Gauss метод: примери за решения и специални случаи

Методът на Гаус, наричан още метод за постепенно елиминиране на неизвестни променливи, е кръстен на известния немски учен K.F. Гаус, който по време на своя живот получава неофициалната титла "цар на математиката". Този метод обаче бил известен още преди раждането на европейската цивилизация още от първия век. Преди новата ера. д. древни китайски учени го използват в своите писания.

Гаусовият метод е класически метод за решаване системи на линейни алгебрични уравнения (Slough). Той е идеален за бързо решаване на ограничени матрици.

Самият метод се състои от две движения: директно и обратно. Правният ход е последователното прехвърляне на SLAU на триъгълна форма, т.е. нулирането на стойностите, разположени под основния диагонал. Обратният ход предполага последователното откриване на стойностите на променливите, изразяващи всяка променлива през предишната.

За да се научим как да приложим Gauss методът на практика е просто, достатъчно е да се знаят елементарните правила за умножение, добавяне и изваждане на числа.

За да покажем алгоритъма за решаване на линейни системи по този метод, нека разгледаме един пример.

Така че, решете с помощта на Gaussian метод:

x + 2y + 4z = 3
2x + 6y + 11z = 6
4х-2y-2z = -6

Трябва да се отървем от променливата х във втория и третия ред. За целта добавяме първото, умножено съответно с -2 и -4. Получаваме:

x + 2y + 4z = 3
2y + 3z = 0
-10y-18z = -18

Сега умножете втория ред с 5 и го добавете към третия:

x + 2y + 4z = 3
2y + 3z = 0
-3z = -18

Доведохме системата си на триъгълна гледка. Сега обръщаме. Започваме с последния ред:
-3z = -18,
z = 6.

Втори ред:
2y + 3z = 0
2y + 18 = 0
2y = -18,
y = -9

Първа линия:
x + 2y + 4z = 3
x-18 + 24 = 3
х = 18-24 + 3
х = -3

Заместването на получените стойности на променливите в първоначалните данни, ние сме убедени в правилността на решението.

Този пример може да бъде решен с много други замествания, но отговорът трябва да е еднакъв.

Налице е, че на водещата първа линия има елементи с твърде малки стойности. Това не е страшно, но е доста сложно. Решението е да се Гаус с завъртане на колона. Същността му е, както следва: на първа линия на максимума търси модул елемент, колоната, в която се намира, разменят местата с първата колона, която е нашият максимален елемент става първият елемент от главния диагонал. Следва стандартен процес на изчисление. Ако е необходимо, процедурата за смяна на колоните може да се повтори.

Друг модифициран метод на Gauss е методът Йордан-Гаус.

Използва се при решаване на квадратен SLAU, когато се намери обратната матрица и рангът на матрицата (броя на ненулевите редове).

Същността на този метод е, че оригиналната система се трансформира в единична матрица чрез трансформации с по-нататъшно търсене на стойностите на променливите.

Неговият алгоритъм е както следва:

1. Системата от уравнения се намалява, както при Gauss метод, до триъгълна форма.

2. Всяка линия е разделена на определен номер, така че да се получи единицата на основния диагонал.

3. Последният ред се умножава по определен брой и се изважда от предпоследния с такова изчисление, така че получаваме 0 на основния диагонал.

4. Операцията 3 се повтаря последователно за всички редове, докато евентуално се образува единична матрица.