Метод на тангентите: описание

Измъчван в училище за решаване на уравнения в часовете по математика, много студенти често смятат, че времето им е абсолютно нищо, и все пак такова умение ще дойде по-удобно в живота на не само на тези, които решат да следват по стъпките на Декарт, Ойлер или Лобачевски.

На практика, например в областта на медицината или икономика, много често има ситуации, когато се изисква специалист, за да разберете, когато концентрацията на активното вещество на лекарството да достигне желаното ниво в кръвта на пациента, или трябва да се изчисли времето, което отнема конкретен бизнес, за да излезе на печалба.

Най-често става дума за решаване на нелинейни уравнения от различен тип. За да направите това възможно най-бързо, особено с използването на компютри, позволете числови методи. Те са добре проучени и отдавна са доказали своята ефективност. Сред тях е методът на тангентите на Нютон, към който тази статия е посветена.

Формулиране на проблема

В този случай има функция g, която е определена в сегмента (a, b) и приема определени стойности върху нея, т.е. е възможно да се свърже специфичен брой g (x) към всеки x, принадлежащ на (a, b).

Необходимо е да установите всички корени на уравнението от интервала между точките a и b (включително краищата), за които функцията е нулирана. Очевидно това са пресечните точки на y = g (x) с OX.

В някои случаи е по-удобно да се замени g (x) = 0 с аналогичен на формата g₁(x) = g₂(X). В този случай абсцисата (стойността на x) на точките на пресичане на графиките g₁(х) и g₂(X).

Решението на нелинейното уравнение също е важно за оптимизационните проблеми, при които местното екстремно състояние е инверсията на производното на функцията. С други думи, такъв проблем може да бъде намален до намиране на корените на уравнението p (x) = 0, където p (x) е идентичността на g `(x).

Методи за разрешаване

За някои видове нелинейни уравнения, например квадратни или прости тригонометрични уравнения, може да се открият корени по доста прости начини. По-конкретно, всеки ученик знае формулите, с които можете лесно да намерите стойностите на аргумента на точките, в които квадратната триномиална се нулира.

Методите за извличане на корените на нелинейни уравнения обикновено се разделят на аналитични (директни) и итеративни. В първия случай, желаното решение има формата на формула, като за някои аритметични операции може да се намери стойността на неизвестните корени. Подобни методи са разработени за експоненциални, тригонометрични, логаритмични и най-прости алгебрични уравнения. За останалата част трябва да използваме специални числени методи. Те са лесни за изпълнение с помощта на компютри, които ви позволяват да намерите корените с необходимата точност.

Сред тях е т.нар. Цифров метод на тангентите, който е предложен от великия учен Исак Нютон в края на 17 век. През следващите векове методът многократно се подобрява.

локализация

Числени начини за решаване на сложни уравнения, които нямат аналитични решения, обикновено се извършват на 2 етапа. Първо трябва да ги локализирате. Тази операция се състои в намирането на такива сегменти на OX, на които има един корен на решаващото уравнение.

Обмислете интервала [a, b]. Ако г (х) няма прекъсвания и заема стойности в крайните точки на противоположни знаци, между А и В или сами по себе си е най-малко един корен на грам (х) = 0. За да се изисква само да g (x) на [a, b] е монотонен. Както е известно, тази собственост ще притежава тази собственост под условието на знак-константа grsquo- (x).

С други думи, ако [а, Ь] г (х) няма прекъсвания и монотонно увеличава или намалява, и неговата стойност в крайните точки не са същия знак, след това на [а, Ь] има един и само един корен на грам (х ).

Трябва да се отбележи, че този критерий няма да е валиден за корените на уравненията, които са множествени.

Разрешение на уравнението чрез раздвояване

Преди да разгледате по-сложни цифрови методи (метод тангентата и нейните разновидности) струва да се запознаем с най-простия начин за разкриване на корените. Тя се нарича дихотомия и се отнася до интуитивен методи. алгоритъм намирането на корените се основава на теоремата, че ако за g (x), която е непрекъсната на [x₀, х₁], условието за несъгласие е изпълнено, а след това в разглеждания интервалима най-малко един корен g (x) = 0.

За да го намерите, трябва да разделите сегмента [x₀, х₁] наполовина и обозначавате средната точка като x₂. След това има два възможни варианта: g (x₀) * g (х₂) или g (х₂) * g (х₁) са равни или по-малко от 0. Изберете един, за който едно от тези неравенства е вярно. Повторете описаната по-горе процедура до дължината [x₀, х₁] не става по-малко от предварително избраната стойност, която определя точността на определяне на корена на уравнението на [x₀, х₁].

Предимствата на метода включват неговата надеждност и простота и недостатъкът е необходимостта от първоначално идентифициране на точките, при които g (x) има различни знаци, така че не може да се прилага към корените, които имат равномерно мнозинство. Освен това, той не обобщава случая на система от уравнения или ако става въпрос за сложни корени.

Пример 1

Нека да решим уравнението g (x) = 2x⁵ + x - 1 = 0. За да не търсим подходящ сегмент за дълго време, конструираме графика, като използваме например добре известната програма Excel. Виждаме, че като сегмент за локализиране на корена, по-добре е да се вземат стойности от интервала [0,1]. Можем да бъдем сигурни, че на нея има поне един корен на желаното уравнение.

g `(х) = 10х⁴ + 1, т.е. това е монотонно увеличаваща се функция, поради което има само 1 корен на избрания интервал.

Заместим крайните точки в уравнението. Имаме 0 и 1, съответно. При първата стъпка вземаме точка 0.5 за решението. Тогава g (0.5) = -0.4375. Следователно следващият сегмент за разделяне на половината ще бъде [0.5, 1]. Средната му точка е 0.75. В него стойността на функцията е 0.226. Взимаме за разглеждане сегмента [0,5, 0,75] и неговата среда, която е в точката 0,625. Ние изчисляваме стойността на g (x) при 0.625. Това е -0.11, т.е. отрицателно. Разчитайки на този резултат, ние избираме интервала [0,625, 0,75]. Получаваме х = 0.6875. Тогава g (x) = -0.00532. Ако точността на разтвора е 0,01, тогава можем да приемем, че търсеният резултат е 0,6875.

Теоретична основа

Този метод за намиране на корените по метода на тангентите на Нютон е популярен поради бързото му сближаване.

То се основава на факта, че ако x_п - приближение към корена f (x) = 0, така че f C¹, тогава следващото приближение ще бъде в точката, където уравнението на допирателната към f (x) е нула, т.е.,

Заместим x = x_{n + 1} и нула у.

след това алгоритъм на метода тангентите изглежда така:

Пример 2

Нека се опитаме да използваме класическия метод на тангентите на Нютон и да намерим решение на някакво нелинейно уравнение, което е трудно или невъзможно да се намери аналитично.

Нека се изисква да се идентифицират корените за x³ + 4x - 3 = 0 с някаква точност, например 0,001. Както е известно, графиката на всяка функция под формата на полином с нечетна степен трябва поне веднъж да пресече оста OX, т.е. няма съмнение за съществуването на корени.

Преди да решаваме нашия пример чрез метода на тангентите, изграждаме графика f (x) = x³ + 4x - 3 по точката. Това е много лесно да се направи, например, с помощта на таблицата Excel процесор. От получената графика ще се види, че в [0,1] се извършва пресичането й с оста ОХ и функцията y = x³ + 4x - 3 се увеличава монотонно. Можем да бъдем сигурни, че на [0,1] уравненията x³ + 4x - 3 = 0 има решение и е уникално.

алгоритъм

Всяко решение на уравненията чрез тангентния метод започва с изчисляването на f `(x). Имаме:

Тогава второто производно ще има формата x * 6.

Използвайки тези изрази, можем да напишем формулата за намиране на корените на уравнението чрез метода на тангентите под формата:

След това трябва да изберем първоначалното сближаване, т.е. да проучим дефиницията на коя точка е началната точка (vol x₀) за итеративния процес_. Ние разглеждаме краищата на [0,1]. За нас е подходящо, за което условието за многонационалността на функцията и нейното второ производно в х₀. Както виждаме, когато x е заместен₀ = 0 е нарушено, но x₀ = 1 е съвсем подходящо.

И така, как

тогава ако се интересуваме от решението чрез метода на тангентите с точност e, тогава стойността на x_п може да се счита, че отговаря на изискванията на проблема, при условие, че неравенството | f (x_п) / frsquo- (х_п) |< д.

В първата стъпка решаване на проблема с тангентите, които имаме:

• х₁ = х₀ - (х₀³ + 4x₀ - 3) / (3х₀² + 4) = 1 - 0.2857 = 0.71429;
• тъй като състоянието не се задържа, отиваме по-нататък;
• получаваме нова стойност за x₂, който е 0.674;
• ние отбелязваме, че съотношението на стойността на функцията към нейното производно в х₂ по-малко от 0,0063, спираме процеса.

Методът на тангентите в Excel

Решаването на предишния пример може да бъде много по-лесно и по-бързо, ако не правите изчисления ръчно (на калкулатор), но използвате възможностите на табличен процесор от Microsoft.

За да направите това, в "Excel" трябва да създадете нова страница и да я запълните със следните формули:

• в C7 пишем "= DEGREE (B7-3) + 4 * B7 - 3";
• в D7 влизаме "= 4 + 3 * DEGREE (B7-2)";
• в Е7 пишем "= (DEGREE (B7-3) - 3 + 4 * B7) / (3 * степен (B7-2) + 4)";
• в D7 влизаме в израза "= B7 - E7";
• в B8 влизаме в условието за формула «= IF (E7 < 0.001- "Завършване на повторения" - D7) ".

Освен това се изисква да се "разтеглят" формулите в колони C, D и E от първа до две линии и след като стойностите се появиха в тях, да се направи същото и с колона Б.

В конкретната задача в клетка Б10 се появява съобщение "Завършване на повторения" и за решаване на проблема ще бъде необходимо да се вземе номерът, написан в клетката, разположен на една линия по-нагоре. За него можете да изберете отделна "разтеглива" колона, като въведете формула за състояние, според която резултатът ще бъде написан там, ако съдържанието в една или друга клетка на колона Б стане "End iteration".

Изпълнение в Pascal

Нека се опитаме да получим решение на нелинейното уравнение y = x⁴ - 4 - 2 * x метод на тангента в Pascal.

Използваме помощна функция, която ще помогне да се направи приблизително изчисление f `(x) = (f (x + делта) - f (x)) / делта. Като условие за завършване на итеративния процес, ние избираме неравенството | x₀-х₁|< няма малък брой. В Pascal го пишем като abs (x0 - x1)<= epsilon.

Програмата е забележителна по това, че не изисква ръчно изчисляване на деривата.

Метод на акордите

Да разгледаме още един начин за разкриване на корените на нелинейните уравнения. Процесът на итерация е, че като последователни приближения към желания корен за f (x) = 0, стойностите на точките на пресичане на акорд с абсциси на крайните точки a и b с OX, означени като x₁, ..., х_п . Имаме:

За точка, където акордът пресича оста OX, изразът е написан като:

Нека второто производно да бъде положително за χ e [a, b] (обратният случай намалява до разглеждания случай, ако напишем f (x) = 0). В този случай графиката y = f (x) е крива, изпъкнала надолу и разположена под акорда AB. Може да има 2 случая: когато функцията има положителна стойност в точка а или е отрицателна в точка b.

В първия случай, като стационарен, ние избираме края a, а за x₀ вземете точка б. Тогава последователните приближения, съгласно формулата, представена по-горе, образуват последователност, която намалява монотонно.

Във втория случай крайът b е неподвижен за x₀ = a. Стойностите на х, получени при всеки етап от повторението, образуват последователност, която се увеличава монотонно.

По този начин можем да заявим, че:

• фиксирана в метода на акорди е краят на сегмента, където знаците на функцията и нейното второ производно не съвпадат;
• приближения за корен x - x_m Легнете от него в страната, където f (x) има знак, който не съвпада със знака f (x).

Итерациите могат да бъдат продължени, докато условията за близостта на корените в тази и в предходната стъпка на повторение бъдат изпълнени modulo abs (x_m - х_m - ₁)< д.

Модифициран метод

Комбинираният метод на акорди и тангенси ви позволява да зададете корените на уравнението, като ги приближавате от различни страни. Такава стойност, при която графиката f (x) пресича OX, дава възможност за прецизиране на разтвора много по-бързо, отколкото за всеки от методите поотделно.

Да предположим, че трябва да намерим корените на f (x) = 0, ако съществуват на [a, b]. Можете да приложите някой от описаните по-горе методи. По-добре е обаче да опитате тяхната комбинация, поради което точността на корена ще бъде значително подобрена.

Ние разглеждаме случая с първоначалното сближаване, което съответства на условието първото и второто производно да имат различен знак в определена точка х.

При тези условия, решението на нелинейни уравнения чрез метода на тангентите ни позволява да намерим корен с излишък ако x₀= b, а методът, използващ акорди с фиксиран край b води до намиране на приблизителен корен с дефект.

Използват се следните формули:

Сега желаният корен х трябва да се търси в интервала [a₁, б₁]. Следващата стъпка е да приложим комбинирания метод към този сегмент. Действайки по този начин, получаваме формули на формата:

Ако първото и второто производно са различни, а след това, като твърдим по подобен начин, за да прецизираме корена, получаваме следните формули за повторение:

Като условие, предполагаемото неравенство б_п+1 - а_п+1|< д. С други думи, на практика е необходимо да се намери решение, като се използват два метода, но на всяка стъпка се изисква да се разбере колко получените резултати са близки един на друг.

Ако горното неравенство е вярно, то като корен на нелинейното уравнение в даден интервал взема точка, която е точно наполовина между решенията, намерени в определена стъпка на повторение.

Комбинираният метод се изпълнява лесно в средата TURBO PASCAL. При голямо желание е възможно да се опитаме да извършим всички изчисления по метода на таблицата в програмата "Excel".

Във втория случай се избират няколко колони за разрешаване на проблема с помощта на акорди и поотделно за метода, предложен от Исак Нютон.

В този случай всеки ред се използва за писане на изчисления на конкретна стъпка на повторение, като се използват два метода. След това от лявата страна на зоната за вземане на решение се избира колона на активната работна страница, в която е вписан резултатът от изчисляването на модула за разликата на стойностите на следващата стъпка на повторение за всеки от методите. Друга може да се използва за въвеждане на резултатите от изчисленията, използвайки формулата за изчисляване на логическата конструкция "IF", използвана за определяне дали условието е изпълнено или не.

Сега знаете как да решите сложни уравнения. Методът на тангентите, както вече видяхте, се реализира съвсем просто както в Паскал, така и в Excel. Следователно, винаги можете да установите корените на уравнението, което е трудно или невъзможно да се реши чрез формули.