо истинската ос

Th = arg (z) и r = | z |, дължината на лъча.

От определението и свойствата на тригонометричните функции следва много важна формула Moivre:

Z^п = r^п × (cos (n × Θ) + i × sin (n × Θ)).

Използвайки тази формула, е удобно да се решат много системи от уравнения, съдържащи тригонометрични функции. Особено когато възниква задачата да се вдигне сила.

Модул и фаза

За да завършим описанието на сложния набор, ще предложим две важни определения.

Познавайки питагорейската теорема, е лесно да се изчисли дължината на лъча в полярната координатна система.

r = | z | = радикал- (х² + ш²), такъв запис в сложно пространство се нарича "модул" и характеризира разстоянието от 0 до точка в равнината.

Ъгълът на наклон на сложния лъч към реалната линия Θ се нарича фаза.

От определението може да се види, че реалните и въображаеми части са описани чрез циклични функции. А именно:

• x = r × cos (θ);
• y = r × sin (Θ);

Обратно, фазата има връзка с алгебрични стойности чрез формулата:

Т = арктан (х / у) + микро-, изменение микро- е въведена да отчита периодичността на геометричните функции.

Формулата на Ойлер

Математиците често използват експоненциална форма. Номерата на сложния самолет са написани като

z = r × e^аз×Θ , което произтича от формулата на Ойлер.

Такъв запис се използва широко за практическото изчисляване на физичните величини. Формата на представяне под формата на експоненциални комплексни числа е особено удобна за инженерни изчисления, където е необходимо да се изчислят схеми със синусоидални токове и е необходимо да се знае стойността на интегралите на функциите с даден период. Изчисленията сами по себе си служат като инструмент при проектирането на различни машини и механизми.

Определение на операциите

Както вече беше отбелязано, всички алгебрични закони на работа с основни математически функции се простират до сложни числа.

Действието на сумата

Когато се добавят сложни стойности, техните реални и въображаеми части също се прибавят.

z = z₁ + Z₂, където z₁ и z₂ - сложни номера на обща форма. Конвертирайки израза, след разширяване на скобите и опростяване на записа, получаваме истинския аргумент x = (x₁ + х₂), въображаемият аргумент y = (y₁ + ш₂).

На графиката прилича на добавянето на два вектора, съгласно добре известното правило на паралелограма.

Действието на изваждането

Счита се за специален случай на добавяне, когато единият номер е положителен, друг негативен, т.е. разположен в огледалото. Алгебричният запис изглежда като разликата между реални и въображаеми части.

z = z₁ - Z₂, или, като се вземат предвид стойностите на аргументите, подобно на операцията за добавяне, получаваме за реални стойности x = (x₁ - х₂) и въображаеми y = (y₁ - ш₂).

Умножение в сложната равнина

Използвайки правилата за работа с полиноми, ние извличаме формула за решаване на сложни числа.

Следвайки общите алгебрични правила z = z₁× z₂, Ние рисуваме всеки аргумент и цитираме подобни. Реалните и въображаеми части могат да бъдат написани като:

• х = х₁ × x₂ - ш₁ × y₂,
• y = х₁ × y₂ + х₂ × y_1.

Изглежда по-красиво, ако използваме експоненциални сложни числа.

Изразът изглежда така: z = z₁ × z₂ = r₁ × д^азΘ1 × r₂ × д^азΘ2 = r₁ × r₂ × д^{i (Θ1+Θ2)}.

Освен това, модулите се умножават и се добавят фазите.

делене

Когато разглеждаме операцията на разделяне, като завръщане към операцията на умножение, в експоненциалната форма на записа получаваме един прост израз. Разделянето на z₁ на з₂ е резултат от разделянето на модулите им и фазовата разлика. Официално, когато се използва индикативната форма на сложни числа, тя изглежда така:

z = z₁ / z₂ = r₁ × д^азΘ1 / r₂ × д^азΘ2 = r₁ / r₂ × д^{i (Θ1-Θ2)}.

Във формата на алгебрична нотация, операцията по разделяне на номерата на сложната равнина е малко по-сложна:

z = z₁ / z_2.

При изписването на аргументите и извършването на трансформациите на полиноми, е лесно да се получат стойностите x = x₁ × x₂ + ш₁ × y₂, съответно, у = х₂ × y₁ - х₁ × y₂, Вярно е, че в рамките на описаното пространство този израз има смисъл, ако z₂ ne- 0.

Извличане на корена

Всичко това може да се приложи към дефинирането на по-сложни алгебрични функции - конструкцията в някаква степен и обратното на нея - извличането на корена.

Като използваме общото понятие за повишаване на силата на n, получаваме определението:

Z^п = (rxe^азΘ)^п.

Използвайки общи свойства, ние го пренаписваме във формата:

Z^п = r^п × д^{азΘ п}.

Получихме проста формула за експоненциране на сложно число.

От определението за степен придобиваме много важна последица. Равната степен на въображаемата единица е винаги 1. Всяка странна степен на въображаемата единица винаги е -1.

Сега изследваме обратната функция - извличането на корена.

За по-голяма чистота ние приемаме n = 2. Квадратният корен w на сложната стойност на z на сложната C-равнина се счита за израз z = ±, който се отнася за всеки истински аргумент по-голям или равен на нула. За w Няма решение.

Нека да разгледаме най-простото квадратично уравнение z² = 1. Използвайки формулите на сложните числа, пренаписваме r² × д^аз2Θ = r² × д^аз2Θ = д^аз0 . От рекорда се вижда, че r² = 1 и Θ = 0, затова имаме уникално решение, равно на 1. Но това противоречи на идеята, че z = -1, също съответства на дефиницията на квадратния корен.

Да видим какво не вземаме под внимание. Ако си спомним тригонометричния запис, тогава ще възстановим твърдението - за периодична промяна на фаза Θ комплексният номер не се променя. Обозначете с p стойността на периода, след това r² × д^аз2Θ = д^аз(0+р), от където 2Θ = 0 + р, или Θ = p / 2. Следователно, ние имаме e^аз0 = 1 и e^{азр/ 2} = -1. Получихме второ решение, което съответства на общо разбиране на корен квадратен.

Така че, за да намерим произволен корен на сложен номер, ще действаме според процедурата.

• Пишем експоненциалната форма w = | w | × e^{аз(арг (w) + п.к.)}, k е произволно цяло число.
• Желаното число може да се представи и в еюрийската форма z = r × e^азΘ.
• Използваме общата дефиниция на функцията за извличане на корен r^п* д^азпΘ = | W | × e^{аз(арг (w) + п.к.)}.
• От общите свойства на равнопоставеността на модулите и аргументите пишем r^п = | W | и nΘ = arg (w) + p × k.
• Последният запис на корена на комплекса е описан с формулата z = radic- | w | × e^{аз (арг (w) + п.к.) / п}.
• Забележка. Стойността на | w |, по дефиниция, е положително реално число, така че коренът на всяка степен има смисъл.

Поле и сдвояване

В заключение, даваме две важни определения, които са от малко значение за решаването на приложените проблеми със сложни числа, но са от съществено значение за по-нататъшното развитие на математическата теория.

Казано е, че изразите за добавяне и умножение формират поле, ако отговарят на аксиомите за всички елементи на сложната z-равнина:

1. Комплексната сума не се променя от промяната в местата със сложни термини.
2. Изявлението е вярно - в сложен израз всяка сума от две числа може да бъде заменена с тяхната стойност.
3. Има неутрална стойност от 0, за която z + 0 = 0 + z = z е вярно.
4. За всеки z има антитеза - z, при което се добавя нула.
5. Когато се променят местата на сложните фактори, комплексният продукт не се променя.
6. Умножаването на всякакви две числа може да бъде заменено с тяхната стойност.
7. Има неутрална стойност от 1, умножение, с което не се променя сложното число.
8. За всеки z ne-0, е реципрочната от z^-1, умножение, което дава като резултат 1.
9. Умножаването на сумата от две числа на третата е еквивалентно на умножаване на всеки от тях с това число и добавяне на резултатите.
10. 0 ne- 1.

Цифрите z₁ = x + ix y и z₂ = x - i × y се наричат ​​конюгат.

Теорема. Следното изявление е вярно за конюгирането:

• Конюгирането на сумата е равно на сумата от конюгираните елементи.
• Конюгирането на продукт е равно на продукта на конюгациите.
• Мачът за конюгиране е равен на самия брой.

По принцип алгебра подобни свойства обикновено се наричат ​​автоматиморфизъм на полето.

примери

Следвайки горепосочените правила и формули на сложни номера, е лесно да ги управлявате.

Нека разгледаме най-простите примери.

Задача 1. Използвайки равенството 3y + 5 x i = 15 - 7i, определете x и y.

Решението. Припомнете определението за комплексни равенства, след това 3y = 15, 5x = -7. Следователно, x = -7 / 5, y = 5.

Задача 2. Изчислете стойностите от 2 + i²⁸ и 1 + i¹³⁵.

Решението. Очевидно е, че 28 е чисто число, което произтича от дефиницията на сложно число на властта²⁸ = 1, тогава изразът 2 + i²⁸ = 3. Втората стойност, т.е.¹³⁵ = -1, след това 1 + i¹³⁵ = 0.

Задача 3. Изчислете продукцията от стойностите 2 + 5i и 4 + 3i.

Решението. От общите свойства на умножаване на сложни числа получаваме (2 + 5i) X (4 + 3i) = 8 - 15 + i (6 + 20). Новата стойност ще бъде -7 + 26i.

Задача 4. Изчислете корените на уравнението z³ = -i.

Решението. Има няколко начина за намиране на сложен номер. Помислете за едно от възможните. По дефиниция, | - i | = 1, фазата за -i е равна на -p / 4. Първоначалното уравнение може да бъде пренаписано във формата r³* д^аз3Θ = д^{-p / 4 +п.к.}, от където z = e^{-p / 12 + pk / 3}, за всяко цяло число k.

Наборът от решения има формата (напр^{-ip / 12}, д^{IP/ 4}, д^{аз2p / 3}).

Защо се нуждаем от сложни номера

Историята знае много примери, когато учените, работещи по теория, дори не мислят за практическото приложение на техните резултати. Математиката е преди всичко игра на ума, твърдо придържане към причинно-следствени взаимоотношения. Почти всички математически конструкции се свеждат до решаването на интегрални и диференциални уравнения, а тези, на свой ред, с някои приближения, се решават чрез намиране на корени на полиноми. Тук първо се сблъскваме с парадокса на въображаемите числа.

Научните натуралисти, решаващи напълно практически проблеми, прибягвайки до решения на различни уравнения, откриват математически парадокси. Тълкуването на тези парадокси води до напълно изненадващи открития. Двойният характер на електромагнитните вълни е един такъв пример. Комплексните числа в разбирането на техните свойства играят решаваща роля.

Това от своя страна е намерило практическо приложение в областта на оптиката, радиоелектрониката, енергетиката и много други технологични области. Друг пример, много по-трудно разбираем физически феномени. Антиматерията е предвидена на върха на писалката. И едва след много години започва опитите за физически синтез.

Не мисля, че само във физиката има такива ситуации. Не по-малко интересни открития се правят в живата природа, при синтезирането на макромолекули, по време на изучаването на изкуствения интелект. И всичко това се дължи на разширяването на нашето съзнание, като се избягва простото добавяне и изваждане на естествени количества.